Файл: Методические указания по выполнению курсовой работы для студентов специальности 174 06 02 Техническое обеспечение процессов хранения и переработки сельскохозяйственной продукции.pdf

таблице В-3. Доверительный интервал с границами
1
n
n
x
−
σ%
и
â
1
n
x
−
σ%
для вероятности:
â
1 1
n
n
n
Ð
x
x
⎧
⎫
−
−
⎪
⎪
=
σ < σ <
σ = α
⎨
⎪
⎪
⎩
⎭
%
% ⎬
(5.21)
находят следующим образом. В таблице В-3 даны вероятности
Р{χ
2
> χ
q
2
}
.
Значение χ
в
2 находят из таблицы для
p
в
=
1 2
+ α
, aχ — для р
н
=
1 2
− α
.
Например, получено
σ%
= 1,2×10
-5
,
n = 10. Примем α = 0,90. Тогда
p
В
=
0,95 1 0,9 2
=
+
, р
н
=
0,
9
= 05
,
2
−
1 0
. Число степеней свободы
k = 10 – 1 = 9.
По таблице В-3 находим χ
в
2
= 3,325 и
χ
н
2
= 16,92. Доверительный интервал будет
5 5
10 1 10 1 1,2 20 ;
1,2 10 16,92 3,325
−
−
⎡
⎤
−
−
×
×
×
×
⎢
⎥
⎣
⎦
, т.е.
|0,88×10
-5
; 2,0×10
-5
|.
Доверительная вероятность в этом случае может быть принята мень- шей, чем при построении доверительного интервала для истинного значения измеряемой величины. Часто можно считать достаточным α
= 0,70.
15. Толерантные интервалы.
Толерантным интервалом называется интервал, который с заданной вероятностью
α содержит не менее чем заданную часть р
0
всей совокупности случайной величины (генеральной совокупности). Таким образом, толе- рантный интервал — интервал для случайной величины, и этим он в прин- ципе отличается от доверительного интервала, который строится, чтобы накрыть неслучайную величину.
Границы толерантного интервала:
1
l
x K
σ
= −
%
и
2
l
x K
σ
= −
%
,
(5.22)
34

где
x и вычисляются по формулам (5.1) и (5.4)на основе имеющейся груп-
σ%
пы данных.
Толерантный множитель вычисляется по формуле:
2 5
10 1
12 2
Z
Z
K Z (
),
n
n
α
α
∞
+
=
+
+
(5.23)
где
Z
∞
и
Z
α
определяются по уравнениям:
2 2
0 1
2Ô(
)
2
Z
y /
Z
e
dy
Z
∞
∞
−
∞
p
=
=
π
∫
,
(5.24)
2 2
1 0 5 Ô(
) 1 2
y /
Z
e
dy
,
Z
α
∞
−
α
=
−
=
π
∫
− α
(5.25)
Значения Ф(
Z)приведены в таблице В-2.
Для наиболее употребительных уровней
α и р
0
составлены таблицы для определения толерантного множителя.
Если, например, измерена чувствительность группы тензорезисто- ров, то по полученным данным можно найти интервал с границами
l
1
,
l
2
, в котором с заданной вероятностью
α будет находиться чувствительность не менее части
р
0
всей партии (или всей совокупности) тензорезисторов дан- ного типа.
Термин «толерантный интервал» часто интерпретируют как допуско- вый интервал, а «толерантные границы» — как границы поля допуска, до- пуск. Однако в такой трактовке этих терминов есть существенная не- точность.
Допуск, или границы поля допуска, устанавливают, как правило, до изготовления изделия и так, что изделия, интересующий нас параметр ко- торых выходит за пределы поля допуска, признаются негодными, бракуют- ся. Иными словами, границы поля допуска — жесткие, не связанные ни с ка- кими вероятностными соотношениями.
Толерантный же интервал определяют на основе исследований уже изготовленных изделий и вычисляют его границы так, чтобы с заданной ве-
35

роятностью в этот интервал попадали параметры заданной доли всего воз- можного числа изделий. Таким образом, границы толерантного интервала, так же как и границы доверительного интервала, — случайные величины, и этим они отличаются от допусковых границ, или допусков, которые являют- ся неслучайными.
16. Проверка однородности наблюдений.
Измерения с большими случайными погрешностям требуют насторо- женного внимания. Необходимо удостовериться в том, что получаемые ре- зультаты статистически подконтрольны, устойчивы, т.е. что результаты на- блюдений группируются вокруг одного и того же центра и имеют одну и ту же дисперсию. Если метод измерения и объем исследования изучены мало, то наблюдения при таком измерении нужно повторять до тех пор, пока не появится уверенность в устойчивом характере этих результатов. Тем самым определяются продолжительность исследования и необходимое число на- блюдений.
Устойчивость измерений часто оценивается интуитивно на основе длительных наблюдений. Однако известны математические методы, полез- ные для решения рассматриваемой задачи, так называемые методы проверки однородности. Применительно к измерениям рассматривается однородность групп наблюдений. Необходимые признаки однородности групп наблюдений состоят в том, что оценки средних арифметических и дисперсий не должны иметь значимых смещений относительно друг друга.
Выполнение необходимых признаков однородности — условие необ- ходимое, но недостаточное для действительной однородности, так как группы наблюдений можно неправильно или неудачно выбрать.
17. Анализ точечных диаграмм.
Точечную диаграмму строят в координатах «результат измерения (на- блюдение при измерении)
X — номер измерения N». При построении диа- граммы из технических соображений по оси ординат обычно предпочитают откладывать не единичные результаты измерений, а их отклонения от неко-
36

