Добавлен: 02.02.2019
Просмотров: 5200
Скачиваний: 24
49
СЫЗЫҚТЫ ТҮРЛЕНДІРУ. СЫЗЫҚТЫ ТҮРЛЕНДІРУДІҢ
СИПАТТАМАЛЫҚ САНЫ МЕН ӨЗІНДІК ВЕКТОРЫ
п өлшемді R сызықты кеңістік қарастырайық.
Анықтама. R
сызықты кеңістігінің əрбір x
∈
R векторына
қандай да бір ереже (заң) бойынша Ax
∈
R вектор сəйкес қойылса
R
сызықты кеңістігінде А түрлендіруі берілген деп атайды. Кез
келген x, y векторы мен
λ
саны үшін
A(x+y)=Ax+Ay, A(
λ
x)=
λ
Ax
теңдіктері орындалса А түрлендіруі сызықты түрлендіру
болады.
Сызықты түрлендіру кез келген х векторды өзіне
түрлендірсе, онда ол тепе-тең түрлендіру деп аталады. Тепе-тең
түрлендіруді Е əрпімен белгілейді. Сонымен,
Ех=х.
Базисі
n
e
e
e
...,
,
,
2
1
болатын R сызықты кеңістікте А
сызықты түрлендіру берілсін.
n
Ae
Ae
Ae
,...,
,
2
1
векторлары осы
кеңістікте болатындықтан оларды базис бойынша жіктеп жазуға
болады:
n
nn
n
n
n
n
n
n
n
e
a
e
a
e
a
Ae
e
a
e
a
e
a
Ae
e
a
e
a
e
a
Ae
+
+
+
=
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
+
+
+
=
+
+
+
=
...
...
...
2
2
1
1
2
2
22
1
12
2
1
2
21
1
11
1
n
Ae
Ae
Ae
,...,
,
2
1
векторларының
n
e
e
e
...,
,
,
2
1
базистегі
координаталарынан мынадай матрица құрайық:
=
nn
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A
...
...
...
...
...
...
...
2
1
2
22
21
1
12
11
.
Осы А матрица сызықты түрлендіру матрицасы деп аталады.
50
R кеңістігінің қандай да бір
n
n
e
x
e
x
e
x
x
+
+
=
2
2
1
1
векторын
қарастырайық. Сызықты түрлендіру нəтижесінде пайда болған Ах
векторы да осы кеңістікте болғандықтан, оның
n
e
e
e
...,
,
,
2
1
базистегі жіктелуі мынадай болсын:
n
n
e
x
e
x
e
x
Ax
′
+
′
+
′
=
2
2
1
1
.
Ах векторының
n
x
x
x
′
′
′
...,
,
,
2
1
координаталары х векторының
n
x
x
x
...,
,
,
2
1
координаталары арқылы былайша өрнектеледі:
n
nn
n
n
n
n
n
n
n
x
a
x
a
x
a
x
x
a
x
a
x
a
x
x
a
x
a
x
a
x
+
+
+
=
′
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
+
+
+
=
′
+
+
+
=
′
...
...
...
2
2
1
1
2
2
22
1
21
2
1
2
12
1
11
1
(2)
Осы n теңдеуді
n
e
e
e
...,
,
,
2
1
базистегі сызықты түрлендіру деуге
болады. Бұл түрлендіру формуласындағы коэффициенттер А
матрицасының жолдарының элементтері, олай болса (2) теңдікті
матрицалық түрде де жазып көрсетуге болады:
′
′
′
n
x
x
x
...
2
1
=А
n
x
x
x
...
2
1
(3)
Мысалдар қарастырайық. 1. п өлшемді кеңістіктегі Е
тепе-тең түрлендіру матрицасын табу керек.
Шешуі. Тепе-тең түрлендіру базистік векторларды өзгертпейді:
n
n
e
Ae
e
Ae
e
Ae
=
=
=
,...,
,
2
2
1
1
, яғни оның базис бойынша жіктелуі
мынадай болады:
n
n
n
n
e
e
e
Ae
e
e
e
Ae
e
e
e
Ae
⋅
+
+
⋅
+
⋅
=
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
⋅
+
+
⋅
+
⋅
=
⋅
+
+
⋅
+
⋅
=
1
...
0
0
0
...
1
0
0
...
0
1
2
1
2
1
2
2
1
1
51
Енді сызықты түрлендіру матрицасын жазуға болады:
=
1
...
0
0
...
...
...
...
0
...
1
0
0
...
0
1
E
.
Демек, тепе-тең түрлендіру матрицасы бірлік матрица болады екен.
