2)если f’(x)<0 при x<x₀ х принадлежит U(x₀) и f’(x)>0при x>x₀ x принадлежит U(x₀), то в точке х₀ локальный минимум.

Функция называется n раз непрерывно-дифференцируемой на некотором промежутке, если на этом промежутке она имеет непрерывные производные до порядка n включительно (n=0,1,2,….)

Второе достаточное условие экстремума- пусть функция f(x) дважды непрерывно-дифференцируема. Если х₀-стационарная точка (f’(x₀)=0) в которой f’’(x₀)>0, то в точке х₀ функция имеет локальный минимум. Если же f’’(x₀)< 0 то в точке х₀ функция имеет локальный максимум.

10.Исследование функции на выпуклость и вогнутость. Точки перегиба.

1)Функция f(x) называется выпуклой вниз (вогнутой) на интервале (a;b), если для любых точек х₁, х₂ принадлежищих (a;b), a<=x₁<x₂<=b хорда АВ лежит не ниже графика этой функции т.е. если f(x)<=(x)

2) Функция f(x) называется выпуклой вверх (выпуклой) на интервале (a;b), если для любых точек х₁, х₂ принадлежищих (a;b), a<=x₁<x₂<=b хорда АВ лежит не выше графика этой функции т.е. если f(x)>=y(x)

Достаточное условие выпуклости- если f(x)- дважды непрерывно дифференцируема на интервале (a;b) и: 1)f''(x)>0 и x принадлежит (a:b) то на (a:b) функция f(x) выпукла вниз. 2)f’’(x)<0 и x принадлежит (a;b) то на (a;b) функция f(x) выпукла вверх. Точка х₀ называется точкой перегиба функции f(x), если b-окрестность точки x₀, что для всех х принадлежит(х₀-b, х₀) график функции находится с одной стороны касательной а для всех ч принадлежит (х₀,х₀+b)-с другой сторонеы касательной, проведённой к графику функции f(x) в точке х₀ т.е. точка х₀-точка перегиба функции f(x) если при переходе через точку х₀ функция f(x) меняет характер выпуклости:

Необходимое условие существования точки перегиба- если функция f(x) имеет непрерывную в точке х₀ производную f’’ и х₀-точка прегиба то f’’(x₀)=0

Достаточное условие перегиба-если функция f(x) дважды непрерывно дифференцируема в окрестности точки х₀ и при переходе через точку х₀ производная f’’(x) меняет знак, то точка х₀ является точкой перегиба функции f(x)

11Асимптомы графика функции

Прямая х=х₀ называется вертикальной асимптотой графика функции f(x) если хотя бы один из пределов f(x₀-0) или f(x₀+0) равен бесконечности

Прямая y=kx+b назщывается наклонной асимптотой графика непрерывной функции f(x) при х стремящемся к + бесконечности или х стремящемся к – бесконечности, если f(x)=kx+b+a(x), lim a(x)=0 т.е. если наклонная асимптота для графика функции f(x) существует, то тразность ординат функции f(x) и прямой у=kx+b в точке х стремится к 0 при х стремящемся к + бесконечности или при х стремящемся к – бесконечности.

Для того чтобы прямая y=kx+b являлась наклонной асимптотой графика функции f(x) при х стремящемся к + бесконечности или х стремящемся к – бесконечности, необходимо и достаточно существование конечных пределов

Lim f(x)/x=k: lim (f(x)-kx)=b

12Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.Общая схема исследования функции и построения графика.

---

Схема построения графика: 1)Находим область определения функции 2)исследуем функцию на переодичность, чётность, нечётность 3)исследуем функцию на монотонность и экстремум 4)находим промежутки выпуклости и точки перегиба 5)находим асимптомы графика функции 6)находим точки пересечения графика функции с осями координат 7)строим график

13Понятие функции нскольких независимых переменных. Предел функции двух переменных. Непрерывность.

Число А называется пределом функции при х стремящемся к х₀, у стремящемся к у₀ (или в точке М₀(х₀, у₀)), если для любого сколь угодно малого положительного числа е>0 существует b=b(e)>0 (зависящее от е) такое, что для всех х не=х_0, у не=у₀, удовлетворяющих неравенству корень (х-х₀)²+(у-у₀)²<b, выполняется неравенство |f(x,y)-A|<e. Обозначается предел следующим образом: lim f(x,y)=A или lim f(x,y)=A

Функция z=f(x,y) называется непрерывной в точке M (x₀,y₀), если 1) f(x,y) определена в точке M₀(x₀,y₀) и её окрестности; 2)имеет конечный предел lim f (x,y); 3)этот предел равен значению функции в точке M₀(x₀,y₀) т.е. f(x,y)=f (x₀,y₀)

Функция z=f(x,y) называется непрерывной в некоторой области, если она непрерывна в каждой точке этой области. Точки, в которых условие непрерывности не выполняется, называются точками разрыва этой функции. В некоторых функциях точки разрыва образуют целые линии разрыва. Например функция z=3/xy имеет две линии разрыва: ось Ох (у=0) и ось Оу(х=0)

14.Частные производные функции двух независимых переменных.Полный дифференциал. Частные производные высших порядков.

