Мы оставляем читателю соответствующие рассуждения, укажем лишь, что при равномерном движении любого вертикального участка цепи его вес компенсируется разностью натяжений на концах этого участка, кроме того, при безынерционном блоке (что неявно принимается), натяжение цепи справа и слева от блока одинаково. Разность весов определяется разностью масс, следовательно, разностью длин соответствующих участков:

Pправ – Pлев = hg,

так что

F = hg > 0.

С учетом сказанного 2-й закон Ньютона принимает вид:

– (–v')v' = hg,

или: v'2 = hg,

откуда находим искомую скорость:

В качестве упражнения читателю предлагается решить задачу, взяв в качестве тела переменной массы некоторый участок вертикальной цепи. Видимо, проще всего выбрать некоторый нижний отрезок левого вертикального участка с фиксированным верхним звеном (но не высотой!). Тонкость будет в определении силы F: натяжение цепи Th на нижнем конце теперь, когда звено, лежащее в основании и имеющее скорость v', включается в состав тела переменной массы, равно нулю (Th = 0), а прежнее натяжение цепи Th = hg является теперь внутренней силой. Любопытно, что ответ не зависит от длины выбранного отрезка и его можно взять сколь угодно малым, достаточно рассматривать в каждый момент времени только звено, лежащее в основании цепи. Это же ясно и из предыдущего рассмотрения.

Задача 2. В качестве тела переменной массы возьмем вертикальный, падающий, участок цепи переменной длины l = h, h – высота цепи над столом. Как и в предыдущей задаче, движение одномерное, вдоль вертикальной оси y, поэтому вследствие нерастяжимости цепи все падающие звенья имеют одну и ту же скорость v, и 2-й закон Ньютона имеет прежний вид:



Оказывается, дополнительные соображения однозначно определяют закон движения, тем самым однозначно определяется левая часть последнего уравнения, что позволяет найти силу F, а затем и силу N давления цепочки на стол.

Рассмотрим эти соображения.

Во-первых, поскольку отделяющиеся от тела, упавшие на стол звенья имеют скорость v' = 0 (удар абсолютно неупругий), относительная скорость u = v' – v = –v, и 2-й закон Ньютона в данном частном случае принимает вид:

---

Во-вторых, как и в предыдущей задаче, m =  l =  h, = . Как следствие , масса тела уменьшается вместе с высотой h, которая изменяется со скоростью v тела, v < 0. В третьих, как и в предыдущей задаче, последнее звено свободно ложится на стол, следовательно, натяжение T0 цепи на нижнем конце падающего участка равно нулю (T0 = 0). На верхнем его конце натяжение, очевидно, равно нулю, поэтому каждое звено вертикальной цепочки, за исключением упавшего последнего звена, падает свободно с ускорением . Как известно, при свободном падении с нулевой начальной скоростью текущая скорость v определяется пройденным путем s: . Для верхнего звена, а значит, и любого звена вертикального участка, при высоте h этот путь s = L – h, поэтому .

Полученные данные определяют силу F, действующую на вертикальный участок цепочки, включая последнее, покоящееся, звено:



Теперь силу F нужно связать с силой давления N всей цепи на стол. Сила F складывается из силы тяжести и силы реакции стола N > 0, действующей на вертикальный участок в точке падения звеньев. По 3-му закону Ньютона N равна силе давления вертикального участка на стол в этой точке (стандартно имеется в виду величина этой силы, направленной вниз):

F = N – mg.

Но N однозначно связана с полной силой давления N: N складывается из силы давления N вертикального участка и веса P = (M – m)g свободно лежащей на столе части цепочки:

N = N + p = N + (M – m)g,

откуда N = N – (M – m)g.

Стало быть, F = N – mg = N – Mg,

откуда, подставляя известное значение F:

Окончательно :

Кажется полезным прокомментировать как сам ответ, так и отдельные моменты решения. Ответ демонстрирует интересную разрывную зависимость силы давления N цепи на стол от времени. В начальный момент времени (t = 0), когда h = L, сила давления N = 0.

