Файл: УМП_Кривые 2 порядка_Минченков.doc

Критерий положительной определенности (критерий Сильвестра)

Для того чтобы квадратичная форма  (х) = х^ТАх была положительно определенной, необходимо и достаточно, что все главные миноры матрицы А были положительны, то есть:

М₁ > 0, M₂ > 0, …, M_n > 0.

Критерий отрицательной определенности

Для того чтобы квадратичная форма  (х) = х^ТАх была отрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы ее главные миноры четного порядка были положительны, а нечетного – отрицательны, то есть:

М₁ < 0, M₂ > 0, М₃ < 0, …, (–1)ⁿ M_n > 0.

ПРИМЕР 3.

При каких значениях а и в квадратичная форма будет положительно определенной?

 (х₁, х₂, x₃) =

Решение.

Построим матрицу А и найдем ее главные миноры.

М₁ = 1 > 0,

= а – 1 > 0  а > 1.

= ав – а – в > 0  в > .

Ответ: а > 1, в > .

ПРИМЕР 4.

При каких значениях а и в квадратичная форма будет отрицательно определенной?

 (х₁, х₂, x₃) =

Решение.

М₁ = –1 < 0,

= –а – 1 > 0  а < –1.

= –ав – а – в < 0  в > – .

Ответ: а < –1, в > –.

ПРИМЕР 5.

Доказать, что квадратичная форма  (х₁, х₂, x₃) = положительно определена.

Решение.

Воспользуемся критерием Сильвестра. Построим матрицу А и найдем главные миноры матрицы А.

М₁ = 6 > 0, = 26 > 0, М₃ =  А  = 162 > 0

  (х₁, х₂, x₃) положительно определенная квадратичная форма.

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ

1. Какое множество точек на плоскости определяет уравнение х² + у² –
   – 4х + 10у + 29 = 0?

2. Найти координаты центра и радиус окружности, определяемой уравнением х² – 6х + у² + 12у + 36 = 0.

3. Записать каноническое уравнение эллипса, проходящего через точки .

4. Найти фокусы и эксцентриситет эллипса 3х² + 4у² = 12.

5. Какую линию определяет уравнение 9х² – 4у² = 36. Найти фокусы и эксцентриситет.

6. Найти полуоси, координаты фокусов и эксцентриситет гиперболы, заданной уравнением 5х² – 4у² = 20.

7. Записать уравнение асимптот и директрис гиперболы 4х² – 9у² = 36.

8. Большая ось эллипса равна 12, а директрисами его служат прямые
   х = 18. Составить уравнение эллипса.

9. Найти полуоси, составить уравнения асимптот и директрис гиперболы 3х² – 4у² = 12.

10. Найти координаты фокуса и уравнение директрисы параболы у² = 8х.

11. Найти координаты фокуса и уравнение директрисы параболы х² = 4у. Вычислить расстояние от точки М(6; 9) до фокуса.

12. Составить уравнение гиперболы, зная, что расстояние между ее директрисами равно 4, а расстояние между фокусами 16.

13. Найти координаты фокусов, эксцентриситет, уравнения асимптот
    и директрис гиперболы 9х² – 16у² = 144.

14. Найти координаты фокуса и уравнение директрисы параболы у² = 12х. определить расстояние от точки М(3; 6) до фокуса.

15. Записать матрицу квадратичной формы  (х₁, х₂, x₃) = .

16. Определить знакоопределенность квадратичных форм.

а)  (х₁, х₂, x₃) = ,
б)  (х₁, х₂, x₃) = .

ОТВЕТЫ

1. Точка М (2; -5).

2. М (3; -6), R = 3.

3. 

4. F₁ (-1; 0), F₂ (1; 0),  = 0,5.

5. 

6. а = 2, в = , F₁ (-3; 0), F₂ (3; 0),  = 1,5.

7. 

8. 

9. а = 2, в = ,

10. F (2; 0), х = -2.

11. F (0; 2), у = -2, r = 10.

12. 

13. F₁ (-5; 0), F₂ (5; 0),  = ,

14. F (3; 0), х = -3, r = 6.

15. 

16. а) положительно определена,
    б) квадратичная форма не является знакоопределенной.

ЛИТЕРАТУРА

1. Гусак А. А. Аналитическая геометрия и линейная алгебра.– Мн.: Тетрасистемс, 1998.

2. Овсеец М. И., Светлая Е. М. Сборник задач по высшей математике. Учебное издание.– Мн.: ЧИУиП, 2006.– 67 с.

СОДЕРЖАНИЕ

Лекция 1. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА 3

1. Окружность. Эллипс 3

2. Гипербола 6

3. Парабола 9

Лекция 2. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ 14

1. Понятие квадратичной формы и способы ее записи 15

2. Знакоопределенность квадратичных форм. Критерии положительной и отрицательной определенностей 16

Задачи и упражнения 20

Ответы 21

Литература 21

 

Учебное издание

МИНЧЕНКОВ Юрий Владимирович

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Кривые второго порядка

Учебно-методическое пособие

Ответственный за выпуск И. В. Лаврик

Компьютерный набор Л. В. Чернуха, С. Л. Дудко

Компьютерная верстка С. Л. Дудко

Подписано к печати 10.11.2006 г. Формат 6084¹/_16.

Бумага газетная. Гарнитура «Times New Roman».

Отпечатано способом ризографии в авторской редакции.

Усл. печ. л. 1,22. Уч.-изд. л. 1,0. Тираж 500 экз. Зак. 150.

Издатель и полиграфическое исполнение:

Учреждение образования

«Частный институт управления и предпринимательства».

220086, Минск, ул. Славинского, 1, корп. 3.

Л ицензия ЛИ 02330/0133342 от 29.06.2004 г.