Частной производной функции двух переменных- по одной из этих переменных называется предел отношения соответствующего частного приращения функции к приращению данной переменной, когда последнее стремится к нулю (если этот предел существует). Обозначсается частная производная так: z_x’,z_y’ или f’_x(x,y), f’_y(x,y).

Полным дифференциаломффункции z=f(x,y) называется сумма произведений частных производных этой функции на приращения соответствующих независимых переменных,т.е. dz=z’_xx+z’_yy. При нефиксированных х,у,: dx=x, dy=y,а формулу полного дифференциала можно записать в виде: dz=z’_xdx+z’_ydy или dz=(dz/dx)*dx+(dz/dy)*dy

Частными производными второго порядка функции z=f(x,y) называются частные производные от частных производных первого порядка. Частные производные второго порядка четыре. Они обозначаются следующим образом:

1)Z’’_xx=(z_x’)’_x или d²z/dx²=d/dx*(dz/dx)

2)z’’_xy=(z_x’)’_y или d²z/dydx=d/dy8(dz/dx)

3)z’’_yx=(z’_y)’_x или d²z/dxdy=d/dx*(dz/dy)

4)z’’_yy=(z’_y)’_y или d²z/dy²=d/dy(dz/dy)

Аналогично определяются частные производные 3-го , 4-го и более высоких порядков. Частные производные второго или более высокого порядка,взятые по различным переменным, называются смешанными частными производными.

15.Экстремумы функции двух независимых переменных. Необходимые и достаточные условия существования экстремума.

Точка М₀(х₀,у₀) называется точкой минимума (максимума) функции z=f(x,y) если существует такая окрестность точки М₀, что для всех точек М(х,у) из этой окрестности выполняется неравенство f(x₀,у₀)<f(x,y),(f(x₀,у₀)>f(x,y). Точки минимума и максимума функции z=f(x,y) называются точками экстремума,а значения функции в точке М₀ сравнивается с её значениями в точках, достаточно близких к М₀.

---

1)Необходимые условия экстремума-если М₀(х₀,у₀)- точка экстремума дифференцируемой функции z=f(x,y), то уё частные производные z_x’ и z_y’ в этой точке равны нулю: z_x’(x₀,у₀)=0 z_y’(x₀,у₀)=0 Точки в которых частные производные первого порядка равны нулю, наз-ся критическими или стационарными. В критических точках функция z=f(x,y) может иметь экстремум а может и не иметь его.

2)Достаточное условие экстремума- пусть функция z=f(x,y) : а)определена в некоторой окрестности критической точки М₀(х₀,у₀), в которой z_x’(x₀,у₀)=0 и z_y’(x₀, y₀)=0 б)имеет непрерывные частные производные второго порядка z_xx’’(x₀, y₀)=A; z_xy’’(x₀, y₀)=B; z_yy’’(x₀, y₀)=C. Тогда если дельта= АС-В²>0 ,то функция z=f(x,y) в точке М₀(х₀,у₀) экстремума не имеет. В случае дельта=АС-В²=0 вопрос о наличии экстремума остаётся открытым.

16Неопределённый интеграл и его свойства. Таблица основных неопределённых интегралов.

Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на интервале (a,b) и для любого x принадлежащего (a,b) выполняется равенство F’(x)=f(x)

Если функция F(x) является первообразной для функции f(x) на интервале (a,b), то множество всех первообразных для f(x) задаётся формулой F(x)+C, где С-произвольная постоянная.

Множество всех первообразных функций F(x)+C для функции f(x) на интервале (a,b) называется неопределённым интегралом от функции f(x) на этом интервале и обозначается символом S f(x)dx, где S-знак интеграла; f(x)-подынтегральная функция; f(x)dx- подынтегральное выражение; х-переменная интегральная. Таким образом S f(x)dx=F(x)+C,где F(x)-некоторая первообразная для f(x) на интервале (a,b). С-произвольная постоянная.

СВОЙСТВА: 1)производная от неопределённого интеграла равна подынтегральной функции; дифференциал от неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению: (S f(x)dx)’=f(x); d(S f(x)dx)=f(x)dx. 2)неопределённый интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной: S dF(x)=F(x)+C. 3)постоянный множитель можно выносить за знак неопределённого интеграла: S cf(x)dx=с S f(x)dx, c-const. неопределённых интегралов: S (f(x)+-g(x)dx= S f(x)dx+-S g(x)dx. 5)если S f(x)dx=F(x)+C, а u=f(x)- произвольная функция, имеющая непрерывную производную , то S f(u)du=F(u)+c.

