Файл: Глава 1.Случайные события(практика по ТВиМС).doc

Эксперимент состоит в подбрасывании один раз правильной шестигранной кости. Обозначим Xчисло очков, выпавших на верхней грани очков. Описать множество элементарных исходов Ω и указать состав подмножеств, соответствующих следующим событиям: А ={Xкратно трём},B={Xнечётно},C={X>3},D={X<7},E={Xдробно},F={0,5<X<1,5}. Выявить пары совместных событий.
Эксперимент состоит в радиолокационном обнаружении воздушной цели. Наблюдаемый результат – положение светящегося пятна на экране, имеющего форму круга радиуса 10 см в декартовой системе координат с началом, совпадающим с центром экрана. Описать множество элементарных исходов и состав подмножеств, соответствующих следующим событиям: A={цель находится в первом квадранте},B={цель находится в круге радиуса 5 см, центр которого совпадает с центром экрана},C={ цель находится в круге радиуса 2,5 см, центр которого сдвинут на 5 см вдоль осиOxв отрицательном направлении}. Совместны ли пары событий А и В, А и С, В и С.
Игральная кость подбрасывается дважды. Наблюдаемый результат – пара чисел, соответствующих числам очков, выпавших в первый и второй раз. Описать множество элементарных исходов Ω и состав подмножеств, соответствующих следующим событиям: A={оба раза выпало число очков, кратное трём},B={ни разу не выпало число шесть},C={оба раза выпало число очков, больше трёх},D={Оба раза выпало одинаковое число очков}.
Монета подбрасывается три таза. Наблюдаемый результат – появление герба (Г) или цифры (Ц) на верхней стороне монеты. Описать множество элементарных исходов Ω и состав подмножеств, соответствующих следующим событиям: A={герб выпал ровно один раз},B={ни разу не выпала цифра},C={выпало больше гербов, чем цифр},D={герб выпал не менее, чем два раза подряд}.
Игральная кость подбрасывается один раз. Наблюдаемый результат – число очков на верхней грани. События A,B,C,D,E,Fописаны в примере 1. Описать состав и выяснить смысл следующих событий: ,,,,.
В отделе технического контроля проверяют очередную партию изделий. Взятая наудачу деталь может оказаться либо Iсорта (событие А), либоIIсорта (событие В), либоIIIсорта (событие С). Что представляют собой следующие события:,,,?
Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма очков на выпавших гранях – четная, причем на грани хотя бы одной из костей появиться шестёрка.
При перевозке ящика, в котором содержались 21 стандартная и 10 нестандартных деталей, утеряна одна деталь, причем неизвестно какая. Наудачу извлеченная (после перевозки) из ящика деталь оказалась стандартной. Найти вероятность того, что была утеряна: а) стандартная деталь; б) нестандартная деталь.
В магазин поступило 30 новых телевизоров, среди которых 5 имеют скрытые дефекты. Наудачу отбирается один телевизор для проверки. Какова вероятность, что он не имеет скрытых дефектов?
Автомат изготавливает однотипные детали, причем технология изготовления такова, что 5 % произведенной продукции оказывается бракованной. Из большой партии взята наудачу одна деталь для контроля. Найти вероятность события А={деталь бракованная}.
Игральная кость подбрасывается один раз. Найти вероятность следующих событий: A={число очков равно 6},B={число очков кратно трём},C={число очков чётно},D={число очков меньше пяти}, Е={число очков больше двух}.
Подбрасываются две игральные кости. Найти вероятности следующих событий: A={числа очков на обеих костях совпадают},B={число очков на первой кости больше, чем на второй},C={сумма очков чётна},D={сумма очков больше двух}, Е={сумма очков не меньше пяти},F={хотя бы на одной кости появится цифра 6},G={произведение выпавших очков равно 6}.
Наудачу выбирается пятизначное число. Какова вероятность следующих событий: A={число одинаково читается как слева направо, так и справа налево},B={число кратно пяти}.
1 сентября на третьем курсе одного из факультетов запланировано по расписанию три лекции по разным предметам. Всего на третьем курсе изучается 10 предметов. Студент, не успевший ознакомиться с расписанием, пытается его угадать. Какова вероятность успеха в данном эксперименте, если считать, что любое расписание их трёх предметов равновозможно?
Задумано двузначное число. Найти вероятность того, что задуманным числом окажется: а) случайно названное двузначное число; б) случайно названное двузначное число, цифры которого различны.
Брошены две игральные кости. Найти вероятности следующих событий: а) сумма выпавших очков равна семи; б) сумма выпавших очков равна восьми, а разность – четырём; в) сумма выпавших очков равна восьми, если известно, что их разность равна четырём; г) сумма выпавших очков равна пяти, а произведение – четырём.
Монета брошена два раза. Найти вероятность того, что хотя бы один раз появиться «герб».
На коробке шесть одинаковых, занумерованных кубиков. Наудачу по одному извлекают все кубики. Найти вероятность того, что номера извлечённых кубиков появятся в возрастающем порядке.
Найти вероятность того, что при бросании трёх игральных костей шестёрка выпадет на одной (безразлично какой) кости, если на гранях двух других костей выпадут числа очков, не совпадающие между собой (и не равные шести).
В ящике 10 одинаковых деталей, помеченных номерами 1, 2, …, 10. Наудачу извлечены шесть деталей. Найти вероятность того, что среди извлечённых деталей окажутся: а) деталь № 1; б) детали № 1 и № 2.
В ящике имеется 15 деталей, среди которых 10 окрашенных. Сборщик наудачу извлекает три детали. Найти вероятность того, что извлечённые детали окажутся окрашенными.
В партии из 23 деталей находятся 10 бракованных. Вынимают из партии наудачу две детали. Определить, какова вероятность того, что обе детали окажутся бракованными.

