ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 01.01.2020
Просмотров: 1788
Скачиваний: 63
элемента, то разложим определитель по элементам второго столбца)=
=3ּ= (из второй строки вычтем первую, умножен-
ную на 3, а из третьей строки вычтем первую, умноженную на 2) =
= 3ּ= (разложим определитель по элементам первого
столбца) = 3ּ1ּ=
Девятое свойство определителя носит название теорема аннулирования:
сумма всех
произведений элементов одной строки
(столбца) определителя на соответствующие
алгебраические дополнения элементов
другой строки (столбца) равна нулю, то
есть
+
+
= 0,
Пример.
=
=
(разложим по элементам третьей строки)=
= 0ּ+0ּ+
ּ= –2.
Но, для этого же примера: 0ּ+0ּ+1ּ=
= 0ּ+0ּ+1ּ= 0.
Если определитель любого порядка имеет треугольный вид
=,
то он равен произведению элементов,
стоящих на
диагонали:
=
ּ
ּ
… ּ
.
(4)
Пример. Вычислить определитель.
=
Иногда при вычислении определителя с помощью элементарных преобразований удается свести его к треугольному виду, после чего применяется формула (4).
Что касается
определителя произведения двух квадратных
матриц, то он равен произведению
определителей этих квадратных матриц:
.
ЛЕКЦИЯ 3. ОБРАТНАЯ МАТРИЦА
План
-
Понятие обратной матрицы. Единственность обратной матрицы.
-
Алгоритм построения обратной матрицы.
Свойства обратной матрицы.
Ключевые понятия
Обратная матрица.
Присоединенная матрица.
-
ПОНЯТИЕ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ.
ЕДИНСТВЕННОСТЬ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ
В теории чисел
наряду с числом
определяют число, противоположное ему
(
)
такое, что
,
и число, обратное ему
такое, что
.
Например, для числа 5 противоположным
будет число
(– 5), а обратным
будет число
.
Аналогично, в теории матриц мы уже ввели
понятие противоположной матрицы, ее
обозначение (– А). Обратной матрицей
для квадратной матрицы А порядка n
называется матрица
,
если выполняются равенства
,
(1)
где Е – единичная матрица порядка n.
Сразу же отметим, что обратная матрица существует только для квадратных невырожденных матриц.
Квадратная матрица называется невырожденной (неособенной), если det A ≠ 0. Если же det A = 0, то матрица А называется вырожденной (особенной).
Отметим, что
невырожденная матрица А имеет единственную
обратную матрицу
.
Докажем это утверждение.
Пусть для матрицы
А существует две обратные матрицы
,
,
то есть
и
.
Тогда
=ּ=ּ(
)
=
= (ּ)
=
=
=
.
Что и требовалось доказать.
Найдем определитель
обратной матрицы. Так как определитель
произведения двух матриц А и В одинакового
порядка равен произведению определителей
этих матриц, т. е.
,
следовательно, произведение двух
невырожденных матриц АВ есть невырожденная
матрица.
=
1
.
Делаем вывод, что определитель обратной матрицы есть число, обратное определителю исходной матрицы.
2. АЛГОРИТМ ПОСТРОЕНИЯ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ
СВОЙСТВА ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ
Покажем, что, если матрица А невырожденная, то для нее существует обратная матрица, и построим ее.
Пусть
А=
,
.
Составим матрицу из алгебраических дополнений элементов матрицы А:
.
Транспонируя ее, получим так называемую присоединенную матрицу:
.
Найдем произведение
ּ.
С учетом теоремы Лапласа и теоремы
аннулирования:
ּ=
=
=
.
Делаем вывод:
.
(2)
Алгоритм построения обратной матрицы.
-
Вычислить определитель матрицы А. Если определитель равен нулю, то обратной матрицы не существует.
-
Если определитель матрицы не равен нулю, то составить из алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы А матрицу
. -
Транспонируя матрицу
,
получить присоединенную матрицу
. -
По формуле (2) составить обратную матрицу
. -
По формуле (1) проверить вычисления.
Пример. Найти обратную матрицу.
а). Пусть А=
.
Так как матрица А имеет две одинаковые
строки, то определитель матрицы равен
нулю. Следовательно, матрица вырожденная,
и для нее не существует обратной матрицы.
б). Пусть А=
.
Вычислим определитель матрицы
обратная
матрица существует.
Составим матрицу из алгебраических дополнений
=
=
;
транспонируя
матрицу
,
получим присоединенную матрицу
;
по формуле (2) найдем
обратную матрицу
=
=
.
Проверим правильность вычислений
=
=
=
.
Следовательно обратная матрица построена верна.
Свойства обратной матрицы
1.
;
2.
;
3.
.
4.
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
4.1. МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ
-
Найти сумму, разность, произведения двух матриц А и В.
а)
,
;
б)
,
;
в)
,
;
г)
,
;
д)
,
;
е)
,
;
ж)
,
;
з)
,
;
и)
,
.
-
Доказать, что матрицы А и В коммутирующие.
а)
,
;
б)
,
.
-
Даны матрицы А. В и С. Показать, что (АВ)·С=А·(ВС).
а)
,
,
;
б)
,
,
.
-
Вычислить (3А – 2В)·С, если
,
,
.
