Файл: Лекция_ 1.1. Алгебра событий.docx

Тема 1.1. Алгебра событий

План лекции:

1. Понятие случайного события

2. Понятие случайного эксперимента

3. Пространство элементарных событий

4. Операции над событиями

Список литературы:

1. Вентцель, Е.С. Теория вероятностей [Текст] / Е.С. Вентцель. – М.: Высшая школа, 2006. – 575 с.

2. Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика [Текст] / В.Е. Гмурман. - М.: Высшая школа, 2007. - 480 с.

3. Кремер, Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика [Текст] / Н.Ш. Кремер - М: ЮНИТИ, 2002. – 543 с.

П.1. Понятие случайного события

Осуществление намеченного действия и получение его результата называется экспериментом (опытом). Предметом теории вероятностей являются модели экспериментов со случайными исходами (случайных экспериментов). При этом рассматриваются только такие эксперименты, которые можно повторять (воспроизводить) при неизменном комплексе условий произвольное число раз (по крайней мере, теоретически).

Для реально воспроизводимого эксперимента понятие «наблюдаемый результат» означает, что существует принципиальная возможность зарегистрировать данный результат опыта с помощью того или иного прибора (в простейшем случае, например, визуально). Любой наблюдаемый результат интерпретируется, как случайный исход опыта (случайное событие).

Случайное событие – это событие, которое может произойти, а может и не произойти. Наступление случайного события, независимо от его природы, характеризуется вероятностью или плотностью вероятности. Вероятность случайного события характеризует частоту наступления случайного события, если указанные события повторяются большое количество раз.

Иными словами, событие является случайным в данном опыте, если заранее нельзя предсказать, произойдет оно или не произойдет в данном опыте.

П. 2. Понятие случайного эксперимента

Познание действительности происходит в результате опыта: наблюдения, измерения, эксперимента. Чтобы каким-то образом оценить событие, необходимо учесть или специально организовать условия, в которых оно происходит. Выполнение определенных условий или действий для выявления рассматриваемого события носит название опыта или эксперимента. Таким образом, под опытом подразумевается наличие определенного комплекса условий. В теории вероятностей рассматриваются опыты, которые при одном и том же комплексе начальных условий в зависимости от случайных обстоятельств заканчиваются различными исходами.

---

Если, исходя из условий, описывающих эксперимент, его результат предсказуем, то такой эксперимент является детерминированным.

Эксперимент (наблюдение) считается случайным, если он может закончиться любым из некоторой совокупности известных результатов, но до осуществления эксперимента нельзя сказать каким именно.

В дальнейшем вместо того, чтобы говорить «комплекс начальных условий создан» будет применяться выражение «произведено испытание». Термин «испытание» является общепринятым в теории вероятностей и заменяет собой термины «наблюдение», «опыт», «измерение».

Математическая формализация модели случайного эксперимента включает в себя:

1) построение множества элементарных исходов ;

2) описание множества событий для данного эксперимента;

3) задание вероятностного распределения на множестве событий.

---

П.3. Пространство элементарных событий

Каждый из равновозможных результатов испытаний называется элементарным исходом или (элементарным событием). Всякий мыслимый результат эксперимента называют элементарным событием и обычно обозначают буквами

Пространством элементарных событий называется множество всех взаимно исключающих исходов эксперимента такое, что результатом эксперимента всегда является один и только один исход.

Пространство элементарных событий обычно обозначается и считается заданным, если указаны все его элементы.

Из элементарных исходов можно составить более сложное событие. Результат испытания называется событием, независимо от его значимости. Результат испытания, который нельзя заранее прогнозировать, называется случайным событием.

Любое подмножество данного множества интерпретируется как событие (возможно, и ненаблюдаемое). Совокупность всех наблюдаемых событий составляет множество событий для данного эксперимента.

Множество для данного испытания может быть дискретным, или иметь более сложную структуру. К дискретным относятся конечные или счетные множества элементарных исходов. Построение множества(если оно не задано при описании эксперимента) осуществляется на практике, исходя из требования, чтобы все интересующие нас результаты данного эксперимента могли быть однозначно описаны на основе построенного множества. Другими словами, если нас интересуют события и т.д., являющиеся наблюдаемыми событиями в данном эксперименте, то множество должно состоять из таких исходов, чтобы существовали подмножества данного множества, равносильные событиями т.д.

---

Каждое случайное событие определяется как подмножество в множестве элементарных событий. При этом те элементарные события из, при которых событиенаступает (т.е. принадлежит подмножеству) называютблагоприятствующими событию . Говорят, что событиепроизошло (наступило, осуществилось, реализовалось), если результатом эксперимента явился элементарный исход, принадлежащий().

Два события называются совместными (совместимыми) в данном опыте, если появление одного из них не исключает появления другого.

Два события называются несовместными (несовместимыми) в данном опыте, если они не могут произойти вместе при одном и том же испытании. Несколько событий называются несовместными, если они попарно несовместны.

Другими словами, события исовместны, если соответствующие множестваиимеют общие элементы, и несовместны в противном случае, если появление одного из них исключает появление другого, и соответствующие множестваине имеют общих элементов, т.е. пересечение этих множеств является пустым множеством.

Достоверным называют событие, которое обязательно произойдет, если будет осуществлена определенная совокупность условий .

---

Невозможным называют событие, которое заведомо не произойдет, если будет осуществлена определенная совокупность условий .

Событие, совпадающее с пустым множеством , называетсяневозможным событием, а событие, совпадающее со всем множеством , называетсядостоверным событием.

События называют равновозможными, если нет основания полагать, что одно событие является более возможным, чем другие.

Теория вероятностей есть наука, изучающая закономерности случайных событий. Одной из главных задач в теории вероятностей является задача определения количественной меры возможности появления события.

---