Файл: Операции, производимые с данными..pdf

ВВЕДЕНИЕ

Получение и использование информации тесно связано с операциями над данными, поэтому имеет смысл более подробно рассмотреть эту тему. В ходе информационного процесса данные преобразуются из одного вида в другой с помощью методов. Обработка данных включает в себя множество различных операций. В структуре возможных операций с данными можно выделить следующие операции:

Сбор данных — это деятельность субъекта по накоплению данных с целью обеспечения достаточной полноты. Соединяясь с адекватными методами, данные рождают информацию, способную помочь в принятии решения. Например, интересуясь ценой товара, его потребительскими свойствами, мы собираем информацию для того, чтобы принять решение: покупать или не покупать его.

Передача данных — это процесс обмена данными. Предполагается, что существует источник информации, канал связи, приемник информации и между ними приняты соглашения о порядке обмена данными, эти соглашения называются протоколами обмена. Скорость передачи информации измеряется в бодах (1 бод = 1 бит/с).

Хранение данных — это поддержание данных в форме, постоянно готовой к выдаче их потребителю. Одни и те же данные могут быть востребованы неоднократно, поэтому разрабатывается способ их хранения (обычно на материальных носителях) и методы доступа к ним по запросу потребителя.

Обработка данных — это процесс преобразования информации от исходной ее формы до определенного результата. Сбор, накопление, хранение информации часто не являются конечной целью информационного процесса. Чаще всего первичные данные привлекаются для решения какой-либо проблемы, затем они преобразуются шаг за шагом в соответствии с алгоритмом решения задачи до получения необходимых выходных данных.

Данные могут быть представлены следующими видами:

• числовые
• логические
• текстовые
• графические

Далее мы рассмотрим операции над различными видами данных. Также рассмотрим структуры данных, т.к. работа с большими объемами данных становиться при их использовании более эффективной. И для полноты картины уделим внимание единицам хранения данных.

2. ОБЩЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ДАННЫХ

Любая ЭВМ предназначена для обработки, преобразования и хранения данных. Для выполнения этих функций ЭВМ должна обладать некоторым способом представления этих данных. Представление данных заключается в их преобразовании в вид, удобный для последующей обработки либо пользователем, либо ЭВМ. Форма представления данных определяется их конечным предназначением. В зависимости от этого данные имеют внутреннее и внешнее представление (см. рис. 1.2).

Внутреннее представление данных определяется физическими принципами, по которым происходит обмен

сигналами между аппаратными средствами компьютера, принципами организации памяти, логикой работы ЭВМ. Любые данные для обработки ЭВМ представляются последовательностями двух целых чисел — единицы и нуля. Такая форма представления данных получила название двоичной.

Во внешнем представлении (для пользователя) все данные хранятся в виде файлов.

Файл — область памяти на внешнем носителе, которой присвоено имя.

Простейшими способами внешнего представления данных являются:

• вещественные и целые числа (числовые данные);

• последовательность символов (текст);

• изображение (графика, фотографии, рисунки, схемы).

Важным понятием при представлении данных в компьютерах является понятие системы счисления.

Система счисления — это способ наименования и представления чисел с помощью символов, имеющих определенные количественные значения. В зависимости от способа представления чисел системы счисления делятся на непозиционные и позиционные.

В непозиционных системах цифры не меняют своего количественного значения при изменении их расположения в числе. В римской непозиционной системе в качестве цифр используются: 1(1), V (5), Х(10), L(50), С (100), D(500), М (1000). Величина числа в римской системе счисления определяется так: если меньшая цифра стоит слева от большей, то она вычитается, если справа — прибавляется. Например, десятичное число 1998 в римской системе исчисления будет выглядеть следующим образом:

MCMXCVIII = 1000 + (1000 - 100) + (100 - 10) 4-54-1 + 1 + 1 = 1998.

В позиционных системах количественное значение каждой цифры зависит от места (позиции) в числе. Примером позиционной системы является арабская десятичная система, а также двоичная и шестнадцатеричная системы, применяемые в ЭВМ. Шестнадцатеричная система счисления оказалась востребованной программистами из-за более компактного представления чисел по сравнению с двоичной системой. Иногда для представления данных используется восьмеричная система счисления.

3. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЛОВЫХ ДАННЫХ. ОПЕРАЦИИ НАД ЧИСЛОВЫМИ ДАННЫМИ.

Количество используемых символов определяет название системы счисления (см. табл. 1.1): двоичная — два (О и 1); восьмеричная — восемь (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7); десятичная — десять (0-9); шестнадцатеричная — шестнадцать (0-9, A-F).

В общем случае любое число X в позиционной системе исчисления с основанием Q может быть представлено в развернутой форме

где коэффициенты а. — целые числа в интервале [О, Q - 1], i = п, п - 1, 1,0, -1, ..., -т.

Числа принято представлять в виде последовательности коэффициентов, называемой свернутой формой:

с указанием основания Q системы счисления.

Пр и м е р 1.4. Запишем числа в развернутой (а) и свернутой (б) формах:

• в двоичной системе (Q = 2):

а) Х₂ = 1 х 2² + 0 х 2¹ + 1 х 2° + 0 х 2'¹ + 1 х 2"²,

б) Х₂ = 101,01₂;

• в десятичной системе (Q = 10):

а) Х₁₀ = 3 х Ю² + 0 х 10¹ + 6 х 10° + 2 х 10*¹ + 5 х 10 ²,

б) Х₁₀ = 306,25₁₀;

• в восьмеричной системе (Q = 8):

а) Х₈ = 2 х 8² + 3 х 8¹ + 1 х 8° + 4 х 8¹ + 6 х 8"²,

б) Х₈ = 231,46₈;

• в шестнадцатеричной системе (Q = 16):

а) Х₁₆ = 7 х 16² + В х 16¹ + D х 16° + 3 х 16"¹ + А х 16'²,

б) Х₁₆ = 7BD,3A₁₆.

Если выразить шестнадцатеричные цифры через их десятичные значения (В = 11, D = 13, А = 10), то развернутая форма числа примет вид

Х_1в = 7 х 16² + 11 х 16¹ + 13 х 16° + 3 х 16'¹ + 10 х 16“².

3.1. ПЕРЕВОД ЧИСЕЛ В ПОЗИЦИОННЫХ СИСТЕМАХ СЧИСЛЕНИЯ

Перевод чисел в десятичную систему. Преобразование чисел, представленных в двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления, выполняется так: число записывается в развернутой форме и вычисляется его значение.

Пример 1.5. Перевести числа в десятичную систему.

Из двоичной системы число 10,11₂:

10,11₂ = 1 х 2¹ 4- 0 х 2° 4-1 х 2'¹ 4- 1 х 2'² = 2,75₁₀.

Из восьмеричной системы число 67,5₈:

67,5₈ = 6 х 8¹ + 7 х 8° + 5 х 8"¹ = 55,625₁₀.

Из шестнадцатеричной системы число 19F₁₆:

19F₁₆ = 1 х 16² + 9 х 16² + F х 16° =

= 1 х 256 + 9 х 16 + 15 х 1 = 415₁₀.

Перевод чисел в системах счисления с разными основаниями. Перевод числа X из системы счисления с основанием Q в систему счисления с основанием К выполняется путем нахождения остатков от деления числа X на основание К.

Процесс деления продолжается до тех пор, пока частное от деления не будет меньше основания К. Полученные остатки записываются в обратном порядке.

П р и м е р 1.6. Перевести число 27₁₀ в двоичную систему. Для обозначения остатков будем использовать цифры числа в свернутой форме a_Aa₃a₂aia₀.

Ответ: 27₁₀ = (a₄a_sa₂a_la₀)₂ = 11011₂.

Пример 1.7. Перевести десятичное число 318₁₀ в восьмеричную и шестнадцатеричную системы.

Ответ: 318₁₀ = {а₂а_ха₀)_& = 4 76₈; 318₁₀ = (а₂а_га₀)₁₆ = 13Е_1б.

Перевод десятичных дробей в другие системы счисления. Последовательность действий при переводе десятичной дроби следующая.

