1.Определение числовой последовательности и её предела. Св-ва сход-ся послед-ей.

Бесконечная числовая последовательность-числовая функция Х_п=J(n), n=1,2,3…,определённая на множестве нат-ых чисел N. Каждое значение Х_п называется элементом (или членом) послед-ти,а число п-номером элемента последовательности.Послед-ть всегда содержит бесконечное число членов. Пример: (1/п²)=(1,1/2²,1/3²,1/4²); (2)=(2,2,2); (-п)=(1,-1,-3). 1)Последовательность(Хп)наз-ся ограниченной снизу (сверху), если А принадлежит действительным числам и Хп>=А, п принадлежит натуральным числам (Хп<=А,п принадлежит натуральным числам).

2)послед-ть (Хп) называется ограниченной , если она ограничена сверху и снизу. Пример: (1/п²)- ограничена, число А=2, -2<1/п²<2, для п натуральных; (п)- ограничена снизу; (-п)- ограничена сверху.

3)Е- окрестность (эпсилон-окрестность) точки а называют любой интервал (а-е, а+е), е>0

а-е______а_______а+е (если убрать точку а то такая последовательность будет называться проколотой).

4)Число а наз-ся пределом числовой последовательности (Хп) при п- стремящемся к бесконечности, если для любого положительного сколько угодно малого числа е существует номер N=N (е), такой что для всех п>=N выполняется равенство [Хп-а]<е. Предел числовой последовательности обозначается lim Хп =а (п стремится к бесконечности).

5)последовательность имеющая конечный предел наз-ся сходящейся, а не иеющая наз-ся расходящейся. Если Хп стремится (при п стремящемяся к бесконечнорсти) к – бесконечности или к + бесконечности, то говорится что бесконечность сходится к бесконечности,т.е. limХп=-+бесконечность (п стремится к бесконечности).

Свойства сходящихся последовательностей:

1.сходящаяся последовательностьимеет единственный предел;

2.сходящаяся последовательность ограничена;

3.если limХп=а и а не=0, то начиная с некоторого номера, члены последовательности имеют тот же знак, что и знак а

4. lim с= С

5. если последовательность (Хп) и (Уп) сходятся и lim Хп=а, lim=b, с=const, то:

А)lim (Xn+-Yn)= limXn+-limYn=a=-b

Б)lim(c*Xn)=c*limXn=c*a

В)lim (Xn*Yn)=limXn*limYn=a*b

Г)limXn/Yn=limXn/limYn=a/b, b не=0,Ynне=0

Д)lim (Xn)^p=(limXn)^p=a^p

Е)lima^x_n=a^limXn

2.предел функции одной переменной в точке. Односторонние пределы.бесконечно большие и бесконечно малые функции.

Предел функции-с его помощью определяются многие др. матем.понятия.

Определение предела функции в точке по Коши- число А принадлежащее R называется пределом функции f(х) в точке х₀, если она определена в некоторой проколотой окрестности точки х₀ и если для любого сколь угодно малого числа Е>0 можно указать такое число b=b (х₀, е)>0 что для всех х удовлетворяющих условие 0<|x-x₀|<b, выполняется неравенство |f(x)-A|<e если e>0, b>0, то 0<|x-x₀|<b/

Определение предела функции в точке по Гейне- число А принадлежащее R называется пределом функции f(x) в точке х₀, если функция f(x) определенна в некоторой проколотой окрестности точки х₀ и если для любой последовательности (х_п), х_пне=х₀, сходящейся к х₀, соответствующая последовательность (f(x_n)) значений функции сходится к А при п стремящемся к бесконечности. Односторонние пределы функции в точке. Назовём левой полуокрестностью точки х_о произвольный интервал (а,х_о), а<х₀, а правой полуокрестностью точки х_о- произвольный интервал (х_о, b), х_о<b/

---

Число А наз. Пределом функции в точке х_о справа (слева), если функция определена в некоторой правой (левой) полуокрестности точки х_о и если для любой последовательности (х_п), х_п>х₀ (х_п<х₀), сходящейся к х_о, соответствующая последовательность (f(x_g)) значений функции сходится к А. Односторонние пределы обозначают: f(x₀+0)= lim f(x)=A-предел слева

F(x₀-0)=lim f(x)=A-предел слева

Число А принадлежащее R наз-ся пределом функции при х стремящемся к + бесконечности, если Е>0, b>0, x>B: |f(x)-F|<E.