2. Үш өлшемді кеңістіктегі (
3
2
1
,
,
e
e
e
) базисте А сызықты
түрлендіруі мынадай матрицамен берілген:
−
=
2
8
1
6
5
1
4
2
3
A
. Осы
кеңістіктегі
3
2
1
3
4
e
e
e
x
+
−
=
векторына жасалған Ах сызықты
түрлендіруді табу керек.
Шешуі. (3) формуланы қолданайық:
Ax=
′
′
′
3
2
1
x
x
x
=
⋅
−
2
8
1
6
5
1
4
2
3
−
1
3
4
=
−
−
18
13
10
.
Сонымен,
3
2
1
18
13
10
e
e
e
Ax
−
−
=
.
Сызықты
түрлендіруге
қолданылатын
амалдарды
қарастырайық.
1.
А жəне В сызықты түрлендірулер қосындысы деп мынадай
(А+В)х=Ах+Вх
теңдеумен анықталатын А+В сызықты түрлендіруді айтады.
2.
А сызықты түрлендіруі мен
λ
тұрақты санының
көбейтіндісі деп мынадай
(
λ
А)х=
λ
(Ах)
52
теңдеумен анықталатын
λ
А сызықты түрлендіруді айтады.
3.
А жəне В сызықты түрлендірулер көбейтіндісі деп
мынадай
(АВ)х=А(Вх)
теңдеумен анықталатын А+В сызықты түрлендіруді айтады.
Егер А түрлендіруі үшін мынадай
ВА=Е, АС=Е
теңдіктер орындалатындай В жəне С сызықты түрлендірулері
табылатын болса, онда В=С болады. Бұл жағдайда В=С=А
-1
деп
белгілейді де А
-1
сызықты түрлендіруді А түрлендіруіне кері
түрлендіру деп атайды. Сонымен,
А
-1
А= АА
-1
=Е.
Егер сызықты түрлендіру матрицасының анықтауышы
нолден өзгеше болса, онда А сызықты түрлендіруді өзгеше емес
сызықты түрлендіру дейді. Əрбір өзгеше емес сызықты
түрлендірудің жалғыз кері түрлендіруі бар болады. Ол түрлендіру
матрицасы берілген түрлендіру матрицасыңың кері матрицасы
болады.
Сызықты түрлендірудің сипаттамалық саны мен өзіндік
векторы ұғымдарымен танысайық. n өлшемді R кеңістік берілсін.
Анықтама. Нолдік емес х векторы үшін мынадай
Ax=
λ
x (4)
теңдік орындалатындай қандай да бір
λ
нақты саны табылса х
векторы А сызықты түрлендіруінің өзіндік векторы деп аталады.
λ
саны А түрлендіруінің х векторына сəйкес
сипаттамалық саны деп аталады.
Анықтамадан өзіндік вектор А сызықты түрлендіру
нəтижесінде өзіне колинеар векторға түрленетіні көрініп тұр. Ал
өзіндік емес векторлар түрлендіруі күрделі болады, сондықтан
53
алгебра мен оның қолдануларында өзіндік векторларды қолдану
тиімді жəне ыңғайлы болады.
(4)
теңдеуді матрицалық түрде жазсақ:
AХ=
λ
Х, (5)
мұндағы Х - х вектордың координаталарынан тұратын бағана
вектор. Теңдеуді ашып жазайық:
=
+
+
+
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
=
+
+
+
=
+
+
+
1
2
2
1
1
1
2
2
22
1
21
1
1
2
12
1
11
...
...
...
x
x
a
x
a
x
a
x
x
a
x
a
x
a
x
x
a
x
a
x
a
n
nn
n
n
n
n
n
n
λ
λ
λ
Теңдеулердің оң жағында нолдер болатындай етіп көшіріп
жазайық,
=
−
+
+
+
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
=
+
+
−
+
=
+
+
+
−
0
)
(
...
0
...
)
(
0
...
)
(
2
2
1
1
2
2
22
1
21
1
2
12
1
11
n
nn
n
n
n
n
n
n
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
λ
λ
λ
,
матрицалық жазылуы:
(A-
λ
Е)Х=0.
Алынған біртекті теңдеулер жүйесінің 0=(0, 0, …, 0) нолдік
шешімі əруақытта бар. Нолдік емес шешімі бар болуы үшін жүйе
анықтауышы нолге тең болуы қажетті жəне жеткілікті:
0
...
...
...
...
...
...
...
2
1
2
22
12
1
21
11
=
−
−
−
=
−
λ
λ
λ
λ
nn
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
E
A
. (6)