Файл: Методические указания по выполнению курсовой работы для студентов специальности 174 06 02 Техническое обеспечение процессов хранения и переработки сельскохозяйственной продукции.pdf

СТАРТ
Цель и задача измерения
Установить
[ ]
Δ
Предложить МВИ
Выполнить анализ
Δ
Рисунок 1 — Алгоритмическая инструкция подготовки измерения
Нет
Определима ли аналитически
[ ]
Δ ≤ Δ
Провести эксперименты для определения
Уменьшить
Δ
Выполнить анализ воз- можности увеличения [
Δ]
Зафиксировать удовлетворительные МВИ
Выполнить сравнительный анализ МВИ
Выбрать МВИ
Нет
Да
Да
СТОП
22

4.5 Составление протокола измерений
Достоверность измерений во многом зависит от качества ведения про- токола. В протоколе должно быть отмечено следующее:
- род измерений и применяемый метод;
- время измерений;
- наименование и номера приборов;
- результаты эксперимента.
Протоколы следует записывать в виде соответствующих таблиц и в такой форме, в какой они получены в процессе измерений. В протоколах должны быть отмечены все обстоятельства, которые могут оказать влияние на точность измерений.
Окончательные вычисления не следует накапливать или откладывать на долгий срок. Полезно часть их производить в процессе измерений. Бессис- темные вычисления и измерения часто приводят к ошибкам результата, что затрудняет определение характера изменения изучаемого процесса, опреде- ление точности проведенных измерений и т.д.
В конечном счете, качество измерений зависит от опыта эксперимен- татора, однако правила могут предохранить от грубых ошибок.
23

5 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ
МНОГОКРАТНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ
Многократные измерения проводятся для определения с заданной ве- роятностью погрешности измерений. В основу вероятностной оценки по- грешности измерения положено допущение случайного характера этой по- грешности, что правомерно в случае исключения систематической состав- ляющей погрешности измерения, которая обязательно присутствует в любом результате измерения. Поскольку полное исключение систематической со- ставляющей погрешности измерения невозможно, удовлетворительной сле- дует считать такую ситуацию, когда остаточная (неисключенная) системати- ческая составляющая пренебрежимо мала по сравнению со случайной со- ставляющей погрешности измерения.
Математическая обработка результатов многократных измерений вы- полняется на базе теории вероятностей и математической статистики, причем обработке подлежат только исправленные результаты измерений, т.е. резуль- таты, полученные после исключения систематических погрешностей измере- ния. В результате обработки, как правило, получают результат измерения в стандартной форме:
А
± ∆,
Р
,
(5.1) где
А —
результат измерения в единицах измеряемой величины (за результат измерения принимают среднее арифметическое значение исправлен- ных результатов многократных измерений);
∆ — граница погрешности измерения в тех же единицах (за границу по- грешности измерения принимают значение
0
,
x
t
−
Δ = Δ =
σ
);
Р
— установленная вероятность, с которой погрешность измерения нахо- дится, в указанных границах.
24

5.1 Математическая обработка результатов прямых измерений
Порядок математической обработки прямых измерений можно пред- ставить следующим образом (рисунок 2).
1. Рассчитать среднее арифметическое значение, принимаемое за ре- зультат измерения:
1 1
N
i
i
X
N
−
=
=
X
∑
(5.1)
2. Вычислить отклонения от среднего:
i
V
X
X
−
=
−
(5.2)
3. Проверить равенство нулю суммы отклонений (несоблюдение ра- венства свидетельствует об ошибке в вычислении
V
i
или
Х
):
1 0
N
i
i
V
=
=
∑
;
(5.3)
4. Вычислить оценку среднего квадратического отклонения результа- тов измерений:
2 1
1 1
N
x
i
i
V
N
=
=
−
∑
%
σ
(5.4)
5. Проверить согласие опытного распределения случайной величины с теоретическим (проверка выполняется в соответствии с ГОСТ 11.006–74). В случае обоснованного предположения о нормальном распределении значе- ний измеряемой величины, проверка гипотезы проводится с уровнем значи- мости от 10 % до 2 % по ГОСТ 8.207–76. Необходимо иметь в виду, что кри- териями Колмогорова и Пирсона по ГОСТ 11.006–74 можно пользоваться для объема выборки N ≥ 50, а для выборки объема 3–50 наблюдений приме- няется специальный критерий W. Критериями Колмогорова и ω
2
можно поль- зоваться только для распределений непрерывных случайных величин.
25

