Файл: dp-1.doc

3 Расчет интегральной передаточной функции

3.1 Общие сведения по СРП

Система с распределенными параметрами - это система, в которой практически все сигналы, особенно входные и выходные, зависят от пространственных координат и времени.

Система с распределенными параметрами может описывать следующие среды: электромагнитные поля, электростатические поля, течение жидкости, пневмогидравлические, тепловые поля, гравитационное поле.

Система с сосредоточенными параметрами является частным случаем СРП, и вводятся для упрощения понятия и решения задач на первом нулевом этапе.

Все природные явления описываются 7 дифференциальными уравнениями в частных производных:

• уравнение теплопроводности;

• уравнение Пуассона;

• уравнение колебаний стержня (продольные, поперечные, уравнения колебаний струны);

• функции Грина;

• нормирующая функция;

• собственная функция;

• собственные числа;

• континуальные передаточные функции.

---

Основной характеристикой системы с распределенными параметрами является континуальная передаточная функция, которая представляет собой отношение выходной величины к входной по Лапласу в привязке к конкретной точке.

В задаче выходная функция обозначается Q(x,t), где x - трехмерная перемененная в декартовых, цилиндрических, сферических координатах.

f(x,t) - входная координата, описывающая среду и зависящая от трех переменных и t.

Основное уравнение задачи записывается в виде:

l (Q( x,t ))=f( x,t ); x  D; t  t₀. (3)

где l - оператор дифференциального уравнения.

Данная формула - формула, преобразовывающая выходные величины Q (порядок производных, их количество в координатах).

Каждой задаче придаются краевые и граничные условия:

Г(Q(x,t))=g(x,t); x  D; t > t₀; (4)

где Г - оператор граничных краевых условий.

Для того чтобы решить задачу, необходимо знать значение t в каждой точке на границе краевых условий.

g - входное воздействие на границе в каждый момент времени t.

Начальные условия для задачи записываются в виде:

N(Q(x,t))=Q₀(x); x  D, t = t₀; (5)

где N - определяет начальные условия,

Q₀ - значение искомой функции в заданный момент времени t₀.

В указанном виде система дифференциальных уравнений, включающая уравнение (3) и условия (4) - (5),не разрешима.

Рассмотрим стандартную форму записи (3) (нулевые граничные и начальные условия):

(6)

где при нулевых начальных условиях (x,t) - стандартная функция.

(x,t)=f(x,t), при Г=0 и N=0.

Стандартная функция есть выходное воздействие на среду при нулевых начальных и граничных условиях.

Функция Грина - функция источника, которая равна выходному сигналу.

G(x,t)=Q(x,t) при f(x,t)=(x-), (t-); (7)

где (x-) - пространственная -функция,

(t-) - функция по времени,

x - координата входного возмущения, куда ударила -функция по времени и по пространству,

 - координата точки отклика от удара.

С учетом этого выражение (6) можно записать:

l(G(x,,t,))=(x-)^(t-);

Г(G(x,,t,))=0; (8)

N (G(x,,t,))=0.

Функция Грина G(x,t) является второй основной характеристикой искомого уравнения.

Зная две характеристики, можно найти выходную функцию по выражению:

; (9)

Данное выражение представляет собой четырехкратный интеграл.

Если задача статическая, то есть в уравнении отсутствует время t, то ее можно записать в виде:

l(Q(x,t))=f(x), xD; (10)

Г(Q(x))=g(x), xD; (11)

Начальное условие: N0.

Стандартная форма записи будет выглядеть в виде:

l(Q(x))=(x), xD;

Г(Q(x))=0, xD;

при однородных (нулевых) граничных условиях.

Функция Грина такой задачи удовлетворяет системе уравнений:

l(G(x,))=(x-), xD, D,

Г(G(x,))=0,

где x - координаты возмущения (входные),

 - координаты отклика (выходные).

Решение задачи в этом случае выглядит следующим образом:

(12)

Данный интеграл - трехмерный интеграл.

Бывают задачи, в которых отсутствуют пространственные координаты, но есть процесс по времени. В этом случае задача записывается следующим образом:

---

l(Q(t))=f(t), t>t₀;

N(Q(t))=Q₀;

Стандартная форма записи:

l(Q(t))=(t), tt₀,

N(Q(t))=0;

Функция Грина:

l(G(t,))=(t-),

N(G(t,))=0.

Решение записывается в виде:

; (13)

Для целей управления и синтеза систем управления исходя из теории Автоматических систем практически всегда необходимо знание передаточной функции.