торого условного значения. Масштаб желательно выбрать таким, чтобы размах
R результатов измерений можно было оценить двумя значащими цифрами.
Идеальная точечная диаграмма должна состоять из точек, распола- гающихся на одинаковой высоте, которая соответствует истинному значению измеряемой физической величины
Q (рисунок 3).

мой, участком дуги окружности или параболы, для периодических измене- ний — синусоидой (косинусоидой).
Отклонения результатов от аппроксимирующей линии могут рассмат- риваться как случайные составляющие погрешности измерения. Если откло- нения результатов от аппроксимирующей линии полагают случайными, их оценивают размахом, предельными значениями или средними квадратиче- скими отклонениями (в последнем случае необходима статистическая обра- ботка отклонений).
Следует помнить, что точечная диаграмма фактически не является графиком результатов измерений, поскольку по оси абсцисс не откладывают аргумент какой-либо функции. Любая тенденция изменения результатов сви- детельствует только об изменении во времени аргументов, вызывающих пе- ременные систематические погрешности измерений, причем сам аргумент по точечной диаграмме выявить невозможно. Проведение аппроксимирующей линии и оценка тенденции и отклонений от нее осуществляются на основе предположения (допущения) о равномерном изменении аргумента от изме- рения к измерению, что накладывает определенные ограничения на методику проведения серии многократных измерений одной и той же физической ве- личины. К таким ограничениям относятся неизменность МВИ и измеряемой физической величины, постоянство условий в широком смысле, включая не только поддержание влияющих величин в нормальной или рабочей области значений, но и психофизиологическое состояние оператора. Серия должна состоять из наблюдений через примерно одинаковые промежутки времени без перерывов и не может продолжаться до явного утомления оператора, за- мена которого может привести к получению второй серии.
Многократные измерения одной и той же физической величины с ис- пользованием одной методики выполнения измерений позволяют численно оценить сходимость измерений внутри серии. Высокая сходимость результа- тов отражается на диаграмме отсутствием тенденций изменения результатов и малыми случайными отклонениями от среднего значения. В качестве пер-
38

вичной оценки погрешности измерений в серии может быть использован та- кой параметр, как размах результатов многократных измерений
R′ = X
max
–
X
min
(5.26)
Геометрическое представление размаха
R′ результатов измерений на точечной диаграмме можно получить, проведя через самую верхнюю и са- мую нижнюю точки прямые, параллельные оси абсцисс.
Размах
R'
включает в себя как рассеяние результатов из-за случайной составляющей погрешности измерений, так и переменную систематическую составляющую погрешности, вызывающую закономерное изменение резуль- татов во времени. Следует различать размахи «неисправленных»
R' и «ис- правленных»
R результатов измерений. «Исправленными» принято называть результаты после исключения из них систематических погрешностей.
«Частичное исправление» результатов измерений с использованием точечной диаграммы можно осуществить наложением на экспериментальные точки аппроксимирующей линии и переходом к оценке случайных состав- ляющих погрешности по отклонениям результатов от построенной тенден- ции их изменения. Аппроксимирующую линию в этом случае считают отра- жением систематического изменения результатов, а отклонения от построен- ной тенденции («текущего среднего значения») рассматривают как случай- ные составляющие каждого из наблюдений. Числовые оценки отклонений определяют по точечной диаграмме с учетом ее масштаба. Предложенный прием позволяет наглядно разделить систематические и случайные состав- ляющие погрешности измерений.
Выбор групп для контроля однородности остается задачей специали- ста-экспериментатора, так же как и отграничение одной группы от другой.
Обычно наблюдения, выполненные через большие интервалы времени, чем время для получения какой-то совокупности результатов наблюдений, отно- сят к разным группам. Целесообразно иметь в группе примерно 10 наблю- дений (от 5 до 10 наблюдений согласно работе [50, с. 123]), лучше — не- сколько таких групп, чем одну группу с большим числом наблюдений.
39

