Файл: pz2_razralg.doc

2 РАЗРАБОТКА АЛГОРИТМА УПРАВЛЕНИЯ ПРОИЗВОДСТВЕННЫМ ПРОЦЕССОМ

2.1 Основные понятия непрерывно-детерминированных схем

Класс непрерывных производственных процессов лишен особенностей, характерных для дискретных производственных процессов (оперирование над отдельными деталями, полуфабрикатами, узлами и т.д., из которых в конце концов собирается изделие; возможность расчленения производ­ственного процесса на отдельные элементарные акты, называе­мые операциями). Он характеризуется в некотором смысле противоположными свойствами. В непрерывных производственных процессах фигури­руют компоненты сырья или исходных продуктов, которые в твердом, жидком или газообразном состоянии непрерывным по­током поступают к технологическим установкам; аналогичный вид имеют компоненты готовой продукции, выходящие из соот­ветствующих технологических установок. Кроме того, непрерыв­ные производственные процессы, строго говоря, не могут быть расчленены на отдельные производственные операции, а должны рассматриваться как постоянно действующие преобразования компонентов сырья в компоненты готовой продукции.

Рассмотрим одну из возможных формализованных схем, позволяющих построить математическое описание непрерывного производственного процесса [7].

Предположим, что рассматриваемый непрерывный производ­ственный процесс реализуется на некоторой установке (оборудо­вании), характеризующейся параметрами γ_k, k=1, 2, ..., k* (например, емкость или весовая вместимость резервуаров, сече­ния входных, промежуточных и выходных отверстий, объемы промежуточных бункеров, силовые и энергетические характери­стики приводов).

К установке поступают m компонент сырья с интенсивно­стями прихода μ_i, i = 1, 2, ..., m (единицы веса или объема в единицу времени), и параметрами α_i1, α_i2, ..., α_iri. Установ­ка выдает n компонент готовой продукции с интенсивностями выхода υ_j, j = 1, 2, ..., n и параметрами β_j1, β_j2, ..., β_jlj.

Процесс, происходящий в установке, характеризуется пара­метрами (реагирования) δ_s, s = 1, 2, .... s*.

При этих обозначениях математическим описанием процесса могут служить соотношения

(3)

описывающие зависимость каждого из параметров υ_j, β_j, компо­нент готовой продукции от параметров сырья, установки и про­цесса.

Для понимания существа соотношений (3) необходимо иметь в виду следующее. Все величины, фигурирующие в (3), могут быть функциями времени, а сами соотношения — явно за­висеть от времени t.

В некоторых случаях соотношения (3) могут быть допол­нены рядом соотношений весового или объемного баланса, на­пример сумма количеств поступающих компонент сырья равна сумме выдаваемых количеств компонент продукции; сумма ко­личеств поступающих компонент сырья равна сумме емкостей резервуаров или бункеров. Однако соотношения количественного баланса не всегда нужны, поскольку в процессе мо­гут фигурировать неучитываемые отходы.

---

Рассмотренная здесь схема приспособлена для учета техно­логических факторов при описании непрерывного производствен­ного процесса, но в явном виде не учитывает факторов управ­ления производством. Чтобы ослабить значение этого обстоя­тельства, к соотношениям (3) добавляются операторы или алгоритмы переработки информации, свойственные процессу управления производством. Эти соотношения мы будем рассмат­ривать отдельно от модели технологической части процесса и выносить в особую формализованную схему. При этом возни­кает проблема взаимодействия обеих формализованных схем. Для ее разрешения в первую очередь необходимо согласовать выходы схемы управления со входами технологической схемы, Это достигается выделением специальных параметров управле­ния из числа параметров, фигурирующих в математическом описании технологической части модели. В самом деле, управ­ление непрерывным производственным процессом сводится к регулированию количества и свойств сырья, поступающего к ус­тановке (параметры μ_i и ), регулированию условий протека­ния процесса (параметры δ_s), а иногда—изменению парамет­ров γ_k установки или регулированию количества и свойств готовой продукции (параметры отбора компонент продукции υ_j и .

Выделенные таким образом параметры управления можно разбить на группы, соответствующие оперативному управлению установкой, оперативному управлению группой установок или предприятием в целом, текущему и перспективному планирова­нию.

Предлагаемая схема непрерывного производственного про­цесса может быть использована для математического описания и последующего моделирования широкого круга реальных про­цессов. В связи с этим целесообразно обратить внимание на следующие два обстоятельства. Во-первых, на практике не всег­да удается построить математическое описание непрерывного производственного процесса в виде явных функций параметров μ_i, α_i, υ_j, как это показано в соотношении (3). Иногда соотношения могут иметь неявный вид

F(μ_i , α_i, υ_j, β_j, γ_k, δ_s) = 0 (4)

Тогда возникает дополнительная трудность приведения их к виду (3) или нахождения численных методов определения искомых параметров из соотношения (4) (например, методом последовательных приближений).