Комбинаторика

1. В вузовской столовой на первое можно заказать борщ, солянку, грибной суп, на второе - мясо с макаронами, рыбу с картошкой, курицу с рисом, а на третье - чай или компот. Сколько различных обедов можно составить из указанных блюд?

2. Свете на день рождения подарили 4 плюшевых игрушки, 2 мяча и 5 кукол. Мама положила все игрушки в большую коробку. Сколькими способами Света сможет достать из коробки 1 плюшевую игрушку, 1 мяч и 1 куклу?

3. Сколько четных двузначных чисел можно составить из цифр 0, 2, 3, 6, 7, 9?

4. Саша, Леня, Артем, Оля, Женя часто ходят в кафе. Каждый раз, обедая там, они рассаживаются по-разному. Сколько дней друзья смогут это сделать без повторения?

5. Из учащихся пяти 11 классов нужно выбрать двоих дежурных. Сколько пар дежурных можно составить (ученики в паре не должны быть из одного класса)?

6. Сколько перестановок можно сделать из букв слова «Миссисипи».

7. Мисс Марпл, расследуя убийство, заметила отъезжающее от дома мистера Дэвидсона такси. Она запомнила первую цифру “2”. В городке номера машин были трехзначные и состояли из цифр 1,2,3,4 и 5. Скольких водителей, в худшем случае, ей придется опросить, чтобы найти настоящего убийцу?

8. На втором курсе лучше всех математику знают 5 студентов: Вася, Дима, Олег, Катя и Аня. На олимпиаду по математике нужно отправить пару, состоящую из 1 мальчика и 1 девочки. Сколькими способами преподаватель может эту пару выбрать?

9. В соревнованиях по фигурному катанию принимали участие россияне, итальянцы, украинцы, немцы, китайцы и французы. Сколькими способами могут распределится места по окончании соревнований?

10. На втором курсе 6 человек (Галя, Света, Катя, Оля, Максим, Витя) учатся на все пятерки. Деканат премировал лучших студентов путевками в Анапу. Но, к сожалению, путевок всего четыре. Сколько возможно вариантов выбора студентов на отдых?

11. Пете на день рождения подарили 7 новых дисков с играми, а Вале папа привез 9 дисков из командировки. Сколькими способами они могут обменять 4 любых диска одного на 4 диска другого?

12. Войсковое подразделение состоит из 5 офицеров, 8 сержантов и 70 рядовых. Сколькими способами можно выделить отряд из 2 офицеров, 4 сержантов и 15 рядовых?

13. На выборах победили 9 человек - Сафонов, Николаев, Петров, Кулаков, Мишин, Гусев, Володин, Афонин, Титов. Из них нужно выбрать председателя, заместителя и профорга. Сколькими способами это можно сделать?

14. В ювелирную мастерскую привезли 6 изумрудов, 9 алмазов и 7 сапфиров. Ювелиру заказали браслет, в котором 3 изумруда, 5 алмазов и 2 сапфиров. Сколькими способами он может выбрать камни на браслет?

15. В студенческом общежитии в одной комнате живут трое студентов Петя, Вася и Коля. У них есть 6 чашек, 8 блюдец и 10 чайных ложек (все принадлежности отличаются друг от друга). Сколькими способами ребята могут накрыть стол для чаепития (так, что каждый получит чашку, блюдце и ложку)?

16. В районе построили новую школу. Из пришедших 25 человек нужно выбрать директора школы, завуча начальной школы, завуча среднего звена и завуча по воспитательной работе. Сколькими способами это можно сделать?

17. В кабинете заведующего ювелирного магазина имеется код, состоящий из двух различных гласных букв русского алфавита, за которой следуют 3 различные цифры. Сколько вариантов придется перебрать мошеннику, чтобы раздобыть драгоценности, которые там хранятся?

18. Сколькими способами можно составить трехцветный флаг из полос разной ширины, если имеются материи из 8 тканей?