Бесконечно малая функция- функия в которой х стремится х₀, если lim f(x)=0

Бесконечно большая функция-при х стремящемся к х₀, если для любого числа е можно указать такое число b=b(x₀,e)>0, что для всех х, удовлетворяющих условию 0<|x-x₀|<b, выполняется неравенство |f(x)|>e, в этом случае lim f(x)= бесконечности.

Свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций:

1. Сумма и произведение конечного числа бесконечно малой функции при х стремящемся к х_о есть бесконечно малая функция при х стремящемся к х_о

2. Lim f(x)=A, когда f(x)=A+a(x), где a(x)- бесконечно малая функция при х стремящемся к х₀

3. Если f(x) бесконечно большая функция при х стремящемся к х₀, то 1/f(x)- бесконечно малая функция при х стремящемся к х₀. Если f(x) бесконечно малая функция при х стремящемся к х_о, то 1/f(x)- бесконечно большая функция, при х стремящемся х₀

3.основные правила вычесления пределов. Замечательные пределы.

Первый замечательный предел-

lim sinx/x=1 или lim x/sinx=1. Учитывая что cos0=1 имеем также что lim tgx/x=1 или lim x/tgx=1

второй замечательный предел-

lim(1+1/x)^x=e или lim(1+x)^1/x=e

Примеры: a)lim sin4x/x=(0/0)=lim sin4x/4x*4=1*4,т.к. lim sin4x/4x=1

б) lim sin6x/sin4x-(0/0)=lim sin6x/6x*6x*4x/sin4x*1/4x=6/4=3/2 т.к. lim sin6x/6x=1, lim4x/sin4x=1

в) lim (1+3x)^1/x= lim(1+3x)^1/3x*3=e³ т.к. lim(1+3x)^1/3x=e

г)lim(3x-1/3x+1)^3x=(1^{бесконечность})=lim ((3x+1)-2/3x+1)^3x= lim(1+(-2)/3x+1)^3x=lim(1+9-2)/3x+1)^{3x+1/-2 * -2/3x+1 *3}=e^lim-6x/3x+1=e^-2

первый замечательный предел функции

lim sinx/х=1

lim x/sinx=1

пример: lim sin6x/x=lim 6*sin6x/6x= 6*1=6 (т.к. sin6x/6x=1)

второй замечательный предел функции:

lin(1+1/x)^x=e

lim (1+x)^1/x=e

Пример: lim (1+5x)^7/x=(1^{бесконечность})= (1+5х/1)^7/х= (1+5х/1)^{1/5х * 5х/1 * 7/х} =e³⁵ (т.к. (1+5х/1)^1/5х= е)

4Непрерывность функции в точке и на промежутке. Точки разрыва функции и их классификация.

Непрерывность функции в точке

1)Функция у=f (х) называется непрерывной в точке х_о, если выполнены следующие три условия: 1)функция определена в точке х_о и её окрестности. 2)существует конечный предел функции в точке х_о. 3)этот предел равен значению функции в точке х_о, т.е. lim f(x)= f(x₀)

2) Функция у=f (х) называется непрерывной в точке х_о, если выполнены следующие условия: 1)функция определена в точке х_о и её окрестности. 2)существуют конечные односторонние пределы lim f(x)=f(x₀-0) и lim f(x)=f(x₀+0). 3)эти пределы равны между собой и равны значению функции в точке х₀, т.е. lim f(x)-lim f(x)=f(x₀)

