Файл: Изм. Лист докум. Подпись Дата Лист 1 Реферат Разраб.pdf

Изм
.
Лист
№ докум.
Подпись
Дата
Лист
1
Реферат
Разраб
.
Бирюков Д.О
Провер.
Марков Н.И
Н. Контр.
Утв.
Формула Байеса
Лит.
Листов
8
Министерство науки и высшего образования Российской Федерации федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования
«Московский политехнический университет»
Факультет «Урбанистики и городского хозяйства»
Кафедра «Электротехника»
Реферат на тему «Формула Байеса»
По дисциплине «Статистическая теория радиотехнических систем»
Преподаватель: Марков Н.И.
Группа: 211-472
Студент: Бирюков Д.О.
Москва 2023

Изм.
Лист
№ докум.
Подпись
Дата
Лист
2
Формула Байеса
Содержание
Введение………………………………………………………………………..3
Условные вероятности…………………..……..…….………………………..4
Формула Байеса………………………………………………………………..5
Применение в радиотехнике……………….………………………………….6
Заключение……………………………………………………………………..7
Литература……………………………………………………………………...8

Изм.
Лист
№ докум.
Подпись
Дата
Лист
3
Формула Байеса
Введение
Теорема Байеса – одна из главных теорем элементарной теории вероятности.
Она включает в себя предварительные знания, выраженные в виде предварительной вероятности, и наблюдаемые данные для вычисления последующей вероятности. Теорема вытекает из принципов условной вероятности, предлагая систематический подход к вероятностным рассуждениям в условиях неопределенности.

Изм.
Лист
№ докум.
Подпись
Дата
Лист
4
Формула Байеса
Условные вероятности
Для двух события E и F условная вероятность события E при условии, что наступило событие F, обозначается как P{E|F} и определяется по формуле:
????{????|????} =
????{????????}
????{????}
, ????{????} > ????
Если событие E содержится в событии F (т.е. множество исходов E является подмножеством исходов F), тогда:
????{????????} = ????{????}
Два события E и F являются независимыми тогда и только тогда, когда выполняется равенство P{E|F}=P{E}. В этом случае формула условной вероятности сводится к следующему:
????{????????} = ????{????}????{????}
Теорема умножения, если соответствующие условные вероятности определены
????{????????} = ????{????}????{????|????} = ????{????}????{????|????}
Пусть имеется группа событий B1, B2,..., Bn, обладающая следующими свойствами:
1) все события попарно несовместны
2) их объединение образует пространство элементарных исходов Ω

Изм.
Лист
№ докум.
Подпись
Дата
Лист
5
Формула Байеса
В этом случае будем говорить, что B1, B2,..., Bn будут образовывать полную группу событий. Формула полной вероятности для полной группы несовместных событий Bi
????{????} = ∑ ????{????
????
}????{????|????
????
}
∞
????=????
Формула Байеса
Пусть Ai – полная группа несовместных событий, тогда формула Байеса
(формула перерасчета гипотез) и B некоторое событие положительной вероятности
????{????
????
|????} =
????{????|????
????
)????{????
????
}
∑
????{????|????
????
}????{????
????
}
????
????=????
Доказательство следует из теоремы умножения и формулы полной вероятности, приведённых выше.
При применении теоремы Байеса рассматриваются следующие события:
1. Априорные события: это события, которые представляют собой предварительные знания, вероятности или убеждения о событиях до получения новой информации или данных. Они выражаются в виде условных вероятностей P(A) и могут быть основаны на предыдущем опыте, экспертных мнениях или исторических данных.
2. Апостериорные события: это события, для которых мы хотим оценить вероятности на основе имеющихся априорных знаний и новых данных или доказательств. Апостериорные вероятности обозначаются как P(A|B) и представляют собой обновленные вероятности событий после учета новой информации.
Теорема Байеса показывает влияние апостериорных данных на априорные.
Свойства событий, с которыми работает теорема Байеса, включают в себя:
1. Достоверность: оба события должны иметь определенную вероятность.

Изм.
Лист
№ докум.
Подпись
Дата
Лист
6
Формула Байеса
2.Непротиворечивость: оба события не могут быть одновременно истинными или ложными.
3. Непрерывность: все вероятности должны быть непрерывными.
4.
Суммирование: сумма вероятностей всех возможных исходов должна быть равна единице.
5. Отсутствие нулевых вероятностей: вероятность любого исхода должна быть ненулевой.
6. Дискретные события: оба события могут быть дискретными или непрерывными.
Применение в радиотехнике.
Формула Байеса является важным инструментом в области радиотехники, который позволяет оценить вероятность того, что определенный сигнал является частью определенного класса сигналов.
Одной из основных задач радиотехники является обнаружение и распознавание сигналов. Формула Байеса позволяет оценить вероятность наличия сигнала в определенном диапазоне частот или времени. Это может быть полезно при создании систем обнаружения и распознавания сигналов в радиоприемниках и других устройствах.
Еще одной важной задачей в радиотехнике является оценка качества сигнала.
Формула Байеса может быть использована для оценки вероятности того, что сигнал был искажен или поврежден в процессе передачи. Это позволяет улучшить качество сигнала и повысить надежность передачи данных.
Также формула Байеса может использоваться для определения местоположения источника сигнала. Например, в системах радиолокации формула Байеса позволяет определить расстояние до источника сигнала и его местоположение на карте.

Изм.
Лист
№ докум.
Подпись
Дата
Лист
7
Формула Байеса
В целом, формула Байеса является мощным инструментом в радиотехнике и может быть использована для решения широкого круга задач, связанных с обработкой и передачей сигналов. Она позволяет повысить точность и надежность работы радиотехнических устройств и систем, а также улучшить качество передачи данных и сигналов.
Заключение
В заключение отметим, что теорема Байеса является преобразующей концепцией в статистической теории, обеспечивающей строгую основу для вероятностных рассуждений и выводов. Интеграция предварительных знаний с наблюдаемыми данными позволяет исследователям принимать обоснованные решения, справляться с неопределенностью и повышать точность статистического анализа. Несмотря на трудности с определением априорных значений и вычислительную сложность, достижения в области вычислительных методов способствовали широкому внедрению байесовской статистики в различных научных областях. Используя теорему Байеса и связанные с ней принципы, исследователи могут получить новые знания, усовершенствовать процессы принятия решений и углубить наше понимание сложных явлений.

Изм.
Лист
№ докум.
Подпись
Дата
Лист
8
Формула Байеса
Литература
1. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. - М, «Высшая школа» 2002 2. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. - М, «Высшая школа» 2004 3. Письменный Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике. – М, «Айрис-пресс» 2004 г.
4. Сайт: Численные методы и теория вероятностей. http://www.uchites.ru/
5. Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика, — М.:
Высшее образование.2005.