Файл: pz2_razralg.doc

2.3 Моделирующий алгоритм для производственного процесса

В качестве процесса, который описывается с помощью непрерывно-детерминированного подхода, рассмотрим движение звеньев «ноги» шагающего робота [8]. Приведем математическую модель движения звеньев «ноги» шагающего робота, построенную на основе формализма Лагранжа. Кинематическая схема, состоящая из трех звеньев и трех шарниров, представлена на рисунке 6.

Рисунок 6 – Кинематическая схема звеньев ноги робота

На рисунке 6 введены обозна­чения: g – ускорение силы тяжести, k_b, k_м, k_s – коэффициенты трения в со­ответствующих шарнирах, с_b, с_м, c_s – приведенные коэффициенты упругости, ℓ_b – база «бедерного» сустава, ℓ_м – длина «бедра», ℓ_s – длина «голени», m_b, m_к, m_s – приведенные массы «бедерного сустава», «голени», «ступени».

Система линейных дифференциальных уравнений, описывающих изменение углов между звеньями ноги робота в динамике с учетом заданных параметров и представленных в нормальной форме Коши, имеет вид [9]:

(m_bℓ_b²+m_к(-ℓ_b-ℓ_м)²+m_s(-ℓ_b-ℓ_м-ℓ_s)²)α”+k_bα’+с_bα = M_1,

(m_кℓ_м²+m_s(ℓ_м+ℓ_s)²)β”+k_мβ’+с_мβ+m_s(ℓ_м+ℓ_s)ℓ_sγ’ = M₂–m_кgℓ_м–m_sg(ℓ_м+ℓ_s), (20)

m_s(ℓ_м+ℓ_s)ℓ_sβ+m_sℓ_s²γ”+k_sγ’+c_sγ = M₃–m_sgℓ_s

где M_1, M_2, M₃ – моменты управления звеньев ноги робота,

α=α(t), β=β(t), γ=γ(t) – искомые функции.

Необходимо найти зависимости α(t), β(t), γ(t).

Так как в первом уравнении отсутствуют неизвестные функции β и γ, а также их производные, решим первое уравнение отдельно:

(m_bℓ_b²+m_к(-ℓ_b-ℓ_м)²+m_s(-ℓ_b-ℓ_м-ℓ_s)²)α”+k_bα’+с_bα = M₁

Оно представляет собой линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами [10]. Общее решение такого уравнения состоит из суммы двух решений: общего решения однородного уравнения (когда правая часть равна нулю) и частного решения неоднородного уравнения. В результате вычислений, получим:

α(t) = с₁е^k1t + с₂е^k2t + M₁/c_b, (21)

где с₁, с₂ – произвольные постоянные,

, – корни характеристического уравнения,

,

.

Для решения системы из двух оставшихся уравнений выразим из третьего уравнения системы (20). Продифференцировав полученное выражение последовательно два раза и подставив найденные производные β’ и β” во второе уравнение системы (20), получим:

γ^IV + a₁γ^III + a₂γ^II + a₃γ^I + a₄γ = a₅, (22)

где а₁, a₂,...,a₅ – константы, выраженные через параметры g, k_м, k_s, с_м, c_s, ℓ_м, ℓ_s, m_к, m_s, М₂, М₃.

Это уравнение представляет собой линейное неоднородное дифференциальное уравнение четвертого порядка с постоянными коэффициентами [10]. Вид общего решения такого уравнения зависит от значений корней характеристического уравнения

k⁴ + a₁k³ + a₂k²+ a₃k + a₄ = 0, (23)

а так как константы а₁, a₂,...,a₄ зависят от перечисленных выше переменных параметров, то решение уравнения (23) должно произойти после ввода параметров моделирования, то есть при выполнении программы .

Алгоритм расчета текущего состояния модели следующий. После задания параметров моделирования, определяется функция α(t) и вычисляются корни характеристического уравнения (23). По виду этих корней определяется функция γ(t). Продифференцировав найденную функцию γ(t) два раза, она и ее производные подставляются в найденное ранее выражение для β и определяется функция β(t). Затем на основании найденных функций изображается модель ноги шагающего робота в динамике. Блок-схема алгоритма расчета текущего состояния модели изображена на рисунке 8.

---

Общий моделирующий алгоритм изображен на рисунке 7. Он заключается в вводе параметров моделирования, организации цикла для отображения модели во времени, расчете и выводе текущего состояния модели. При необходимости продолжения моделирования с новыми параметрами имеется возможность ввода новых параметров моделирования.

---

Рисунок 8 – Блок-схема расчета текущего состояния модели

---