5 РАСЧЁТ ТОРМОЗНОГО ГИДРОЦИЛИНДРА

Основным силовым элементом системы управления является силовой гидроцилиндр, испытывающий повышенные нагрузки при эксплуатации.

Основными параметрами гидроцилиндров являются номинальное давление Р_ном, диаметр поршня (плунжера), диаметр штока и его ход.

Рисунок 17 - Схема гидроцилиндра с двухсторонним штоком

Выполним расчёт штока.

а) Действующая нагрузка на шток гидроцилиндра определяется по формуле:

где D₂ – внутренний диаметр цилиндра (диаметр поршня), см;

d – наружный диаметр штока, см;

p – номинальное давление, кГ/см².

(кг)

б) Определим нормальный прогиб штока, предварительно проверив применимость методики расчёта:

Проверим выполнение неравенства:

X>l₁, (64)

где – внутренняя длина штока гидроцилиндра при смещении его в крайнее положение;

l₁ – ход поршня с учётом его ширины при смещении влево, l₁=7 см.

,

см

Таким образом, условие (64) выполняется (21.6 см > 7 см). Далее определим нормальный прогиб.

Угол между осью гидроцилиндра и горизонтальной плоскостью α по условиям монтажа в машине равен 0, то есть cos(α)=1.

Начальный прогиб штока определяется по формуле:

,

где l – длина гидроцилиндра в рабочем положении, l=14.3 см;

l₂ – ход поршня с учётом его ширины при смещении вправо, l₂=7.3 см;

∆₁ – зазор на диаметр в направляющих штока, ∆₁=0.0192 мм;

∆₂ – зазор на диаметр между поршнем и цилиндром, ∆₁=0.0224 мм;

а – расстояние от начала передней направляющей штока до конца цилиндра, а=0.9 см;

G – вес гидроцилиндра, G=8 кг.

(см)

Нормальный прогиб:

, (65)

где k₁ - коэффициент, учитывающий нагрузку на шток, см^-1;

t₁ - коэффициент, учитывающий геометрические размеры штока.

Определим коэффициент k₁:

(66)

где E – модуль упругости материала штока, кг/см²;

J₁ – момент инерции сечения штока, см⁴.

В данном случае шток выполнен из стали, для которой E=2.1^.10⁶ кг/см².

Момент инерции круглого сечения штока:

(см⁴)

Подставляя численные значения в выражение (66), получим:

(см^-1)

Определим коэффициент t₁:

Вычислим численное значение нормального прогиба штока (65):

(см)

Предельное напряжение штока гидроцилиндра, испытывающего деформацию растяжения и изгиба:

, (67)

где F – площадь поперечного сечения штока, см²;

W – момент сопротивления сечения штока, см³.

Поперечное сечение штока представляет собой круг, тогда:

(см²)

Для круглого сечения штока момент сопротивления:

(см³)

Подставляя в выражения численные значения, находим предельное напряжение штока:

(кг/см²)

Запас прочности штока:

,

где - предел текучести материала штока, для стали Ст 40Х кг/см²,

- предельное напряжение материала штока, кг/см².

в) Критическая сила выражается формулой Эйлера:

,

где η=1 – коэффициент устойчивости для гидроцилиндров.

(кг)

г) Радиус инерции

Минимальный момент инерции:

Коэффициент приведённой длины:

Определим гибкость штока:

Рассчитаем гидроцилиндр на устойчивость.

---

Момент инерции кольцеобразного сечения гидроцилиндра:

D₁ - наружный диаметр цилиндра, D₁=5 см.

(см⁴)

Действующая на цилиндр нагрузка:

(кг)

Для устойчивости гидроцилиндра необходимо выполнение условия:

P<P_кр

Так как 1005 < 40830, то условие устойчивости гидроцилиндра выполняется.

---

6 МОДЕЛИРОВАНИЕ

Расчёты, приведённые выше, показывали, что при наборе приведённых коэффициентов характеристического уравнения САР сцепления колёс с дорожным покрытием устойчива. Если коэффициенты уравнения изменить, то система устойчивой при других наборах коэффициентов. Это означает, что существуют целые области коэффициентов, при которых система устойчива. Они называются областями устойчивости. Нахождение областей устойчивости является важнейшей задачей теории управления. Искать такие области можно на основе различных критериев устойчивости. Используем для нахождения областей устойчивости метод D-разбиения.