-
Найти
,
если
а)
;
б)
.
-
Найти матрицу Х, если 3А+2Х=В, где
,
.
-
Найти АВС, если
а)
,
,
;
б)
,
,
.
ОТВЕТЫ ПО ТЕМЕ «МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ»
-
а)
,
;
б) произведения АВ и ВА не существуют;
в)
,
;
г)
,
;
д) суммы, разности
и произведения ВА матриц не существуют,
;
е)
,
;
ж) произведения матриц не существуют;
з)
,
;
и)
,
.
-
а)
;
б)
.
-
а)
;
б)
. -
.
-
а)
;
б)
.
-
.
-
а)
;
б)
.
4.2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
-
Вычислить определители
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
;
ж)
;
з)
.
-
С помощью правила треугольников вычислить определители
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
-
Вычислить определители примера 2, используя теорему Лапласа.
-
Вычислить определители, предварительно упростив их:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
;
ж)
.
-
Вычислить определитель методом приведения его к треугольному виду
.
-
Пусть даны матрицы А и В. Доказать, что
:
,
.
ОТВЕТЫ ПО ТЕМЕ «ОПРЕДЕЛИТЕЛИ»
-
а) 10; б) 1; в) 25; г) 16; д) 0; е) –3; ж) -6; з) 1.
-
а) –25; б) 168; в) 21; г) 12.
-
а) –25; б) 168; в) 21; г) 12.
4. а) 2; б) 0; в) 0; г) 70; д) 18; е) –66; ж) -36.
5. –24.
4.3. ОБРАТНАЯ МАТРИЦА
-
Найти обратную матрицу:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
;
ж)
;
з)
;
и)
;
к)
;
л)
;
м)
;
н)
.
-
Найти обратную матрицу и проверить выполнение условия
:
а)
;
б)
.
-
Доказать равенство
:
а)
,
;
б)
,
.
-
Доказать равенство
:
а)
;
б)
.
ОТВЕТЫ ПО ТЕМЕ «ОБРАТНАЯ МАТРИЦА»
-
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
;
ж)
;
з)
;
и)
;
к)
;
л)
;
м)
;
н)
.
2. а)
;
б)
.
-
а)
,
,
=
;
б)
,
,
=
.
-
а)
,
,
,
;
б)
,
,
,
.
5. ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
-
Вычислить определитель разложением
а) по i- той строке;
б) по j- тому столбцу.
1.1.
;
1.2.
;
1.3.
;
i=2, j=3. i=4, j=1. i=3, j=2.
1.4.
;
1.5.
;
1.6.
;
i=3, j=3. i=1, j=4. i=2, j=2.
1.7.
;
1.8.
;
1.9.
;
i=4, j=4. i=2, j=2. i=3, j=2.
1.10.
;
1.11.
;
1.12.
;
i=2, j=1. i=1, j=2. i=3, j=2.
1.13.
;
1.14.
;
1.15.
;
i=2, j=3. i=1, j=3. i=4, j=2.
1.16.
;
1.17.
;
1.18.
;
i=2, j=3. i=2, j=4. i=1, j=3.
1.19.
;
1.20.
;
1.21.
;
i=2, j=2. i=1, j=4. i=3, j=2.
1.22.
;
1.23.
;
1.24.
;
i=1, j=3. i=2, j=1. i=3, j=4.
1.25.
;
1.26.
;
1.27.
;
i=4, j=3. i=3, j=3. i=1, j=2.
1.28.
;
1.29.
;
1.30.
.
i=3, j=3. i=2, j=1. i=3, j=2.
ЛИТЕРАТУРА
-
Жевняк Р.М., Карпук А.А. Высшая математика. – Мн.: Выш. шк., 1992.- 384 с.
-
Гусак А.А. Справочное пособие к решению задач: аналитическая геометрия и линейная алгебра. – Мн.: Тетрасистемс, 1998.- 288 с.
-
Марков Л.Н., Размыслович Г.П. Высшая математика. Часть 1. –Мн.: Амалфея, 1999. – 208 с.
-
Белько И.В., Кузьмич К.К. Высшая математика для экономистов.
I семестр. М.: Новое знание, 2002.- 140 с.
-
Коваленко Н.С., Минченков Ю.В., Овсеец М.И. Высшая
математика. Учеб. пособие.-Мн.: ЧИУП, 2003. – 32 с.
СОДЕРЖАНИЕ
Лекция 1. Матрицы……………………………………………………3
1. Понятие матрицы. Типы матриц……………………………...3
2. Алгебра матриц………………………………………………...6
Лекция 2. Определители……………………………………………..15
1. Определители квадратной матрицы и их свойства………...15
2. Теоремы Лапласа и аннулирования…………………………18
Лекция 3. Обратная матрица………………………………………..23
-
Понятие обратной матрицы. Единственность
обратной матрицы…………………………………………...23
2. Алгоритм построения обратной матрицы.
Свойства обратной матрицы………………………………...24
4. Задачи и упражнения………………………………………………28
-
Матрицы и действия над ними…………………………..28
4.2. Определители……………………………………………...31
4.3. Обратная матрица…………………………………………32
5. Индивидуальные задания…………………………………………36
Литература…………………………………………………………….38