3) Функция у=f (х) называется непрерывной в точке х_о, если выполнены следующие три условия: 1)функция определена в точке х_о и её окрестности.2) бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции: lim y= lim (f(x₀+x)-f(x₀))=0

---

Свойства:

1. Если функции f(x) и g(x) непрерывны в точке х_о, то функции f(x)+-g(x), c*f(x) (с-постоянная), f(x)*g(x) и f(x)/g(x) (при условии что g(x₀) не = 0) также непрерывна в точке х_о

2. Если функция u=q (x) непрерывна в точке х_о, а функция у=f(u) непрерывна в точке u₀=q(x₀), то сложная функция у=f(q(x)) непрерывна в точке х_о

Непрерывнасть функции на отрезке

Функция у=f(x) наз-ся непрерывной на отрезке [a;b] , если она непрерывна в каждой точке этого отрезка (в точке а непрерывна справа, т.е. lim f(x)=f(a), а в точке b непрерывна слева, т.е. lim f(x)=f(b))

Свойства функций, непрерывных на отрезке:

1.если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то она ограничена на этом отрезке (первая теорема Вейерштрасса)

2.если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то на этом отрезке она достигает достигает своего наименьшего значения m и наибольшего значения М (вторая теорема Вейерштрасса)

3.если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и на его концах принимает значения разных знаков то внутри отрезка существует хотя бы одна точка такая что функция=0 (теорема Больцано-коши)

Точки разрыва функции и их классификация: точки в которых условие непрерывности не выполняется, называются точками разрыва этой функции. Если х_о-точка разрыва функции y=f(x) то в ней не выполняется хотя бы одно из трёх условий непрерывности функции.

Классификация: 1)точка х_о наз-ся точкой разрыва первого рода функции y=f(x) , если в этой точке существуют конечные пределы f(x₀-0) и f(x₀+0), но они не равны между собой f(x₀-0) не= f(x₀+0). Величина |f(x₀+0)-f(x₀-0)| называется при этом скачком функции y=f(x) в точке х₀.

2) Точка х₀ называется точкой устранимого разрыва функции y=f(x), если в этой точке существуют конечные пределы f(x₀-0) и f(x₀+0), они равны между собой: f(x₀-0)=f(x₀+0) но сама функция y=f(x) не определена в точке х₀ или определена но f(x₀-0)=f(x₀+0)не=f(x₀)

3)Точка х₀ называется точкой разрыва второго рода функции y=f(x) если в этой точке хотя бы один из односторонних пределов (f(x₀-0)не=f(x₀+0)) не существует или равен бесконечности.

5.Производная функция, её геометрический и экономический смысл.

1)производной функции f(x) в точке х₀ называется число обозначаемое f^’(x₀) и равное f^’(x₀)=lim f(x)-f(x₀)/x-x₀ (1)

Так как x=x₀+дельта х, х-х₀=дельта х, то предел (1) может быть записан в виде

f’(x₀)=lim f(x₀+дельта х)-f(x₀)/дельта х=lim дельтаf (x₀)/дельта х.

2)Правой производной называется число

f’(x₀+0)=lim f(x)-f(x₀)/x-x₀=lim дельта f(x₀)/ дельта х=f^’₊(x₀). Аналогично определяется левая производная f^’(x₀-0)

Выясним геометрический смысл производной:

Пусть f(x)-непрерывная функция, определённая в некоторой окрестности точки х₀. Рассмотрим две точки А(х₀;f(х₀)) и В(х₁;f(х₁)), лежащие на графике функции f(x). Прямая АВ называется секущей линией АВ:х-х₀/х₁-х₀=y-f(x₀)/f(x₁)-f(x₀)

Пусть точка В стремится к точке А по графику функции f(x) тогда секущая АВ будет стремится занять своё предельное положение.