ТАБЛИЦА ОСНОВНЫХ НЕОПРЕДЕЛЁННЫХ ИНТЕГРАЛОВ:

1)S0*dx=C; 2)S18dx=Sdx=x+C;3)Sx^adx=x^a+1/a+1 +C; 4)S dx/x=ln|x|+C; 5)S a^xdx=a^x/lna +C; 6)Se^xdx= e^x+C; 7)S sinxdx=-cosx+Сж8)S cos xdx= sinx+С 9) S dx/cos²x=tg+C; 10)S dx/sin²x=-сtgx+C; 11)S dx/корень 1-x²= arcsinx+C; 12)Sdx/корень a²-x²=arcsinx/a+C; 13)S dx/корень x²+-a²=ln|x+корень x²+-a²|+c; 14) S dx/1+x²=arctgx+C; 15) S dx/a²+x²=1/a arctgx/a+C; 16)S dx/x²-a²=1/2a ln |x-a/x+a|+C.

17.Замена переменной в неопределённом интеграле. Интегрирование по частям.

Метод замены переменной-пусть требуется вычислить интеграл S f(x)dx, который не вычисляется непосредственно. Сделаем замену переменной x=g(t) где g(t)-дифференцируемая функция. Тогда dx=g’(t)dt и исходный интеграл приобритает вид S f(x)dx=S f(g(t))*g’(t)dt- эта формула называется формулой замены переменной в неопределённом интеграле.После вычисления интеграла в правой части этого равенства следует перейти от новой переменной интегрирования t к исходной переменной х.

---

Метод интегрирования по частям-пусть u=u(x) и v=v(x)- две дифференцируемые функции. По свойству дифференциала d(uv)=udv+vdu или udv=d(uv)-vdu. Интегрируя обе части последнего равенства и учитывая, что S d(uv),получаем: S udv=uv-S vdu- это формула интегрирования по частям. А)первая группа интегралов: S P(x)lnxdx; S P(x)arcsinxdx; S P(x)arccosxdx; S P(x)arctgxdx; S P(x)arcctg xdx; S P(x)lng(x)dx. Б)вторая группа: S P(x)e^kxdx, S P(x)sinkxdx, S P(x)coskxdx. В) третья группа: S e^axsinbxdx, S e^axcosbxdx, S sin(lnx)dx, S cos(lnx)dx.

18.Интегрирование простейших рациональных дробей.

Рациональной дробью называется дробь вида P_n(x)/Q_m(x), где P_n(x) и Q_m(x)- многочлены от переменной х степени m и n соответственно. Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя,т.е. n<m, и неправильной-в противном случае (n>m). Простейшей рациональной дробью называется правильная дробь одного из следующих видов: 1)А/х-а; 2)А/(х-а)^к; 3)mx+n/x²+px+q; 4)mx+n/(x²+px+q)^k

Интегралы от рациональных дробей 1) 2) находятся методом замены переменной.

19.Определённый интеграл и его свойства.Геометрический смысл определённого интеграла.

Если существует конечный предел интегральной суммы и он не зависит от спосаба разбиения отрезка [a,b]на частичные отрезки, ни от выбора точек z₁ в них, то это предел называется определённым интегралом от функции y=f(x) на отрезке [a,b] и обозначается S_a^b f(x)dx.

Таким образом: S_a^b f(x)dx=lim Mf(z₁)x₁-в этом случае функция f(x) называется интегрируемой на отрезке [a,b] Числа a И b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, f(x)-подынтегральной функцией, f(x)dx-подынтнгральным вырожением, х-переменной интегрирования, отрезок [a,b] называется промежутком интегрирования.

Геометрический смысл: пусть на отрезке [a,b] задана непрерывная неотрицательная функция y=f(x). Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная сверху графиком функции y=f(x), снизу-осью Oх, слева и справа-прямыми х=а и х=b

Свойства: 1)Значение определённого интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования S_a^b f(x)dx= S_a^b f(z)dz=S_a^b f(t)dt=…; 2)определённый интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю S_a^b f(x)dx=0; 3)S_a^b f(x)dx=-S_a^bf(x)dx; 4)постоянный множитель можно выносить за знак определённого интеграла: S_a^b c*f(x)dx=с S_a^bf(x)dx;

5)определённый интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме определённых интегралов от этих функций: S_a^b(f(x)+-g(x))dx=S_a^bs(x)dx+-S_a^bg(x)dx; 6)если функция f(x) интегрируема на отрезке [a,b] и a<c<b, то S_a^bf(x)dx=S_a^bf(x)dx=S_a^cf(x)dx+S_c^bf(x)dx; 7)(теорема о среднем).Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b] то на этом отрезке существует точка с принадлежащая [a,b] такая что S_a^bf(x)dx=f(c)*(b-a)

20.Формула Ньютона-Лейбница.Замена переменной в определённом интеграле.

