Добавлен: 02.02.2019
Просмотров: 5201
Скачиваний: 24
54
E
A
λ
−
анықтауыш
λ
қатысты n–дəрежелі көпмүше. Осы
көпмүшені А сызықты түрлендірудің сипаттамалық көпмүшесі
деп, ал (6) теңдеуді сипаттамалық теңдеуі деп атайды.
Мынадай маңызды қасиеттер бар:
1.
Сипаттамалық көпмүше базисті таңдап алудан тəуелсіз.
2.
Егер А сызықты түрлендіру матрицасы симмиетриялы
болса, онда сипаттамалық теңдеудің барлық түбірлері
нақты сандар болады.
Мысал. x’=5x+4y, y’=8x+9y теңдеулерімен берілген А
сызықты түрлендірудің сипаттамалық саны мен өзіндік векторын
анықтау керек.
Шешуі.
Түрлендіру
матрицасын
жазайық,
=
9
8
4
5
A
.
Сипаттамалық теңдеуін жазсақ:
0
9
8
4
5
=
−
−
λ
λ
, немесе
λ
2
-14
λ
+13=0;
теңдеу түбірлері түрлендірудің сипаттамалық сандары болады,
1
1
=
λ
,
13
2
=
λ
.
1
1
=
λ
сипаттамалық санға сəйкес өзіндік векторларды табу үшін
мынадай теңдеулерді шешеміз:
(A-
1
λ
Е)Х = 0.
Ашып жазсақ,
=
−
+
=
+
−
0
)
9
(
8
0
4
)
5
(
2
1
1
2
1
1
x
x
x
x
λ
λ
1
1
=
λ
болғандықтан теңдеулер жүйесі мынадай түрге келеді:
=
+
=
+
0
8
8
0
4
4
2
1
2
1
x
x
x
x
55
Жүйеден
1
2
x
x
−
=
екендігі шығады.
c
x
=
1
деп алсақ, жүйе шешімі
)
;
(
c
с
x
−
=
болады. Кез келген
0
≠
с
үшін
1
1
=
λ
сипаттамалық санға
сəйкес өзіндік вектор
)
;
(
c
с
x
−
=
табылды.
Дəл осылай кез келген
0
1
≠
с
үшін
13
2
=
λ
сипаттамалық
санға сəйкес келетін өзіндік вектор
)
2
,
(
1
1
c
c
x
=
табылады.
КВАДРАТТЫҚ ФОРМАЛАР
(қосымша оқу үшін)
Анықтама.
n
x
x
x
...,
,
,
2
1
айнымалылардың квадраттық
формасы
)
...,
,
,
(
2
1
n
x
x
x
f
деп əрбір қосылғышы белгілі бір
коэффициентке көбейтілген осы белгісіздердің не квадратынан, не
екі белгісіздің көбейтіндісінен тұратын қосындыны айтады.
Егер
2
i
x
қосылғыштардың алдындағы коэффициенттерін
ii
a
деп, ал
j
i
x
x
⋅
(
j
i
≠
) алдындағы коэффициенттерін
ij
a
2
деп
белгілесек, мұнда
ji
ij
a
a
=
, онда квадраттық форма мына түрде
жазылады:
j
n
i
n
j
i
ij
n
x
x
a
x
x
x
f
∑ ∑
=
=
=
1
1
2
1
)
...,
,
,
(
)
(
ij
a
A
=
(i=1,2,…,n) матрица квадраттық форма матрицасы деп
аталады. Квадраттық форма матрицасы симметриялы болатынын
байқау қиын емес.
Квадраттық форманы матрицалық түрде жазсақ,
AX
X
x
x
x
f
n
'
)
...,
,
,
(
2
1
=
,
мұндағы Х- элементтері
n
x
x
x
...,
,
,
2
1
айнымалылардан тұратын
бағана матрица.
Мысал.
2
3
3
2
2
2
2
1
2
1
3
2
1
2
6
4
5
)
,
,
(
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
+
−
+
+
=
квадраттық форманың матрицасын жазу керек.
Шешуі.
Квадраттық
форма
матрицасының
диагоналдық
элементтері квадрат қосылғыштар алдындағы коэффициенттер
56
болады, яғни 5, 1, 2; ал басқа элементтері
j
i
x
x
⋅
қосылғыштардың
алдындағы коэффициенттердің жартысына тең болады. Сонмен
матрицаны жазсақ:
−
−
=
2
3
0
3
1
2
0
2
5
A
.
Енді квадраттық форма өзгеше емес сызықты түрлендірудің
нəтижесінде қалай өзгеретінін көрейік.