---

Затем, с уменьшением высоты h по закону свободного падения она квадратично растет со временем по закону . Наконец, в момент времени t=tмакс= , когда падает последнее звено цепи с максимальной скоростью и h = 0, сила давления достигает максимального значения Nмакс= 3Mg – тройной вес цепи. Но уже в следующий момент после падения и позднее, когда вся цепь свободно лежит на столе, сила давления равна просто весу цепочки: N = Mg при t > tмакс (см. рисунок).

Обратим внимание еще на одну тонкость. Когда мы делали заключение о свободном падении вертикального участка цепи, мы исключали из него нижнюю точку – последнее упавшее, отделившееся, звено, имеющее нулевую скорость. Сила, действующая на тело, была только силой тяжести, Fт = – mg. Когда же мы обсуждали силу F = N – mg, то это была внешняя сила, действующая на весь вертикальный участок, включая нижнюю точку, – последнее упавшее звено. Именно его останавливает сила N реакции стола (см. опять-таки обсуждение содержания внешней силы F при выводе 2-го закона Ньютона). Мы видим, что конечный вклад



в полную силу давления N связан с последним останавливающимся звеном, передающим свой импульс столу. (Сравните это явление с давлением молекулярного газа на стенку.)

И, наконец, последнее замечание. В качестве тела переменной массы можно взять участок цепи, лежащей на столе. При таком выборе будем иметь: скорость v = 0, масса m = (L – h) и увеличивается за счет падающих на стол звеньев, их скорость



поэтому , относительная скорость u = v' – v = v', сила F = N – mg, 2-й закон Ньютона

---

принимает вид: -(-v')v'=N-mg, откуда, как и раньше,



На этот раз последнее упавшее, теперь добавляющееся, звено относится к лежащей на столе части цепи. Вот такие «хитрости». Их можно избежать, а решение задачи упростить, если рассмотреть целиком всю цепь и применить 2-й закон Ньютона к движению всей цепи.
Заключение
В качестве упражнения читателю предлагается решить задачу, взяв в качестве тела переменной массы некоторый участок вертикальной цепи. Видимо, проще всего выбрать некоторый нижний отрезок левого вертикального участка с фиксированным верхним звеном (но не высотой!). Тонкость будет в определении силы F: натяжение цепи Th на нижнем конце теперь, когда звено, лежащее в основании и имеющее скорость v', включается в состав тела переменной массы, равно нулю (Th = 0), а прежнее натяжение цепи Th = hg является теперь внутренней силой. Любопытно, что ответ не зависит от длины выбранного отрезка и его можно взять сколь угодно малым, достаточно рассматривать в каждый момент времени только звено, лежащее в основании цепи. Это же ясно и из предыдущего рассмотрения
Список литература

1. 
    Тарг С. М. Краткий курс теоретической механики. — М.: Высшая школа, 1995. — С. 273-280. — 416 с. — ISBN 5-06-003117-9.
   
2. 
   ↑ Сивухин Д. В. Общий курс физики. — М.: Физматлит; Изд-во МФТИ, 2005. — Т. I. Механика. — С. 115-116. — 560 с. — ISBN 5-9221-0225-7.
   
3. 
   ↑ Перейти обратно:^1 2 Тарг С. М. Центр инерции (центр масс) // Физическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. А. М. Прохоров. — М.: Большая российская энциклопедия, 1999. — Т. 5: Стробоскопические приборы — Яркость. — С. 624-625. — 692 с. — 20 000 экз. — ISBN 5-85270-101-7.
   
4. 
   ↑ Перейти обратно:^1 2 Исаак Ньютон. Математические начала натуральной философии = Philosophia naturalis principia matematica / Перевод с латинского и примечания А. Н. Крылова. — М.: Наука, 1989. — С. 45-49. — 688 с. — (Классики науки). — ISBN 5-02-000747-1
   

0>0>0>

---

Смотрите также файлы

• Задача 4 Кручение круглого бруса Для вала круглого сечения заданной схемы (рис. 1) требуется.docx

• Доклад Где применяются профстандарты.docx

• Задание Разработать и описать технологию эффективного найма психологапедагога, менеджера, руководителя (начальника) отдела (компании) по выбору.docx

• Отчет по производственной практике пп 01. 01 Информационные системы.ppt

• 2022 год план.docx