(41)

По таблице z-преобразований /4/ запишем соответствующие z-изображе-

ния для каждой дроби выражения (41).

z-преобразование выводится из дискретного преобразования Лапласа и записывается в виде:

,

где T – период следования импульса,

n – номер периода;

- z-изображение функции решетчатой функции (данная функция описывает дискретный сигнал, который совпадает со значение непрерывного сигнала x(t) в моменты времени nT и равен нулю в остальные моменты времени).

z-преобразования для дробей выражения (41) записываются в следующем виде:

; (42)

(43)

, (44)

где .

Подставляя в формулы (41), (42) и (43) численные значения коэффициентов выражения (41) при периода дискретизации T₀=0.03 c., получим соответственно:

(45)

(46)

(47)

Сумму найденных выражений (45), (46) и (47), в соответствии с выражени-

ем (39), умножим на . Получим дискретную передаточную функцию замкнутой системы:

(48)

Для уравнения n-го порядка вида:

определитель Шур-Кона записывается в виде:

,

где k=1,2,…,n;

, ,…, - сопряжённые значения коэффициентов , ,…, .

Характеристическое уравнение замкнутой системы с передаточной функций (48) третьего порядка (n=3):

, (49)

где ; ; .

Необходимое и достаточное условие устойчивости дискретных систем формулируется следующим образом: замкнутая импульсная система устойчива, если все корни характеристического уравнения лежат внутри единичной окружности. Данное условие выполняется, если все нечетные определители Шур-Кона

меньше 0, а все четные – больше 0.

Составим и вычислим четные и нечетные определители Шур-Кона для уравнения (49):

Так как , , , то система устойчива.

Для иллюстрации того, что все корни характеристического уравнения лежат внутри единичной окружности, построим корневой годограф системы. Корневым годографом называют совокупность траекторий, описываемых на комплексной плоскости корнями характеристического уравнения замкнутой системы при плавном изменении одного из ее параметров от 0 до ∞.

Для построения годографа осуществим переход от найденной передаточной функции в z-форме (48) к её частотному выражению через псевдочастоту λ, произведя подстановку билинейного преобразования:

, (50)

где - круговая частота следования импульсов.

Псевдочастота λ – некоторая безразмерная частота, связанная с круговой частотой ω соотношением:

Тогда, преобразовав выражение (48), получим частотную передаточную функцию от псевдочастоты для замкнутой системы:

(51)

Представим выражение (51) в виде:

,

где - действительная часть передаточной функции;

- мнимая часть передаточной функции.

(52)

(53)

При подстановке в выражения (52) и (53) различных значений частоты λ, в общем случае изменяющейся от 0 до ∞, получим на комплексной плоскости с ося-

ми и кривую, называемую корневым годографом системы

---

(рисунок 13).

Рисунок 13 – Корневой годограф дискретной замкнутой системы

Анализируя построенный годограф, убеждаемся, что все корни характеристического уравнения (48) лежат внутри единичной окружности, а значит, система устойчива.

4.3 Проверка устойчивости дискретной системы по частотному критерию

Частотный критерий устойчивости импульсных систем аналогичен критерию устойчивости Найквиста для непрерывных систем, и формулируется следующим образом: если разомкнутая импульсная система устойчива, то замкнутая

импульсная система регулирования устойчива, если амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧХ) разомкнутой системы не охватывает точку (-1; j0).

Построим АФЧХ разомкнутой системы с передаточной функцией (37), для чего осуществим переход от операторной формы записи передаточной функции к z-форме.

Определим передаточную функцию непрерывной части разомкнутой сис-

темы:

(54)

Разложим выражение (54) на элементарные дроби:

(55)

По таблице z-преобразований /4/ запишем соответствующие z-преобразо-

вания для каждой дроби выражения (55) по формулам (42), (43) и их сумму, в соответствии с выражением (39), умножим на . Получим дискретную передаточную функцию разомкнутой системы:

,

где T₀ – период дискретизации, T₀=0.03 с.

Тогда дискретная передаточная функция разомкнутой системы примет вид:

(56)

Осуществим переход от найденной передаточной функции в z-форме к её частотному выражению через псевдочастоту λ, произведя подстановку (50). Тогда, преобразовав выражение (56), получим частотную передаточную функцию для разомкнутой системы с учетом микропроцессора:

(57)

Отделим в выражении (57) действительную и мнимую части, то есть све-

дём его к виду:

,

где - действительная часть передаточной функции;

- мнимая часть передаточной функции.