Рисунок 2
—
Алгоритм математической обработки результатов прямых измерений
Остановимся на критерии χ
2
. Идея этого метода состоит в контроле отклонений гистограммы экспериментальных данных от гистограммы с та-
26

ким же числом интервалов, построенной на основе нормального распределе- ния. Сумма квадратов разностей частот по интервалам не должна превышать значений χ
2
, для которых составлены таблицы в зависимости от уровня зна- чимости критерия q и числа степеней свободы k = L – 1, где L — число ин- тервалов.
6. Группируют наблюдения по интервалам. При числе наблюдений
40 –100 обычно принимают 5–9 интервалов. Для каждого интервала вычис- ляют середину x
i0
и подсчитывают число наблюдений
i
ϕ%
, попавшее в каждый интервал.
7. Вычисляют число наблюдений для каждого из интервалов, теорети- чески соответствующее нормальному распределению. Для этого сначала от реальных середин интервалов x
i0
переходят к нормированным z
i
:
0
i
i
x
x
z
−
=
σ
%
%
(5.5)
Затем для каждого значения z
i
находят значение функции плотности вероятностей:
2 2
1
( )
(
)
2
i
i
z
f z
e
−
=
π
. (5.6)
Вычисление f(z
i
) ведется с помощью таблицы В-1 приложения. Теперь можно вычислить ту часть φ
i
общего числа имеющихся наблюдений, которая теоретически должна была быть в каждом из интервалов:
( )
i
i
h
n
f z
ϕ =
σ%
, где n — общее число наблюдений;
h=x
i0+1
– x
i0
— длина интервала, принятая при построении гистограмм.
8. Если в какой-либо интервал теоретически попадает меньше 5 на- блюдений, то его в обеих гистограммах соединяют с соседним интервалом.
Затем определяют число степеней свободы k = L – 1, где L — общее число
27

интервалов (если произведено укрупнение интервалов, то L — число интер- валов после укрупнения).
9. Вычисляют показатель разности частот:
2 1
,
i
i
i
=
2
χ = χ
∑
(5.8) где
2 2
(
)
i
i
i
ϕ− ϕ
χ =
ϕ
%
10. Выбирают уровень значимости критерия χ
2
(обозначим
q)
. Уро- вень значимости должен быть достаточно малым, чтобы была мала вероят- ность отклонить правильную гипотезу (совершить ошибку первого рода). С другой стороны, слишком малое значение
q
увеличивает вероятность при- нять ложную гипотезу, т.е. совершить ошибку второго рода.
По уровню значимости
q
и числу степеней свободы
k
в таблице В-3 находим границу критической области
, так что
2
χ
{
}
2 2
q
p
q
χ > χ =
(5.9)
Вероятность того, что получаемое значение χ
2
превышает χ
2
q
, равна
q.
Поэтому, если оказывается, что χ
2
> χ
2
q
, то гипотеза о нормальности отверга- ется. Если χ
2
< χ
2
q
гипотеза о нормальности принимается.
Чем меньше
q
, тем (при том же
k
) больше значение χ
2
q
. Тем легче вы- полняется условие χ
2
< χ
2
q
, и принимается проверяемая гипотеза. Но при этом увеличивается вероятность ошибки второго рода. Поэтому нецелесообразно брать
q
< 0,01. При слишком большом
q
, как указывалось выше, возрастает вероятность ошибки первого рода и, кроме того, снижается чувствительность критерия. Например, при
q
= 0,5 с равной вероятностью χ
2 может быть и больше и меньше χ
2
q
и, следовательно, теряется возможность сделать выбор в пользу проверяемой гипотезы или против нее.
Для единообразия решения рассматриваемой задачи желательно уни- фицировать применяемые уровни значимости. С этой целью можно предло-
28