Пространством коэффициентов уравнения называют пространство, названия осей которого совпадает с коэффициентами характеристического уравнения системы. Каждой точке в таком пространстве соответствует определённый набор коэффициентов уравнения.

Если система устойчива при нескольких наборах коэффициентов, то одному и тому же уравнению одновременно соответствует точка в пространстве коэффициентов и набор корней на плоскости корней. Если коэффициенты меняются, то смещается точка в пространстве и корни на плоскости, то есть между расположением корней на плоскости корней и расположением точек в пространстве коэффициентов существует взаимное соответствие.

Мнимая ось плоскости корней является границей устойчивости системы. Указанное взаимное соответствие означает, что мнимой оси на плоскости корней соответствует множество точек пространства коэффициентов, образующих некоторую поверхность, которая делит всё пространство коэффициентов на области, в которых число правых корней остаётся неизменным. Каждую область именуют по числу правых корней m и обозначают D(m).

Для системы с характеристическим уравнением (38) третьего порядка таких областей четыре: D(3), D(2), D(1), D(0). В области D(0) правых корней нет, то есть она является областью устойчивости.

Разбиение пространства коэффициентов на области, в которых число правых корней остаётся неизменным, и выделение среди них области устойчивости D(0) называется D-разбиением.

Каждый коэффициент характеристического уравнения системы образуется из физических параметров и конструктивных коэффициентов элементов системы, то есть физические параметры входят в коэффициенты уравнения. Это значит, область устойчивости можно строить по физическим параметрам системы.

Исследуем влияние на устойчивость системы одновременно двух параметров. В качестве таких параметров примем значения передаточного коэффициента и постоянной времени гидроцилиндра, как наиболее просто заменяемого элемента системы. Передаточные функции гидроцилиндра при этом запишем соответственно в виде:

Передаточная функция главной цепи системы (34) примет вид:

(68)

---

Передаточная функция разомкнутой системы:

(69)

Передаточная функция замкнутой системы:

(70)

Перейдём от найденной передаточной функции (70) в операторной форме (p – оператор дифференцирования) к передаточной функции в изображениях по Лапласу с учётом формального правила перехода – замены символа p на символ s:

,

где s - комплексная переменная вида s=α+jω.

Характеристическое уравнение полученной системы:

(71)

При α=0 s=jω, то есть переменная s соответствует на плоскости корней границе устойчивости. Тогда уравнение (71) приводится к виду:

(72)

Данное уравнение (72) соответствует поверхности, образующей границу областей пространства коэффициентов.

Группируя в выражении (72) действительные и мнимые слагаемые, получим:

(73)

Равенство (73) равносильно системе уравнений:

(74)

При ω=const система (74) есть система двух линейных уравнений с постоянными коэффициентами относительно переменных N и T. Решение такой системы можно найти по правилу Крамера:

;

,

где ∆ - главный определитель системы:

, - частные определители:

;

Решение системы (74) допускает несколько частных случаев:

1) если главный и частные определители не равны нулю, то система (74) является совместной. При возрастании ω от -∞ до ∞ точка пересечения прямых, соответствующих первому и второму уравнениям системы (74), перемещается на плоскости параметров, вычерчивая некоторую линию. Эта линия является границей D-разбиения.

2) Если ∆=0, , , то оба уравнения системы (74) эквивалентны друг другу (коэффициенты уравнений пропорциональны). В результате прямые, соответствующие первому и второму уравнению системы (74) на плоскости параметров сливаются в одну. По отношению к границе D-разбиения такая прямая получила название особой прямой. Непосредственно к границе D-разбиения особая прямая не относится, так как ей соответствует единственное фиксированное значе-

ние частоты ω. Обычно особые прямые получаются при ω=0 и ω=∞. Сами прямые вычисляются приравниванием к нулю параметров свободного члена и коэффициента при старшей степени характеристического уравнения.

Определитель ∆=0 при ω=0 и ω=22. Однако при ω=22 и не обращаются в нуль. Поэтому имеются две особые прямые: ω=0 и ω=∞.