(58)

(59)

Откладывая на комплексной плоскости по осям и соответствующие значения выражений (58) и (59), построим кривую, которая получается, если частота λ пробегает все значения от 0 до ∞ (рисунок 14).

Рисунок 14 – АФЧХ разомкнутой дискретной системы

Так как АФЧХ разомкнутой системы, построенная на рисунке 13, не охватывает точку (-1; j0), то замкнутая импульсная система регулирования устойчива.

4.4 Построение логарифмических частотных характеристик системы и их анализ

Для характеристики степени удаления системы от границы устойчивости определим запасы устойчивости, для чего построим логарифмические частотные характеристики системы.

Логарифмические частотные характеристики представляют собой амплитудную и фазовую частотные характеристики САР, построенные в полулогарифмическом масштабе.

Логарифмической амплитудной частотной характеристикой (ЛАЧХ) системы называется кривая, соответствующая 20 десятичным логарифмам модуля частотной характеристики (АЧХ), построенная в десятичном логарифмическом масштабе частот:

---

,

где - амплитудно-частотная функция системы.

Амплитудно-частотная функция определяется по формуле:

, (60)

где - реальная часть передаточной функции W(ω),

- мнимая часть передаточной функции W(ω).

Известно, что псевдочастота практически совпадает с круговой частотой в области, где выполняется условие:

T₀<2T_min, (61)

где T_min – минимальная постоянная времени элементов разомкнутой системы.

Так как минимальная постоянная времени, соответствующая электромагнитным клапанам клапаны, равна 0.02 с., выбранный период дискретизации – 0.03, то неравенство (61) выполняется всегда (0.03 c<2^.0.02 c) и во всей области работы

системы можно положить .

Тогда для построения ЛАЧХ можно использовать передаточную функцию (36) непрерывной разомкнутой системы. Данное выражение представляет собой произведение коэффициента усиления и передаточных функций элементарных динамических звеньев:

• - апериодическое звено с частотой сопряжения

50 рад/с;

• - апериодическое звено с частотой сопряжения 10 рад/с;

• - апериодическое звено с частотой сопряжения 1 рад/с

(частота сопряжения определяется как величина, обратная значению постоянной

времени элемента).

Построение начинаем с проведения через точку на оси ординат с координатой 20^.lg (4.4)=13 дБ влево горизонтальной прямой до пересечения с частотой

1 рад/с, где наклон становится равным минус 20 дБ/дек. Этот наклон сохраняется до пересечения с частотой 10 рад/с (рисунок 15), где наклон увеличивается на минус 20 дБ/дек и становится минус 40 дБ/дек. Наклон минус 40 дБ/дек сохраняется до частоты 50 рад/с, где он еще увеличивается на минус 20дБ/дек и становится равным минус 60 дБ/дек. После частоты 50 рад/с наклон минус 60 дБ/дек сохраняется.

Логарифмической фазовой частотной характеристикой (ЛФЧХ) системы называется фазовая частотная характеристика, построенная в десятичном логарифмическом масштабе частот:

(62)

Таблица 1 - Значения ЛФЧХ

ω, ˚	0	0.05	0.5	1	2	5	15	30	60	90	120	150
φ, ˚	0	-3.2	-30	-52	-77	-122	-160	-194	-226	-243	-254	-262

Графики логарифмических амплитудной (реальной и аппроксимированной) и фазовой частотных характеристик системы приведены на рисунке 15.

Рисунок 15 – Графики реальной и аппроксимированной ЛАЧХ и ЛФЧХ

разомкнутой системы

По построенным логарифмическим характеристикам определим запасы устойчивости системы:

- по фазе – превышение графика ЛФЧХ над прямой -π на частоте пересечения ЛАЧХ нулевого уровня – величина в децибелах, на которую нужно изменить коэффициент преобразования системы, для того, чтобы привести её к границе устойчивости. В данном случае запас по фазе равен 78 градусам;

- по амплитуде – превышение графика ЛАЧХ над осью частот на частоте

---

пересечения ЛФЧХ с осью (–π) – угол, на который нужно повернуть амплитудно-фазовую характеристику разомкнутой системы, чтобы замкнутая система оказалась на границе устойчивости. В данном случае запас по амплитуде 24 дБ.

Дл удовлетворительной работы системы запас устойчивости по фазе должен составлять 30…40⁰, по амплитуде - 8..10 дБ. Следовательно, данная САР сцепления колёс с дорожным покрытием автомобиля устойчива, а найденные величины запасов являются приемлемыми для системы.