Основной идеей построения моделирую­щего алгоритма для непрерывных производственных процессов является последовательный переход от одного состояния про­цесса к следующему за ним через интервал времени Δt. Сведе­ния о состояниях процесса в различные моменты времени фик­сируются и используются затем для оценки искомых величин.

В соответствии с формализован­ной схемой и соотношениями (3) характеристики процесса (например, υ_j и β_j) зависят от его параметров (μ_i , α_i, γ_k, δ_s). Известно, что некоторые из перечисленных параметров процесса являются параметрами управления и не могут быть заданы в виде исходных данных или начальных условий. Од­нако знание всех параметров оказывается необходимым усло­вием для моделирования процесса. Поэтому параметры управле­ния должны быть заданы (как функции времени t) для всего интервала моделирования процесса, либо в модели должны при­сутствовать подалгоритмы, реализующие модель системы управ­ления, по крайней мере в части выдачи управляющих команд в зависимости от состояний процесса и внешних воздействий (например, указаний руководящих и планирующих органов).

---

Практически моделирующие алгоритмы обычно содержат подалгоритмы, относящиеся как к технологической, так и к уп­равляющей частям.

Реализация на ЭВМ моделирующего алгоритма, основанного на точном воспроизведении соотношений (3) или (4), на­талкивается на значительные трудности в связи с отсутствием в общем случае точных методов решения соответствующих урав­нений, содержащих нелинейные и стохастические зависимости. Поэтому, как правило, приходится прибегать к дальнейшим уп­рощениям и огрублениям постановки задачи и математической модели. В частности, при реализации соотношений вида (3) и (4) все переменные в интервале Δt могут заменяться по­стоянными, равными средним значениям рассматриваемых величин в этом интервале. Изменения значений переменных про­исходят скачком в моменты времени, соответствующие моментам перехода к очередным Δt. Для уменьшения влияния оши­бок, связанных с такого рода огрублением математического опи­сания процесса, пользуются особого рода средними значениями переменных, определяемыми из условия минимума суммарных ошибок.

Моделирующий алгоритм для непрерывно-детерминированного производствен­ного процесса содержит операторы, уравнивающие значения параметров для каждого Δt в соответствии с соотношениями формализованной схемы (3) и (4).

Наличие весьма небольшого опыта моделирования такого рода производственных процессов не позволяет предложить до­статочно унифицированную структуру моделирующего алго­ритма. Поэтому для изучения методики моделирования непре­рывных производственных процессов на данной стадии развития вопроса целесообразно рассмотреть ряд типичных примеров.

2.2 Вывод математических моделей в аналитическом виде на ЭВМ

При аналитическом построении математической модели (ММ) исходными являются об­щие законы физики, результаты обобщения тысячелетнего опыта, накопленного ранее усилиями ученых и инженеров. Это прежде всего законы сохранения энергии, массы и вытекающие из них принципы наименьшего действия, непрерывности материальных потоков, кинетико-химических реакций, теплового баланса и другие. Естественно, что приложение этих законов и принципов примени­тельно к тому или иному физическому устройству САУ приводит к различным выражениям. Так, уравнения движения объекта управления САУ летательного аппарата (ЛА) как твердого тела с шестью степенями сво­боды выводятся на основе второго закона Ньютона:

для поступательного движения ЛА

, (5)

для вращательного движения ЛА относительно центра масс

, (6)

где m(t) – масса ЛА; V(t) – вектор линейной скорости центра масс ЛА; F(t) – вектор внешних сил, действующих на ЛА; J(t), (t), M(t) – тензор инерции, вектора угловой скорости и момен­та внешних сил соответственно.

Уравнения движения объектов управления, устройств САУ также выводятся на основе соответствующих законов и принци­пов. В частности, уравнения движения механических и электро­механических устройств строятся с помощью формализма Лагранжа [8]:

---

, (7)

где T( , , t) — кинетическая энергия системы, скалярная функ­ция, зависящая от координат, скоростей, моментов инерции и масс системы; , –обобщенные координаты и скорости; t – время; Q_i(t) – обобщенные силы.

Уравнения движения радиоэлектронных устройств и элемен­тов САУ выводятся на основе законов Кирхгофа I и II рода:

, (8)

где I_SK, U_SK, E_k — токи, падения напряжения и ЭДС в соответст­вующих контурах электрической схемы.

Уравнения движения гидравлических, пневматических и дру­гих устройств САУ выводятся на основе аналогичных законов.