жить попытаться ограничить выбор уровня значимости интервалом
0,02 ≤
q
≤ 0,1.
Наряду с рассмотренной проверкой, при которой была принята одно- сторонняя критическая область, применяют и двусторонние критические об- ласти, т.е. оценивается
P
{χ
2
н
< χ
2
< χ
2
в
} =
q.
B этом есть определенный смысл, так как у реальной группы данных очень малое значение χ
2 маловероятно.
Уровень значимости критерия q делится на две части:
q = q
1
+ q
2
. Для про- стоты часто считают
q
1
= q
2
. По таблице В-3 для
P
{χ
2
> χ
2
q
} находят χ
2
i
для уровня значимости
q
1 и числа степеней свободы
k
и χ
2
i
для уровня значимости
1 –
q
2
и того же
k
. Гипотеза о нормальности проверяемой группы данных при- нимается, если
χ
2 2
≤ χ
2
≤ χ
2 1
Следует еще раз отметить, что данный критерий позволяет проверять соответствие эмпирических данных любому теоретическому распределению, а не только нормальному. Однако этот критерий, как, впрочем, и другие кри- терии согласия, не позволяет установить вид распределения наблюдений, а лишь дает возможность проверить, допустимо ли отнести их к нормальному или иному выбранному заранее распределению.
В практике измерений часто возникает необходимость проверить ги- потезу о нормальности небольшой группы наблюдений. Гипотеза проверяет- ся с помощью двух критериев.
11. Критерий 1. По данным наблюдений
x
1
…x
n
вычисляем значение параметра
d
по формуле:
1
*
n
i
i
x
x
d
nS
=
−
=
∑
,
(5.11)
29

где
2 1
(
)
n
i
i
x
x
x
S
n
=
−
=
∑
(5.12)
Выбираем затем уровень значимости критерия
q
1
и по таблице В-4 на- ходим
2
q
d
и
1 2
q
d
−
Принимаем, что гипотеза о нормальности по критерию 1 не отверга- ется, если
1 2
2
q
d
d d
−
q
≤ ≤
(5.13)
В противном случае гипотеза отвергается.
12. Критерий 2. Этот критерий введен дополнительно для проверки
«концов» распределений.
Принимаем, что гипотеза о нормальности по критерию 2 не отверга- ется, если не более
m
разностей
i
x
x
− превзошли
2
Z
α
σ%
, где вычисляется
σ%
по формуле (4.6), a
2
Z
α
верхняя 100 2
α
-процентная квантиль нормированной функции Лапласа (таблица П-2);
α определяем по n и уровню значимости q как корень уравнения:
0 1
c (1
)
m
k
k
n k
n
k
a
−
=
−
− α
∑
q
=
(5.14)
Для нахождения α по заданным
n, q и m = 1 или 2 составле- на таблица В-5.
При 10 <
n < 20 следует принимать m = 1. Если 50 > n ≥ 20, то m = 2.
Если число разностей
i
x
x
− , больших
2
Z
α
σ%
, превышает
m, то гипоте- за о нормальности отвергается.
30