4.5 Анализ качества дискретной системы регулирования

С учётом вывода о том, что в области работы данной системы псевдочастота практически совпадает с круговой частотой, проведём оценки качества для непрерывной системы. Найденные показатели будут полностью соответствовать дискретной системе.

4.5.1 Прямые оценки качества. Показатели качества систем наиболее просто определяются по кривой переходного процесса, вызванного единичным ступенчатым воздействием (функцией Хевисайда):

Построим переходную характеристику непрерывной замкнутой системы с передаточной функцией (38).

Для построения графика переходного процесса в СУ найдем переходную характеристику h(t) по формуле:

,

где L^-1 – оператор обратного преобразования Лапласа, ставящему в соответствие функции X(s) комплексной переменной функцию x(t) вещественной переменной:

,

где s – комплексная переменная.

В передаточной функции замкнутой СУ перейдём от оператора дифференцирования к комплексной переменной, произведя формальную замену p на s, и вычислим h(t):

(63)

По выражению (63) построим переходную характеристику замкнутой системы (рисунок 15).

Рисунок 15 – Переходная характеристика системы

Прямые оценки качества переходной характеристики:

а) время регулирования t_р – это время, в течение которого выходная величина достигает установившегося значения h_уст с заданной точностью Δ. Обычно принимают Δ=(0.01 0.05)h_уст, т.е. переходный процесс в системе регулирования считают закончившимся, когда переходная функция отличается от своего установившегося значения не более чем на 1 – 5%. Величина t_р характеризует быстродействие СУ: чем меньше время регулирования, тем больше быстродействие системы регулирования.

По графику рисунка 15 h_уст=2.1.

Вокруг h_уст выделим область с допуском =5% от h_уст:

=0.05^. h_уст=0.05^.2.1=0.105

Тогда 5-процентный интервал отклонения от установившегося значения будет соответствовать следующим величинам:

По графику рисунка 15 определяем, время регулирования t_р = 0.7 c.

б) Перерегулирование σ – максимальное отклонение переходной функции от установившегося значения, выраженное процентах. Характеризует запас устойчивости СУ, под которым понимают степень удаления системы от колебательной границы устойчивости. Чем меньше σ, тем больше запас устойчивости, тем дальше удалена система от колебательной границы устойчивости.

---

Низкое перерегулирование свидетельствует о большом запасе устойчивости системы от границы колебательности и высоком качестве управления.

в) Время нарастания регулируемой частоты t_н – время, необходимое для достижения регулируемой величины максимального значения.

t_н=0.6 с.

г) Время первого согласования t₁ – время, когда регулируемая величина первый раз достигает своего установившегося значения.

t₁=0.45 c.

4.5.2 Косвенные оценки качества. Косвенные оценки качества проводятся по частотным характеристикам. Наиболее часто используется амплитудно-частотная характеристика. (АЧХ) замкнутой системы.

Амплитудно-частотная функция определяется по формуле:

График АЧХ замкнутой системы приведен на рисунке 16. В данном случае по горизонтальной оси отложены значения входного воздействия система – разности угловых частот, вычисляемых ЭБУ. Причём особенно хорошо система должна отрабатывать сигнал при значении искомой разности примерно 2 рад/с (данное значение соответствует 110 рад/мин, при котором колесо с большей угловой ско-

ростью считается буксующим).

Рисунок 16 – АЧХ системы

Косвенные оценки качества:

а) показатель колебательности, определяемый по формуле:

,

где A_max – максимум АЧХ;

A(0) – значение амплитуды при нулевой частоте.

В данном случае A_max=A(0)=2.04. Тогда M=1 – переходный процесс протекает без колебаний по апериодическому закону.

б) Резонансная частота – частота, в которой амплитудно-частотная функция достигает своего максимального значения, ω_р=2.04 рад/с.

в) Частота среза – частота, при которой АЧХ достигает значения, равного 1.

Частота среза косвенно характеризует быстродействие системы: чем больше часта среза, тем меньше время регулирования.

Из графика АЧХ следует: ω_ср=10 рад/с. При значениях больше 10 рад/с система немного ослабляет сигнал. Учитывая рабочий диапазон частот системы – до

2 рад/с, можно сделать вывод о хорошем качестве системы.

Полученные показатели качества полностью удовлетворяют необходимому качеству работы САР сцепления колёс с дорожным покрытием автомобиля.

---

Смотрите также файлы

• СПИСОК.doc

• 20%.doc

• Каля-маля.doc

• 6.doc

• 5.doc