Удобен для вывода дифференциальных уравнений движения динамической системы формализм Лагранжа (7). Замечатель­ное свойство формализма Лагранжа – его независимость от вы­бора обобщенных координат q_i, поэтому появляется возможность выбора удобной для исследований системы координат. Обобщен­ные силы Q_i являются производными от функций энергии различ­ного происхождения: потенциальной U(q_i), «энергии рассеяния» D, энергии регуляторов E( , ), то есть

; ; (9)

Расчет и исследование САУ на всех уровнях базируется на ММ двух видов: уравнения динамики и уравнения статики. Пос­ледние получаются из уравнений динамики как частный случай после установления переходных процессов. Так, система уравне­ний в форме (10)

(10)

является уравнением динамики. Если в этой системе положить X=X₀=const, U=U₀=const, , что соответствует устано­вившемуся режиму при t=T, то получим уравнение статики

(11)

Уравнение (11) получается в результате простейшей опера­ции упрощения ММ.

Все выкладки, необходимые для вывода уравнений САУ, обыч­но сводятся с математической точки зрения к последовательному выполнению таких операций, как умножение матрицы на вектор, перемножение матриц, сложение, вычитание, перемножение алге­браических полиномов, дифференцирование сложных функций и приведение подобных членов.

Если при выводе дифференциальных уравнений «вручную» вы­бор того или иного метода зависит скорее от вкусов исследова­теля, чем от каких-либо вычислительных преимуществ, то при машинном выводе уравнений выбор метода имеет определяющее значение. Дело в том, что количество и вид операций, приемле­мость существующих языков и программ, длительность вычисли­тельного процесса, загрузка оборудования и расход средств на решение во многом определяются принятым методом составления уравнений. В общем случае выбор метода и системы програм­мных средств аналитических преобразований должен подчи­няться зависимости

min{F=G\H}, (12)

определяющей разность двух множеств: G—операций исходного алгоритма, представленных на выбранном языке аналитических преобразований, Н — операторов аналитических преобразований, допускаемых выбранной системой программирования.

Анализ алгоритмов вывода по критерию (12), а также с точ­ки зрения наименьших затрат машинного времени и подготови­тельных операций оказывается достаточно сложным. Проведение такого анализа применительно к тестовым задачам вывода урав­нений САУ показали, что по соображениям простоты подготовки исходных данных, длины программы, вре­мени счета, объема работы оператора преимущества имеет фор­мализм Лагранжа (7).

---

В соответствии с рассматриваемым классом объектов алго­ритм формирования их ММ должен обеспечивать построение мо­делей различных частей САУ. Формализм Лагранжа представляет единый алгоритм машинного вывода уравнений, одинаково пригодный для всех частей [8]. Действительно, число этих уравнений соответст­вует числу обобщенных координат независимо от того, являются эти координаты механическими, электрическими или какими-либо другими.

Перечисленные обстоятельства являются основанием для вы­бора формализма Лагранжа за основу при разработка алгорит­мов вывода уравнений САУ. В дальнейшем будем рассматривать только механические устройства САУ. В качестве обобщенных координат будем принимать угловые и линейные пе­ремещения механических элементов. Обозначим через

(13)

вектор обобщенных координат механической части системы. Тог­да кинетическая энергия всей системы может быть представлена выражением

, (14)

а потенциальная энергия всей системы – выражением

(15)

Введем также обобщенные силы демпфирования

R=(R₁, R₂, ...,R_N)^T, (16)

где

,

и обобщенные силы внешних воздействий

Q(t) = Q_M, Q = (Q₁, Q₂,...,Q_N)

В выражениях (14)–(16) обозначено: m_il , d_il - механические массы (моменты инерции), статические коэффициенты упругих сил, h_si – механические сопро­тивления; Q_M–механические внешние моменты – известные функции времени.

Составляя теперь уравнения Лагранжа с учетом (15), (16), найдем

(17)

Уравнения (17) можно преобразовать исходя из экономичности вычислительного процесса на ЭВМ (уменьшение числа oпeрации, затрат машинного времени и т. д.).

Так, если в дальнейших исследованиях потребуется численное интегрирование полученной ММ, то ее обычно приводят к кано­нической форме. Получение уравнений в канонической форме можно осуществить сразу, если воспользоваться обозначением . Тогда уравнения (17) преобразуются к виду

Tак как уравнения линейны относительно , то они могут быть разрешены относительно :

В результате уравнения (17) приводим к виду

(18)

или, вводя новую переменную

получим

Это выражение можно записать в нормальной форме нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений:

(19)

Процедура построения ММ «механической части» САУ на ос­нове формализма Лагранжа состоит из следующих операций:

1. выбор систем координат, связанных с отдельными элемен­тами механической части устройства;

2. выбор обобщенных координат;

3. определение проекций угловых и линейных скоростей элементов механической части устройства на соответствующие оси координат;

4. составление выражений для кинетической и потенциальной энергий и обобщенных сил демпфирования (14)–(16);

5. определение обобщенных сил Q_i;

6. определение производных в соответствии с уравнением (17);

7. составление уравнений (17).

Каждую из этих операций можно представить в виде совокуп­ности некоторых операторов.

---