Файл: Лекция_ 1.1. Алгебра событий.docx

П.4. Операции над событиями

С каждым испытанием связан ряд интересующих нас событий, которые, вообще говоря, могут появляться одновременно. Например, при бросании игральной кости (т.е. кубика, на гранях которого имеются очки 1, 2, 3, 4, 5, 6) событие есть выпадение двойки, а событие– выпадение четного числа очков. Очевидно, что эти события не исключают друг друга.

Пусть все возможные результаты испытания осуществляются в ряде единственно возможных частных случаев, взаимно исключающих друг друга. Тогда:

• каждый исход испытания представляется одним и только одним элементарным событием;

• всякое событие , связанное с этим испытанием, есть множество конечного или бесконечного числа элементарных событий;

• событие происходит тогда и только тогда, когда реализуется одно из элементарных событий, входящих в это множество.

Другими словами, задано произвольное, но фиксированное пространство элементарных событий , которое можно представить в виде некоторой области на плоскости. При этом элементарные события– это точки плоскости, лежащие внутри. Поскольку событие отождествляется с множеством, то над событиями можно совершать все операции, выполнимые над множествами. То есть, по аналогии с теорией множеств, строитсяалгебра событий. В частности, определены следующие операции и отношения между событиями:

(отношение включения множеств: множество является подмножеством множества)– событие A влечет за собой событие В. Иначе говоря, событие В происходит всякий раз, как происходит событие A. (отношение эквивалентности множеств) – событие тождественно или эквивалентно событию . Это возможно в том и только в том случае, когдаи одновременно, т.е. каждое из них происходит всякий раз, когда происходит другое. ()– сумма событий. Это событие, состоящее в том, что произошло хотя бы одно из двух событий или(не исключающее логическое «или»). В общем случае, под суммой нескольких событий понимается событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий.

---

()– произведение событий. Это событие, состоящее в совместном осуществлении событий и(логическое «и»). В общем случае, под произведением нескольких событий понимается событие, состоящее в одновременном осуществлении всех этих событий. Таким образом, событияинесовместны, если произведение их есть событие невозможное, т.е..

(множество элементов, принадлежащих , но не принадлежащих)– разность событий. Это событие, состоящее из исходов, входящих в , но не входящих в. Оно заключается в том, что происходит событие, но при этом не происходит событие.

Противоположным (дополнительным) для события (обозначается) называется событие, состоящее из всех исходов, которые не входят в. Два события называются противоположными, если появление одного из них равносильно непоявлению другого. Событие , противоположное событию, происходит тогда и только тогда, когда событиене происходит. Другими словами, наступление событияозначает просто то, что событиене наступило.

---

Симметрическая разность двух событий и (обозначается) называется событие, состоящее из исходов, входящих вили, но не входящих ви водновременно. Смысл события состоит в том, что наступает одно и только одно из событийили. . Обозначается симметрическая разность: или.

---

Свойства операций над событиями

Поскольку случайные события рассматриваются как множества, определенные на пространстве элементарных исходов , очевидно, что алгебраические свойства случайных событий вытекают из соответствующих свойств множеств:

---

Приведенный список не исчерпывает всех свойств операций над событиями. В то же время из него видно, что основные действия над событиями, в частности, операции сложения (объединения) и умножения (пересечения), в определенном смысле аналогичны сложению и умножению чисел. Эти операции обладают свойствами коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности. Для операции умножения событий роль, аналогичную роли единицы и нуля при умножении чисел, выполняют, соответственно, множества и. Вместе с тем, теоретико–множественные равенства 6, 6 и им подобные показывают, что полной аналогии нет.

---