В теории СРП вводится понятие, так называемой, континуальной передаточной функции (точечной передаточной функции), то есть передаточной функции в предельных областях D, когда возмущение подается на среду в точке x, а реакция регистрируется в точке .

Континуальная передаточная функция выражается следующим образом:

; (14)

По сути дела континуальная передаточная функция - это преобразование Лапласа функции Грина, то есть континуальная передаточная функция является производной и определяется по функции Грина, то есть достаточно знать для решения любой задачи по СРП две функции: нормировочную функцию и функцию Грина.

Теория систем с распределенными параметрами включает в себя так называемый структурный метод ТАУ, который подразумевает операции с распределенными блоками:

- блоки соединяются последовательно;

- блоки соединяются параллельно;

- блоки соединяются обратной связью.

В связи с этим вводится понятие операторного изображения выходной величины. В теории распределенных блоков выходная величина:

; (15)

где - изображение по Лапласу выходной величины решаемой задачи;

- континуальная передаточная функция (из справочников);

- изображение по Лапласу нормировочной функции.

Если из нормировочной функции можно выделить в явном виде компоненту входной координаты:

(16)

то уравнение перепишется в следующем виде:

(17)

Последний интеграл с помощью известных способов(коэффициент разложения и коэффициент приближения) по возможности позволяет вынести входное возмущение (по Лапласу) за знак интеграла. В этом случае получим:

(18)

Такое соотношение изображения по Лапласу выходной величины к изображению по Лапласу входной величины, как интеграл по области D от континуальных передаточных функций называется интегральной передаточной функцией Среды или формулой Власова.

3.2 Порядок выполнения расчета по СРП

По заданному дифференциальному уравнению объекта в распределенных параметрах, пользуясь основами «теории структурных схем» получить выражение для передаточной функции в распределенных параметрах, выражение для выходной величины, выражение для оценочной передаточной функции для наихудших условий управления.

Построить оценочную ЛАЧХ, аппроксимировать ее с погрешностью 5% инерционно- форсированными звеньями и записать выражение передаточной функции через типовые звенья.

где

f(x, t) – управление (возмущение) – входная распределенная величина.

Зададимся начальными и граничными условиями:

---

Q(x,0)=Q₀(x)=13% - проаттестованный уровень знаний по предметам;

- значение скорости изменения знаний на месте проживания;

- скорость изменения знаний в читальном зале института.

Подадим в точку х возмущение: f(x,t)=Asin(t).

Тогда нормирующая функция примет вид:

(19)

Решение искомой функции запишется через функцию Грина и (x, t):

(20)

или

(21)

В терминах преобразования Лапласа блок можно описать соотношением:

(22)

Найдем преобразование Лапласа от нормирующей функции:

(23)

Из полученной нормирующей функции выделяем сигнал :

(24)

Уравнение (22) перепишется в виде:

(25)

Из полученного выражения можно записать интегральную передаточную функцию (функцию Власова):

(26)

Перемножив слагаемые, получим четыре интеграла зависящие от переменной . Вынеся за интегралы переменные, не зависящие от , получим:

Решая каждый интеграл в отдельности получим, что интегральная передаточная функция будет иметь следующий вид:

(27)

Заменим p на j и зададимся что константа b=0, получим:

(28)

Выделяя действительную и мнимую часть, получаем следующее выражение:

(29)

Таким образом, действительная часть выглядит следующим образом:

А мнимая часть

Принимаем, что х = 0,01, а среднее удаление местожительства студента от читального зала института l=1,5 км.

C помощью полученных выражений действительной и мнимой частей построим графики ЛАЧХ и ФЧХ. Для этого воспользуемся следующими формулами:

После проведения аппроксимации полученной ЛАЧХ, получили выражение для аппроксимированной передаточной функции вида:

где K – коэффициент усиления,

Т – постоянная времени, с.

Коэффициент усиления определяется из условия:

отсюда К=100

Частота сопряжения :

1; тогда

С учетом полученных значений передаточная функция примет вид:

А для ФЧХ передаточная функция:

;

Аппроксимированная передаточная функция располагается выше фактической. Для лучшего приближения уменьшим коэффициент усиления К до 10. Таким образом передаточная функция запишется в виде:

На рисунке 3 представлены графики ЛАЧХ фактической L() и аппроксимированной М() передаточной функции.

На рисунке 4 – ЛФЧХ фактической () и аппроксимированной () передаточной функции.

---

Рисунок 3 – Логарифмическая АЧХ (фактическая и аппроксимированная)

Рисунок 2 – Логарифмическая ФЧХ (фактическая и аппроксимированная)

---