Формула- если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и F(x)-какая либо её первообразная на этом отрезке, то справедливо следующая формула: S_a^bf(x)dx=F(x)^b_a=F(b)-F(a)- формула ньютона-лопиталя.

Замена переменной- пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b]. Тогда если: 1)функция x=g(t) и её производная g’(t) непрерывна при t [a,b]; 2)множеством значений функции x=gt) при t[a,b]; 3) g(a)=a g(b)=b, то справедлива формула S_a^bf(x)dx=S_a^bf[g(t)]*g’(t)dt-формула замены переменной в определённом интеграле.

---

21.Интегрирование по частям в определённом порядке.

Пуст функция u=u(x) и v=v(x) имеют непрерывные производные на отрезке [a,b] тогда имеет место следующая формула интегрирования по частям. S_a^budv=uv|_a^b-S_a^bvdu.

22.приложения определённого для вычисления площадей плоских фигур, длин дуг плоских кривых.

Площадь криволинейной трапеции: пусть функция y=f(x) неотрицательна и непрерывна на отрезке [a,b]. Тогда согласно геометрическому смыслу определённого интеграла, площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком этой функции, снизу-осью Ох, слева и справа-прямыми х=a и х=b s=S_a^bF(x)dx/

Объём тела вращения: пусть криволинейная трапеция,ограниченная графиком непрерывной на отрезке [a,b] функции y=f(x) ,осью Ох, прямыми х=a и х=b, вращается вокруг оси Ох. Тогда объём полученного тела вращения вычисляется по формуле: V_x=пS_a^bf²(x)dx=пS_a^by²dx.

Длина дуги плоской кривой: пусть кривая АВ, заданная уравнением y=f(x) где a<=x<=b, лежит в плоскости Оху. Под длиной дуги Ав понимается предел, к которому стремится длина ломаной линии, вписанной в эту дугу,когда число звеньев ломанной стремиться к бесконечности, а длина наибольшего звена стремится к нулю. Если функция y=f(x) и её производная y’=f’(x) непрерывна на отрезке [a,b]? То длина дуги кривой Ав вычисляется по формуле: L=S_a^bкорень 1+(f’(x))²*dx=S_a^bкорень1+y²*dx

23.Обыкновенные дифференциальные уравнения. Общее и частное решение. Дифференциальное уравнение первого порядка. Задача Коши.

Уравнение F(x,y,y’,yⁿ….,у⁽ⁿ⁾)=0, связывающее независимую переменную х, неизвестную функцию у=у(х) и её производные у’,yⁿ…y⁽ⁿ⁾ (наличие хотя бы одной производной обязательно), называются дифференциальным уравнением: yⁿ=f(x,y,y’,….y^(n-1). Дифференцированное уравнение, в котором неизвестная функция у зависит от одной переменной х, называется обыкновенным (ОДУ). Если же дифференциальное уравнение содержит неизвестную функцию нескольких переменных и её частные производные, то оно называется уравнением в частных производных. Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, входящей в уравнение.

Решением дифференциального уравнения n-го порядка называется любая функция, которая задана на промежутке, имеет на этом промежутке производную порядка n и обращает уравнение в верное равенство в каждой точке данного промежутка.

График решения дифференцированного уравнения называется интегральной кривой. Процесс нахождения решения дифференциального уравнения называется интегрированием этого уравнения. Решение может быть задано в неявном виде Ф(х,у)=0. В этом случае его называют интегралом дифференциального уравнения.

Общим решением дифференциального уравнения называется функция y=g(x₁,С₁,С₂….С_n)

Общий интеграл: Ф(х,у,С₁,С₂….С_n)

Частное решение дифференциального уравнения: y=g(x,C₁⁰,С₂⁰….С_n⁰).

Частный интеграл: Ф(х,у, С₁⁰,С₂⁰….С_n⁰)=0

24.дифференциальное уравнение с раздельными и разделяющимися переменными. Общее решение.

---

Смотрите также файлы

• shpory_ist_bel.doc

• Литература экон спец_дн_з_(1сем)_ зс(5сем).doc

• Вопросы к зачету для заочного отделения 2012-2013.doc

• Вопросы к экзамену_экон.спец._д.о,з.о,зс.doc

• белорусский язык.doc