19. На втором курсе 15 предметов. Деканату нужно составить расписание на субботу, если в этот день 5 пар занятий. Сколько различных вариантов расписания можно составить, если все занятия различны?

20. В огороде у бабушки растут 3 белые, 2 алые и 4 чайных розы. Сколькими различными способами можно составить букет из трех роз разного цвета?

21. Имеется пять различных стульев и семь рулонов обивочной ткани различных цветов. Сколькими способами можно осуществить обивку стульев.

22. Сколько может быть случая выбора 2 карандашей и 3 ручек из пяти различных карандашей и шести различных ручек?

23. На ферме есть 20 овец и 24 свиньи. Сколькими способами можно выбрать одну овцу и одну свинью? Если такой выбор уже сделан, сколькими способами можно сделать его еще раз?

24. Сколькими способами можно выбрать гласную и согласную буквы из слова «здание»?

25. Сколько существует четных пятизначных чисел, начинающихся нечетной цифрой?

1.4. Теоремы сложения и умножения вероятностей

На стеллаже в случайном порядке расставлено 15 учебников, причём пять из них в переплёте. Студент берёт наудачу три учебника. Найти вероятность того, что хотя бы один из взятых учебников окажется в переплёте (событие А).
В ящике 10 деталей, из которых четыре окрашены. Сборщик наудачу взял три детали. Найти вероятность того, что хотя бы одна из взятых деталей окрашена.
Какова вероятность того, что при десятикратном бросании монеты герб выпадет 10 раз?
Рабочий обслуживает три станка, работающих независимо друг от друга. Вероятность того, что в течение часа станок не потребует внимания рабочего, для первого станка равна 0,9, для второго — 0,8, для третьего — 0,7. Найти: 1) вероятность ртого, что в течение часа ни один из трех станков не потребует внимания рабочего; 2) вероятность того, что в течение часа по крайней мере один из станков не потребует внимания рабочего.
Вероятность появления каждого из двух независимых событий А₁иА₂соответственно равныр₁ир₂. Найти вероятность появления только одного из этих событий.
Для сигнализации о пожаре установлены два независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при пожаре сигнализатор сработает, равна 0,95 для первого сигнализатора и 0,9 для второго. Найти вероятность того, что при пожаре сработает только один сигнализатор.
Вероятность одного попадания в цель при одном залпе из двух орудий равна 0,38. Найти вероятность поражения в цель при одном выстреле первым из орудий, если известно, что для второго орудия вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,8.
В читальном зале имеется шесть учебников по теории вероятностей, из которых три в переплёте. Библиотекарь наудачу взял два учебника. Найти вероятность того, что оба учебника окажутся в переплёте.
Среди 100 лотерейных билетов есть 5 выигрышных. Найти вероятность того, что 2 наудачу выбранные билета окажутся выигрышными.
В группе учатся семь мальчиков и три девочки. По номерам зачётных книжек наудачу отобраны три студента. Найти вероятность того, что все отобранные студенты оказались мальчиками.
В ящике 10 деталей, среди которых шесть окрашенных. Сборщик наудачу извлекает четыре детали. Найти вероятность того, что все извлечённые детали окажутся окрашенными.
В результате исследований было установлено, что темноглазые отцы и темноглазые сыновья (АВ) составили 5 % обследованных лиц, темноглазые отцы и светлоглазые сыновья () – 7,9 %, светлоглазые отцы и темноглазые сыновья () – 8,9 %, светлоглазые отцы и светлоглазые сыновья () – 78,2 %. Найти связь между цветом глаз отца и сына.
Найти вероятность Р(А) по данным вероятностям:Р(АВ)=0,72;Р(А)=0,18.
Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,7, а для второго – 0,8. Найти вероятность того, что при одном залпе в мишень попадет только один из стрелков.
Один раз подбрасывается игральная кость. Событие А={выпало простое число очков}, В={выпало чётное число очков}. Вычислить вероятность того, что выпавшее число простое при условии, что оно является чётным.
Вероятность попасть в самолёт равна 0,4, а вероятность его сбить равна 0,1. Найти вероятность того, что при попадании в самолёт он будет сбит.
Из колоды в 36 карт наудачу извлекается одна карта. События: А={вынутая карта - туз},B={вынутая карта чёрной масти},F={вынутая карта - фигура, т.е. является валетом, дамой, королём или тузом}. Установить, зависимы или независимы следующие три пары событий:AиB,AиF,FиB.
Из 100 студентов, находящихся в аудитории, 50 человек знают английский, 40 – французский и 35 – немецкий. Английский и французский языки знают 20 студентов, английский и немецкий – 8, французский и немецкий – 10. Все три языка знают 5 человек. Один из студентов вышел из аудитории. Рассмотрим следующие события: E={вышедший знает английский язык},F={ вышедший знает французский язык },D={ вышедший знает немецкий язык }.