Приравняв к нулю свободный член характеристического уравнения (71), получим:

,

где N=0 – уравнение первой особой прямой.

Приравняв к нулю коэффициент характеристического уравнения (71) при старшей степени s, получим:

,

где T=0 – уравнение второй особой прямой.

Кривые D-разбиения для выделения областей устойчивости системы в плоскости параметров N и T изображены на рисунке 18.

Рисунок 18 - Кривые D-разбиения для выделения области устойчивости

системы в плоскости параметров N и T

Движение по границе устойчивости при возрастании частоты соответствует движению снизу вверх по мнимой оси на плоскости корней, где левые корни обозначают штриховкой. Правило штриховки переносится на плоскость параметров. При движении по линии границы устойчивости, построенной относительно двух параметров, от частоты до штриховку выполняют слева, если ∆>0, и справа, если ∆<0. Кроме того, в данном случае, штриховка выполняется двойной, так как параметры N и Т являются чётными функциями ω и движение по границе соответствует дважды прохождению по одной и той же траектории. Штриховка особых прямых выполняется одинарной и стой стороны, которая обращена к границе D-разбиения.

---

Переходу корня на плоскости корней в область штриховки соответствует уменьшение правых корней. По аналогии переходу через линию границы на плоскости параметров также соответствует уменьшение правых корней. при этом переходу в область одинарной штриховки соответствует уменьшение правых корней на единицу, в область двойной штриховки - уменьшение двух правых корней. В результате переходов попадаем в область, где число правых корней минимально. Вероятно, это область D(0) – подозрительная на область устойчивости.

Из выделенной области выберем точку с произвольными параметрами, но по возможности удалённую от границ: N=10^-6; T=0.5

Эти параметры подставим в характеристическое уравнение (71):

(75)

Систему с характеристическим уравнением (75) проверим на устойчивость по критерию Гурвица, для чего составим три определители Гурвица:

;

;

Получили: все определители Гурвица и коэффициент при старшей степени характеристического уравнения положительны. Таким образом, данная система устойчива. Кроме того, область D(0) действительно является областью устойчивости системы.

Далее из найденной области путём перебора определим наилучшие параметры передаточной функции тормозного цилиндра, построив для каждой передаточной функции характеристики системы. При этом, учитывая, что конструктивно изменить быстродействие элемента достаточно проблематично, будем изменять только коэффициент передачи цилиндра.

1) При увеличении N характеристики системы ухудшаются - уменьшаются запасы устойчивости (при увеличении N в 14 раз – запасы нулевые) и увеличивается время регулирования.

2) Будем уменьшать коэффициент передачи N. Определено, что максимально возможное уменьшение N – примерно в 5 раз (N_min=1,76^.10^-9), поскольку частота среза замкнутой системы при данном N становится равной 1,28 рад/с, что меньше рабочей частоты - 2 рад/с (то есть на рабочих частотах сигнал отрабатывается плохо).

а) Уменьшим N в 1,9 раз ( ),передаточная функция цилиндра примет вид:

Определим передаточную функцию главной цепи по формуле (33):

Передаточная функция разомкнутой системы по формуле (35):

(76)

Передаточная функция замкнутой системы по формуле (37):

(77)

Вычислим переходную функцию h(t) для выражения (77):

(78)

По выражению (78) построим переходную характеристику замкнутой системы (рисунок 19).

Рисунок 19 – Переходная характеристика системы при

В соответствии с рисунком 20, время регулирования t_р = 0.736 c. Ввиду того, что полученное значение больше исходного (0,7 с), далее будем уменьшать коэффициент передачи гидроцилиндра в меньшее количество раз.

б) Уменьшим N в 1,3 раза ( ), передаточная функция цилиндра примет вид:

Определим передаточную функцию главной цепи по формуле (33):

Передаточная функция разомкнутой системы по формуле (35):

(79)

Графики логарифмических амплитудной и фазовой частотных характеристик системы, построенные по уравнению (79), приведены на рисунке 20.

---

Смотрите также файлы

• СПИСОК.doc

• 20%.doc

• Каля-маля.doc

• 6.doc

• 5.doc