1. Последовательно умножать десятичную дробь и получаемые дробные части произведений на основание новой системы счисления до тех пор, пока дробная часть произведения не станет равной нулю или не будет достигнута требуемая точность вычисления.

2. Записать полученные целые части произведения в прямом порядке.

П р и м е р 1.8. Перевести десятичную дробь 0,1875 в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы.

Здесь вертикальная черта отделяет целые части чисел от дробных частей.

Ответ: 0,1875₁₀ = 0,0011₂ = 0,14₈ = 0,3₁₆.

Перевод смешанных чисел, содержащих целую и дробную части, осуществляется в два этапа. Вначале переводятся раздельно целая и дробная часть числа, а затем при

записи числа в новой системе счисления целая часть запятой (точкой) отделяется от дробной.

П р и м е р 1.9. Перевести десятичное число 318,1875 в восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления. Ответ: 318Д875₁₀ = 476,14₈ = 13Е,3_1б.

Перевод чисел из двоичной системы в системы с основанием 2^п (Q = 2") может производиться по более простым алгоритмам. Начнем с алгоритма перевода целого десятичного числа.

1. Двоичное число разбить справа налево на группы по п цифр в каждой. Если в последней левой группе окажется менее п цифр, то ее необходимо дополнить слева нулями до нужных п цифр.

2. Для каждой группы, состоящей из п двоичных цифр, записать соответствующее число в системе счисления Q = 2^п.

Пример 1.10. Двоичное число 10111111100000011₂ перевести в восьмеричную систему счисления:

и шестнадцатеричную систему счисления:

В первом случае группа содержит п = 3 цифр и называется триадой, а во втором — п = 4 цифр и называется тетрадой.

Для того чтобы дробное двоичное число записать в системе счисления с основанием Q= 2", нужно выполнить следующие действия.

1. Двоичное число разбить слева направо на группы по п цифр в каждой. Если в последней правой группе окажется меньше п цифр, то ее надо дополнить справа нулями до п цифр.

2. Для каждой группы, состоящей из п двоичных цифр, записать соответствующее число в системе счисления Q = 2”.

Пример 1.11. Перевести двоичное дробное число 0,10101001₂ в восьмеричную систему счисления:

и шестнадцатеричную систему счисления:

Перевод смешанных двоичных чисел осуществляется по аналогии с примером 1.9.

3.2. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ В ПОЗИЦИОННЫХ СИСТЕМАХ СЧИСЛЕНИЯ

В основе арифметических операций сложения, вычитания, умножения и деления, выполняемых в двоичной системе счисления, лежат таблицы сложения и умножения:

Сложение. В таблице сложения важно отметить, что при сложении двух единиц величина разряда становится равной (в других системах может быть и большей) основанию, происходит переполнение разряда и производится перенос в старший разряд (1 + 1 = 10₂).

Пример 1.12. Используя таблицу сложения, сложить два двоичных числа 101₂, 11₂> или десятичные 5, 3, и проверить правильность вычисления.

Правильность сложения двоичных чисел проверяется сложением соответствующих десятичных чисел: 5₁₀ + 3₁₀ = = 8₁₀ = 1000₂.

Вычитание. Операция вычитания одного числа — вычитаемого (например, 3) из большего другого — уменьшав-

мого (например, 5) путем сложения выполняется так: отрицательное число (вычитаемое) преобразуется в число, которое дополняет его до полного разряда (для 3 это будет 7=10- 3), затем происходит суммирование (5 + 7 = 12), после чего у результата отбрасывается высший разряд (получается 2).

Пример 1.13. Из двоичного числа 101₂ (десятичного 5) вычесть двоичное число 11₂ (десятичное 3). Дополним вычитаемое 11₂ до полного разряда: представим число 11₂ в виде четырехразрядного числа 0011₂, для которого определим обратный код 1100₂ (заменой 0 на 1 и 1 на 0) и дополнительный код 1101₂ = 1100₂ + 1 (добавлением 1 к младшему разряду). Производим сложение двоичных (десятичных) чисел: