Файл: Cлучайные величины.doc

Использование гистограмм для отображения характера распределения случайной величины

Пусть имеется генератор случайных чисел в диапазоне от a до b. Для простоты пусть это будет генератор равномерно распределенных числовых значений. Такое распределение можно получить, например, следующей языковой конструкцией VFP:

x = a + (b-a)*rand().

Гистограмма представляет собой множество узких, одинаковой ширины и равноудаленных друг от друга, вертикальных прямоугольников. Количество прямоугольников гистограммы соответствует количеству отрезков, на которые разбивается отрезок (a,b), высота прямоугольников соответствует количеству случайных значений попавших в данный отрезок.

Алгоритм построения гистограммы:

A = левая граница

B = правая граница

N = кол-во разбиений

M = кол-во испытаний

Массив AN(N)

** AN(i) элемент массива – соответствует количеству попаданий в i-ый элементарный

** отрезок

H = (B-A)/N && ширина элементарного отрезка

Цикл по L от 1 до N

AN(L)=0

КонецЦикла

Цикл по k от 1 до M && цикл ипытаний

X = ГенераторСлучайнойВеличины(a,b)

Цикл по L от 1 до N

LB = A + (L-1)*H && левая граница элементарного отрезка

RB = LB + H

Если x>=LB и x< RB тогда

AN(L) = AN(L) + 1

Выход из цикла

КонецЕсли

КонецЦикла

КонецЦикла

Цикл по L от 1 до N

ОтрисовкаСтолбца(L, AN(L))

КонецЦикла

Функция ГенераторСлучайнойВеличины

Параметры a,b

Возврат a + (b-a)*rand()

* Здесь rand() – системная функция возвращающая

* равномерно-распределенное случайное число от 0 до 1.

КонецФункции

Функция ОтрисовкаСтолбца

Параметры NS, HS

** NS – номер столбца

** HS – высота столбца

** ЛевоеПоле = значение левого поля в точках

** ШиринаСтолбца = Значение ширины столбца в точках

** Зазор = Значение зазора между столбцами в точках

x1= ЛевоеПоле + (ШиринаСтолбца + Зазор) * (NS-1)

** вычисляем левую границу столбца NS

x2 = x1 + ШиринаСтолбца

Отрисовка столбца номер NS и высоты HS

КонецФункции

Приведенный алгоритм построения гистограммы можно оптимизировать. Вместо цикла:

X = ГенераторСлучайнойВеличины(a,b)

Цикл по L от 1 до N

LB = A + (L-1)*H && левая граница элементарного отрезка

RB = LB + H

Если x>=LB и x< RB тогда

AN(L) = AN(L) + 1

Выход из цикла

КонецЕсли

КонецЦикла

в котором определяется номер диапазона можно использовать более простой способ: L = ОкруглитьВверх((x-A)/h)

Для построения гистограммы из N столбцов по результатам M испытаний генератора случайных чисел в диапазоне от A до B можно использовать следующий фрагмент программы на VFP:

h=(B-A)/N

For k = 1 to M && цикл ипытаний

X = ГенераторСлучайнойВеличины()

L=ceiling((x-a)/h)

IF L>=1 AND L<=N

AN(L)=AN(L)+1

ELSE

IF L=0

AN(1)=AN(1)+1

ELSE

? x,L

ENDIF

ENDIF

EndFor

Генератор дискретно-распределенных значений:

Построим генератор дискретных случайных величин с заданными вероятностями на основе системного генератора равномерно-распределенной величины от 0 до 1: Пусть величина x_i может принимать N-значений с вероятностями p_i:

Алгоритм основывается на свойстве равномерного распределения равномерно заполнять отрезок от 0 до 1, причем вероятность попадания случайного значения в подинтервал отрезка (0,1) шириной D равна ширине этого подинтервала. Например, если отрезок (0,1) разбить на два подинтервала (0,0.2) и (0.2, 1), то вероятность попадания в подинтервал (0? 0.2) будет равна 0.2, а вероятность попадания в отрезок (0.2, 1) будет равна 0.8. Таким образом, для вышеприведенной таблицы необходимо разбить отрезок (0,1) на 6 подинтервалов.

LB(1)=0, RB(1) = LB(1) + P(1)

Остальные элементы массивов левых и правых границ можно вычислить в цикле

Цикл по I от 2 до N

LB(i) = LB(i-1) + W(i-1)

RB(i) = LB(i) + P(i)

КонецЦикла

Первый вариант алгоритма

Функция ГенераторДискретныхЗначений

N=6

Массив P(N), LB(N), RB(N),W(N)

СчитываемМассив(@P,N)

LB(1)=0

RB(1) = LB(1) + P(1)

Цикл по I от 2 до N

LB(i) = LB(i-1) + W(i-1)

RB(i) = LB(i) + P(i)

КонецЦикла

XR = rand()

LB = 0

Если XR>=LB(1) и XR<RB(1)

Возврат X(1)

ИначеЕсли XR >=LB(2) и XR <RB(2)

Возврат X(2)

ИначеЕсли XR >=LB(3) и XR <RB(3)

Возврат X(3)

ИначеЕсли XR >=LB(4) и XR <RB(4)

Возврат X(4)

ИначеЕсли XR >=LB(5) и XR <RB(5)

Возврат X(5)

ИначеЕсли XR >=LB(6) и XR <=RB(6)

Возврат X(6)

КонецЕсли

КонецФункции

Функция ГенераторДискретныхЗначений

N=6

Массив P(N), X(N)

XR = rand()

LB = 0

Цикл по i=1 до N

Если xr>=LB и xr<LB+P(i)

Возврат X(i)

КонецЕсли

LB = LB + P(i)

КонецЕсли

Возврат 0

КонецФункции

Генерация дискретных распределений с заданным характером распределения вероятностей

Рассмотрим ситуацию, когда известны не вероятности событий X_i, а количества их реализации или другие величины пропорциональные вероятностям P_i.

Пусть необходимо построить генератор дискретных величин X(1), X(2), … X(N), N=10, вероятности реализации которых, пропорциональны величинам PR(1), PR(2), … PR(N).

Для реализации такого алгоритма необходимо найти вероятности P(i) реализации i-ой величины X(i). Затем, на основе массива P(i) рассчитать левые LB(i), правые RB(i) границы i-ых подинтервалов на отрезке (0,1). Можно не вычислять массив RB(i), поскольку RB(i) = LB(i)+P(i)

Найдем массив вероятностей P(i). Найдем сумму всех PR(i):

Тогда массив вероятностей P(i) = PR(i)/S.

Левая граница первого отрезка должна быть равна нулю: LB(1) =0, соответственно правую границу первого отрезка находим как:

RB(1)= LB(1)+P(1)

Остальные элементы массивов LB(i) и RB(i) можно определить в цикле:

Цикл по i=2 до N

LB(i) =LB(i-1)

RB(i) = LB(i)+P(i)

Конец Цикла

Xr = rnd

Цикл по i=1 до N

Если xr>= LB(i) и xr < RB(i) тогда

Возврат X(i)

Конец Если

Конец Цикла

Генерация непрерывных распределений вещественных величин

Псевдо нормальное распределение

Рассмотрим очень простой метод генерации колоколообразного распределения вещественной величины. Этот метод основан на следующем факте: если сложить результаты N независимых экспериментов возвращающих равномерно распределенные случайные величины от о до 1, тогда вероятность получения близких к нулю величин и близких к N будет низка, а вероятность получения значений близких к N/2 – велика. Само распределение будет иметь вид колокола и если N устремить к бесконечности, тогда получится так называемое «Нормальное» распределение.

Функция ГенераторПсевдоНормальногоРаспределения

n=10

x=0

Цикл по I от 1 до n

x=x+RAND()

КонецЦикла

Возврат x/10

КонецФункции

Вид гистограммы нормального распределения. Количество испытаний 100000, интервалов – 100.

Генерация линейно возрастающего распределения

Распределение непрерывной вещественной величины с вероятностью линейно-возрастающей от 0 до 1 дает следующий, очень простой алгоритм

Функция ГенераторЛинейноВозрастающегоРаспределения

x=RAND()

Возврат x^0.5

КонецФункции

Гистограмма результатов 400000 испытаний линейно-возрастающего генератора непрерывных случайных величин от 0 до 1 (количество разбиений интервала (0,1) - 100)

Гистограмма распределения x^1.5

Гистограмма распределения x^2

Гистограмма распределения x^4

Гистограмма распределения x^0.2

Гистограмма распределения x^0.7

Комбинированные распределения

Гистограмма распределения (x^0.2 + x^4)/2