Айталық
)'
...,
,
,
(
2
1
n
x
x
x
X
=
жəне
)'
...,
,
,
(
2
1
n
y
y
y
Y
=
айнымалылардан тұратын бағана матрицалар мынадай сызықты
қатынаспен байланысқан: X=CY, мұндағы
)
(
ij
с
С
=
(i=1,2,…,n) -
өзгеше емес сызықты түрлендіру. Сонда квадраттық форма
f=X’AX=(CY)’A(CY)=(Y’C’)A(CY)=Y’(C’AC)Y.
Мұнда (CY)’=Y’C’ транспонерлеу қасиеті қолданылды.
Сонымен, X=CY өзгеше емес сызықты түрлендіру
матрицасының түрі мынадай болады:
A*=C’AC.
Мысал.
2
2
2
1
2
1
2
1
5
4
3
)
,
(
x
x
x
x
x
x
f
+
−
=
квадраттық
формасынан
2
1
1
y
y
x
−
=
2
1
2
3
y
y
x
+
=
сызықтық түрлендіру арқылы
алынған квадраттық форманы анықтау керек.
Шешуі. Берілген квадраттық форма жəне сызықты түрлендіру
матрицасын жазайық:
−
−
=
5
2
2
3
A
,
−
=
1
3
1
1
С
.
A*=C’AC
формуласын қолданып жаңа квадраттық форманың
матрицасын табамыз:
57
A*=
−
1
1
3
1
−
−
5
2
2
3
−
1
3
1
1
=
12
16
16
36
.
Сонда жаңа квадраттық форма былай жазылады:
2
2
2
1
2
1
2
1
12
32
36
)
,
(
x
y
y
y
y
y
f
+
+
=
.
j
n
i
n
j
i
ij
x
x
a
f
∑∑
=
=
=
1
1
квадраттық форманың барлық
0
=
ij
a
(
j
i
≠
) болса, онда квадраттық форма канондық түрде тұр
делінеді:
2
1
i
n
i
ii
x
a
f
∑
=
=
,
ал оның матрицасы диагоналді болады.
Теорема. Кез келген квадрат форманы өзгеше емес
сызықты түрлендіру көмегімен канондық түрге келтіруге
болады.
Мысал.
2
3
3
2
2
2
2
1
2
1
3
2
1
3
6
2
)
,
,
(
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
−
−
+
+
=
квадрат
форманы канондық түрге келтіру керек.
Шешуі. Квадрат форманы былай көшіріп жазайық:
2
3
3
2
2
2
1
3
6
)
(
x
x
x
x
x
f
−
−
+
=
2
2
2
3
2
2
2
1
3
)
(
3
)
(
x
x
x
x
x
+
−
−
+
=
.
Сонда
2
1
1
x
x
y
+
=
,
2
2
x
y
=
,
3
2
3
x
x
y
−
=
сызықты түрлендіруді
алсақ, квадраттық форма мынадай түрге келеді:
2
3
2
2
2
1
3
3
y
y
y
f
+
−
=
Квадраттық форманы канондық түріге əртүрлі сызықты
түрлендіру көмегімен келтіруге болатындықтан, оның канондық
түрі бірмəнді анықталмаған. Бірақ түрлі жолмен алынған бір
форманың канондық түрлерінің ортақ қасиеттері болады:
58
1. Квадраттық форманың оң (теріс) коэффициентті
қосылғыштар саны сызықты түрлендіруге тəуелсіз тұрақты
болып қалады.
2. Квадраттық форма матрицасының рангісі оны
канондық
түрге
келтіргеннен
кейінгі
нолден
өзгеше
коэффициенттер санына тең, жəне сызықты түрлендіру
кезінде өзгермейді.
Анықтама.
)
...,
,
,
(
2
1
n
x
x
x
f
квадраттық форма оң (теріс)
анықталған деп аталады, егер айнымалылардың кез келген, ең
болмағанда біреуі нолден өзгеше болатын, мəнінде
)
...,
,
,
(
2
1
n
x
x
x
f
>0 (
)
...,
,
,
(
2
1
n
x
x
x
f
<0)
болса.
Мысалы,
2
3
2
2
2
1
3
2
1
9
4
3
)
,
,
(
x
x
x
x
x
x
f
+
+
=
квадраттық форма
оң анықталған, ал
2
2
2
1
2
1
3
2
1
2
)
,
,
(
x
x
x
x
x
x
x
f
−
+
−
=
квадраттық форма
теріс анықталған
Квадраттық форманың оң терістігін анықтайтын мынадай
теоремалар бар.
Теорема. Квадраттық форма оң (теріс) анықталған
болуы үшін, оның матрицасының сипаттамалық сандары оң
(теріс) болуы қажетті жəне жеткілікті.
Теорема. Квадраттық форма оң (теріс) анықталған
болуы үшін, оның матрицасының бас минорлары оң (теріс)
болуы қажетті жəне жеткілікті.