Предельное положение наз-ся касательной к графику f(x) в точке х₀. Касательная будет существовать если существует предел lim f(x₁)-f(x₀)/x₁-x₀=f’(x₀)

---

Уравнение касательной y=f’(x₀)(x-x₀)+f(x₀) следовательно k=f’(x₀)=tga следовательно с геометрической точки зрения производная функции в точке численного равна tga где а угол образованный касательной к графику функции f(x) вточке х₀, с положительным направлением оси Ох. Прямая перпендекулярна к касательной в точке Хо-наз-ся нормалью к₁к₂=-1

Уравнение нармали: y=-1/f(x)*(x-x₀)+f(x₀)

6.Правила дифференцирования функций. Логарифмическое дефференцирование. Производные высших порядков.

1)Если функции u=u(x) и v=v(x) имеют производные в точке, то функции u+-v, uv, u/v(v(x)не=0) также имеют производные в этой точке, причём:

-(cu)’=cu’,c-число

-(u+-v)’=u’+-v’

-(uv)’=u’v+uv’

-(u/v)’=u’v-uv’/v²

2)если функция g(x) имеет производную в точке х₀, а функция f(y) имеет производную в точке у₀=g(x₀), то сложная функция f(g(x)) имеет производную в точке х₀

f’(x₀)=f’(y₀)*g’(x₀),y=g(x)

Основные производные:

1)c’=0 (с число)

2)x’=1

3)(x^a)’=ax^a-1(а-число)

4)(a^x)’=a^xlna, 0,a не =1

5)(e^x)’=e^x

6)(log_ax)’=1/xlna, 0,a не=1, x.0

7)(lnx)’=1/x,x.0

8)sinx)’=cosx

9)(cosx)’=-sinx

10)(tgx)’=1/cos²x

11)(ctgx)’=-1/sin²x

12)(arctgx)’=1/1+x²

13)(arcctgx)’=-1/1+x²

14)(arcsinx)’=1/корень (1-x²)

15)(arccosx)’=-1/корень (1-x²⁾

3)Логарифмическое дифференцирование применяют тогда, когда нужно найти производную выражения, содержащего произведения, корни, степени, т.е.выражение, которое легко логарифмируется а также для нахождения производной степенно-показательной функции u(x)^v(x)

4)Функция наз-ся заданной неявно если она представлена в виде уравнения F(x;y)=0 т.е. у не выражен явно, или его, в принципе, нельзя выразить явно через х. В этом случае производная находится учитывая что у-функция (у³)’=3y²*y’

5)Второй производной от функции y=f(x) называется производная от её первой производной y’f’(x). Обозначается вторая производная следующим образом: y”,f”, d²y/dx², d²f/dx^2. Аналогично определяется производные третьего и более высоких порядков. Например производная сотого порядка обозначается как y^(`100) или d¹⁰⁰y/dx¹⁰⁰

7.Правила лопиталя для раскрытия неопределённостей вида 0/0 и бесконечность/бесконечность. Раскрытие неопределённостей вида 0*бесконечность, бесконечность-бесконечность, 1^{бесконечность}, 0⁰

Правило Лопиталя-пусть функция f(x) и g(x) имеют производные в окрестности точки х_о тогда: 1)если lim f(x)= lim g(x)=бесконечность, то limf(x)/g(x)=(бесконечность/бесконечность)= lim f’(x)/g’(x), при условии что последний предел существует. 2)если lim f(x)=lim g(x)=0, то lim f(x)/g(x)= (0/0)= lim f’(x)/g’(x), при условии что последний существует.

Следовательно если мы имеем неопределённости бесконечность/бесконечность, 0/0, воспользоваться правилом Лопиталя означает найти производные числителя и знаменателя, а затем вычислить новый предел.