Приведем некоторые из числа наиболее часто применяемых методов проверки допустимости различия между оценками дисперсий и различия ме- жду средними арифметическими групп наблюдений. Предполагается, что распределения наблюдений предварительно проверены на нормальность.
Проверка допустимости, различия между оценками дисперсий
вы- полняется с помощью критерия Р. Фишера в случае двух групп наблюдений и критерия М. Бартлетта, если групп больше. Приведем последовательно оба метода.
Пусть несмещенные оценки дисперсий этих групп
S
1 2
и S
2 2
, причем
S
1 2
> S
2
2
. Число наблюдений в группах
n
1
и n
2
, так что степени свободы равны соответственно
k = n
1
−
1и k = n
2
−
1. Составляем отношение:
2 1
2 2
S
F
S
=
(5.27)
Затем из таблицы В-8 и В-9, где приведены вероятности:
P{F > F
q
}
= q,
(5.28) для различных степеней свободы
k
1
и
k
2
выбираем значение
F
q
Гипотеза принимается, т.е. оценки дисперсий можно считать отве- чающими одной и той же дисперсии, если выполняется неравенство
F < F
q
Уровень значимости при этом равен 2
q.
Теперь пусть у нас есть
L групп и для них найдены S
1 2
S
2 2
— несме- щенные оценки дисперсий групп наблюдений (
L > 2), каждая из которых имеет
k
i
= n
i
−
I степеней свободы, причем все k
i
> 3. Проверка гипотезы о ра- венстве дисперсий групп основана на статистике:
2 1
1 1
ln(
)
ln
,
L
L
i i
i
i
i
i
2
M
N
k S
k
N
=
=
=
−
∑
∑
S
(5.29) где
N=
1
L
i
i
k
=
∑
40

Если гипотеза о равенстве дисперсий верна, то отношение:
2 1
1 1
1 1
(
3(
1)
L
i
i
M
1
)
L
k
N
=
χ =
+
−
−
∑
(5.30) распределено приближенно как χ
2
c
L
−
1 степенями свободы.
Задаваясь уровнем значимости
q, из таблицы В-3 находим χ
q
2
такое, что
Р{χ
2
> χ
q
2
}
= q. Если выполняется неравенство
2 1
χ
<
χ
q
2
, то различия между оценками дисперсий допустимы.
Проверка допустимости различий между средними арифметиче-
скими
выполняется тоже по-разному в случае двух групп наблюдений и если этих групп больше.
Рассмотрим сначала сравнение средних арифметических для двух групп наблюдений, когда наблюдений много, так что каждую из оценок дис- персий можно считать совпадающей со своей дисперсией.
Обозначим через
1
x ,
2 1
σ%
,n
1
данные, относящиеся к одной группе, а че- рез
2
x ,
, n
2
— ко второй. Составим разность
2 2
σ
1
x
−
2
x .
Затем, выбрав определенный уровень значимости
q, находим α= I
−
q
и по таблице В-2 — аргумент Z
α/2
функции Лапласа, соответствующий веро- ятности α/2
.
Различие между средними арифметическими считается допустимым, если
1 2
2 2
(
)
x
x
Z
x x
α
−
≤
σ −
(5.31)
Если дисперсии групп неизвестны, то задача решается лишь при усло- вии, что обе группы имеют одинаковые дисперсии (оценки этой дисперсии и могут, естественно, отличаться). В этом случае вычисляется:
2 1
σ
2 2
σ
%
1 2
1 2 1
2 2
2 1
2 1
1 2
2
(
2
(
1)
(
1)
õ
õ
n n n
n
t
n
n
n
n
−
)
+
−
=
+
− σ +
− σ
%
(5.32)
41

Затем, задаваясь уровнем значимости
q, по таблице В-7 для распреде- ления Стьюдента при числе степеней свободы
k = n
1
+ n
2
– 2 находим t
q
. Раз- личие между средними арифметическими считается допустимым, если
t < t
q
.
При большом числе групп допустимоcть различия между средними арифметическими проверяется с помощью критериев Р. Фишера и Э. Аббе.
Для применения каждого из них необходимо предварительно проверить, что все группы имеют одну и ту же дисперсию.
Метод Фишера состоит в сравнении оценок межгрупповой дисперсии
S
L
2
и средней дисперсии групп
2
S
:
2 1
1
(
)
1
L
L
i
i
i
S
n x
L
=
=
−
∑
2
,
x
−
(5.33) где
1
L
i i
i
n x
x
N
=
=
∑
и
1
L
i
i
N
=
=
n
∑
(5.34)
(оценка
S
L
2
имеет
k
1
=
L
−
I степеней свободы);
2 1
1 1
(
i
n
L
i
i
i
S
x
N L
γ
= γ=
=
−
∑ ∑
2
)
x
−
(5.35)
(число степеней свободы
k
2
= N
−
L).
Обе оценки дисперсий имеют χ
-распределение с числом степеней сво- боды соответственно
k
1 и
k
2
. Их отношение имеет распределение Фишера с теми же степенями свободы.
Рассеивание средних арифметических считают допустимым, если
F = S
L
2
/
2
S
при выбранной вероятности
α
лежит в пределах
F
н и
F
в
:
P
{
F
н
≤ F ≤ F
в
}
=
α
.
(5.36)
Верхние пределы распределения Фишера
F
в приведены в таблице В-8 и В-9, нижние находят по соотношению
F
н
=
1
/F
в
. Если уровни значимости
42