Гипотеза о нормальности принимается, если для проверяемой группы данных выполняются оба критерия.
Уровень значимости составного критерия:
1
q q
q
2
≤
+
,
(5.15) где
— уровень значимости для критерия 1;
1
q
— уровень значимости для критерия 2.
2
q
13. Обнаружение грубых погрешностей.
Если в полученной группе результатов наблюдений одно-два резко отличаются от остальных, а наличие описки, ошибки в снятии показаний и тому подобных промахов не установлено, следует проверить, не являются ли они грубыми погрешностями, подлежащими исключению. Задача решается статистическими методами, основанными на том, что распределение, к кото- рому относится рассматриваемая группа наблюдений, можно считать нор- мальным.
Для этого случая Ф.Е. Граббс рассчитал границы допустимых макси- мальных и минимальных значений при
n наблюдениях.
В дальнейшем были табулированы
q-процентные точки распределе- ния максимальных по модулю отклонений результатов наблюдений от их среднего значения: max
i
r
x x
t
,
−
=
σ%
(5.16) где — оценка среднего квадратического отклонения, вычисляемая по фор-
σ%
муле (5.4). Это распределение удобнее для расчетов и приведено в таб- лице В-6.
Чтобы проверить возможность отбросить наблюдение в
x , нужно сна- чала вычислить:
â
x
x
t
,
−
=
σ%
(5.17) где
x и
σ вычисляют с учетом всех результатов наблюдений.
%
31

Затем, выбрав уровень значимости
q, нужно найти в таблице В-6 зна- чение
t
r
, отвечающее этому уровню и числу наблюдений.
Если
t > t
r
, то в
x можно отбросить: вероятность появления наблюде- ния, дающего
t > t
r
, мала и равна принятому уровню значимости. C умень- шением
q растет t
r
и условие
t > t
r
выполняется труднее.
14. Доверительные интервалы.
Получив номинальное значение
А, представляет интерес выяснить, насколько она может изменяться при повторных измерениях, выполняемых в тех же условиях. Этот вопрос выясняется с помощью построения довери- тельного интервала для истинного значения измеряемой величины.
Доверительным называется интервал, который с заданной вероятно- стью, называемой доверительной, накрывает истинное значение измеряемой величины.
Обычно доверительные интервалы строят, основываясь на распреде- лении Стьюдента, которым называют распределение случайной величины:
,
x
x
A
t
S
−
=
(5.18) где
x
S — оценка среднего квадратического отклонения среднего арифмети- ческого, вычисляемая по формуле:
2 1
(
)
(
1)
n
i
i
x
x
x
x
S
n n
=
−
=
= σ
−
∑
% .
Доверительный интервал
,
q x
q
x t S x t Sx
⎡
⎤
−
+
⎣
⎦ отвечает вероятности:
{
}
q x
x A t
P
S
− ≤
= α
,
(5.19)
32

где
—
q-процентная точка распределения Стьюдента; значение находят
q
t
q
t
в таблице В-7 по числу степеней свободы
k = n – 1 и уровню значимости
q = 1 – α.
Приведенные выше методы позволяют проверить допустимость гипо- тезы о нормальном распределении наблюдений и, следовательно, о допусти- мости применения распределений Стьюдента. Уровень значимости
q, прини- маемый для построения доверительного интервала, следовало бы согласовы- вать с уровнем значимости, принятым при проверке нормальности распреде- ления, но эта задача не имеет пока определенного решения.
Доверительная вероятность не должна быть слишком низкой. В изме- рительной технике постепенно все чаще доверительную вероятность прини- мают равной 0,96 или 0,99 и лишь иногда 0,90. Эти цифры соответствуют со- ображениям, изложенным ранее.
На практике доверительные интервалы строят на основе распределе- ния Стьюдента, часто без проверки допустимости этого. То, что при этом, как правило, не возникает недоразумений, косвенно подтверждает высказан- ное выше мнение, что реальные распределения — это усеченные распределе- ния, более «узкие», чем нормальные.
Если измерение выполняется изученным методом и известно среднее квадратическое отклонение наблюдений для этого метода σ, то доверитель- ный интервал для
А строят по нормальному распределению:
P{|
x
–
A|≤
α
2
x
σ
n
}
=α,
(5.20)
где
α — выбранная доверительная вероятность;
n — число выполненных наблюдений;
α
2
Ζ
— квантиль нормированного распределения Лапласа, которую находят по таблице В-2
для вероятности равной α/2.
Иногда строят доверительные интервалы для среднего квадратиче- ского отклонения. Для этого используют распределение
χ
2
, приведенное в
33