Пример lim sin4x/x=(0/0)=lim(sin4x)’/x= lim4cos4x/1=4*cos0=4*1=4

3)0*бесконечность, пусть f стремиться к 0, g стремиться к бесконечности, тогда fg=f/ (1/g)= (0/0)=g/(1/f)= (бесконечность/бесконечность), т.е. мы свели данную неопределённость к 0/0 или бесконечность/бесконечность, после чего можно применять правило Лопиталя

---

4)бесконечность-бесконечность . Пусть f стремиться к бесконечности, g стремиться к бесконечности, тогда f-g=1/(1/f)- 1/(1/g)=(1/g)-(1/f)/(1/f)*(1/g)=(0/0)

5)1^{бесконечность},0⁰, бесконечность⁰. Данные неопределённости также сводятся к неопределённостям бесконечность/бесконечность или 0/0 . для этого можно воспользоваться формулой f^g=e^infg=eglnf, f>0. Так, если f стремиться к 1, g стремиться к бесконечности, то получаем неопределённость 0*бесконечность (так как ln1=0), после чего можно получить бесконечность/бесконечность или 0/0

8.Дифференциал функции.Связь дифференциала и производной.Использование дифференциала в приближенных вычислениях.

Функция f(x) называется дифференцируемой в точке х₀, если ее приращение в этой точке можно представить в виде дельта y=f(x₀+дельтаx)-f(x₀)=A*дельтаx+a(дельтаx)

Для того чтобы функция f(x) была дифференцируемой в точке х₀, необходимо и достаточно, чтобы в точке х₀ существовала произвлдная f’(x)=A.

F(x₀+дельтаx)-f(х₀)=f’(x₀)*дельтаx+a(дельтах)

Функция f’(x₀)*дельтаx есть главная линейная часть приращения функции f(x) в точке х₀.Эту главную линейную часть приращения функции f(x) и называется дифференциалом функции f(x) в точке х₀ и обозначают df(x₀)=f’(x₀)*дельтаХ, в частности для f(x)=x имеем df=dx=1*дельтаХ=дельтаХ, следовательно df(x₀)=f’(x₀)dx

Для дифференциалов функций f и g справедливы формулы, подобные формулам для производных функций:

1)d(f+g)=df+dg

2)d(f*g)=g*df+f*dg

3)d(f/g)=(gdf-fdg)/g²

Данные формулы будут широко применяться при вычислении интегралов функций. С помощью дифференциала можно также приближенно вычислить значения функции f для ч, близких к x₀, Так как отбросив бесконечно малую функцию в формуле 2, получаем: f(x₀+дельтаХ)=f(x₀)+f’(x₀)дельтаХ

9.Исследование на монотонность функции одной переменной. Точки экстремума. Необходимые и достаточные условия существования экстремума.

Пусть задана функция y=f(x) на множестве Х и х₀-внутренняя точка множества Х.

Обозначим через U(x₀) окрестность точки х₀.В точке х₀ функция f(x) имеет локальный максимум, если существует такая окрестность U(x₀) точки х₀, что для всех х из этой окрестности выполнено условие f(x)<=f(x₀).

Точки локальных максимума и минимума называются точки локальных экстремумов, а значения функции в них-локальными экстремумами функции.Пусть функция f(x) определена на отрезке[a,b] и имеет локальный экстремум на каком0то из концов этого отрезка.Тогда такой экстремум называется локальным односторонним или краевым экстремумом. В этом случае соответствующая окрестность является правой для точки а и левой для точки b полуокрестностью.

Критическими точками , т.е. точки подозрительные на экстремум функции на интервале [a,b] , являются точки,в которых производная существует и равна 0 либо она не существует или равна бесконечности.

Первое достаточное условие экстремума-пусть непрерывная функция диффиринцируема в некоторой проколотой окрестности U(x₀) точки х₀, тогда: 1)если f’(x)>0 при х<x_0, х принадлежит U(х₀) и f’(x)<0 при х>x₀, x принадлежит U(x₀), то в точке х₀-локальный максимум

---

Смотрите также файлы

• shpory_ist_bel.doc

• Литература экон спец_дн_з_(1сем)_ зс(5сем).doc

• Вопросы к зачету для заочного отделения 2012-2013.doc

• Вопросы к экзамену_экон.спец._д.о,з.о,зс.doc

• белорусский язык.doc