Файл: 1) Алфавит источника сообщений с вероятностями символов согласно.pdf

13
реализация может в момент t
0
превысить порог – тогда произойдет ошибка первого рода, или ложная тревога. Чтобы найти наилучшее значение порога и рассчитать вероятности ошибок, нужно рассмотреть условные плотности распределения вероятностей шума
w(y|H
0
) и суммы сигнала и шума w(y |H
1
) в момент времени t
0
, рисунок
1.
Буквой
a обозначено амплитудное значение прямоугольного радиоимпульса s(t).
Рисунок
1 – Выбор порога при когерентном приеме
Из рисунка легко видеть, что вероятности ошибок первого
p
01
и второго p
10
рода определяются, как площади фигур, ограниченных осью y, вертикальной прямой, проходящей через точку
y
П
на оси абсцисс, и графиком плотности w(y|H
0
) и w(y|H
1
) соответственно
Если в качестве критерия оптимальности выбран критерий минимума суммарной условной вероятности ошибки, то следует выбрать порог, равный абсциссе точки пересечения плотностей
(очевидно, что при этом сумма площадей заштрихованных фигур минимальна). Тогда решение на основании отсчета
y будет приниматься в пользу той гипотезы, для которой больше значение w(y|H
0/1
), то есть которая при данном наблюдаемом отсчете представляется более правдоподобной. Это правило можно записать в виде
% =
&'(׀) *
&'(׀)
!
*
≷
0
1
,
(5) где
Λ – отношение правдоподобия.

14
Критерий минимума суммарной условной вероятности ошибки обычно называют для краткости критерием максимального правдоподобия
. Этот критерий является частным случаем критерия минимума среднего риска (байесовского критерия) при одинаковых стоимостях ошибок и равных априорных вероятностях гипотез.
В
курсовой работе следует применять критерий идеального наблюдателя
(Котельникова), согласно которому порог выбирается так
, чтобы обеспечить минимум средней вероятности ошибки
p
ош
=p
0
p
01
+p
1
p
10
,
(6) где
p
0
– априорная вероятность гипотезы H
0
(«сигнала нет»),
p
1
– априорная вероятность гипотезы H
1
(«сигнал есть»).
Выбор порога, оптимального по этому критерию, можно пояснить графически при помощи рисунка, аналогичного рисунку
1, если вместо условных плотностей w(y|H
0
) и w(y|H
1
) изобразить графики функций p
0
w
(y|H
0
) и p
1
w
(y|H
1
). Правило принятия решения, оптимальное по критерию Котельникова, можно записать через отношение правдоподобия в виде
% =
&'(׀) *
&'(׀)
!
*
≷
0
1
0
1
(7)
Априорные вероятности гипотез, необходимые для выбора порога
, вычисляются при выполнении пункта 2 задания, как вероятности присутствия в кодовой последовательности символов 0 и
1 соответственно.
5.5 Некогерентный прием сигналов на фоне шума
Случай точно известного сигнала на практике является скорее исключением. Обычно некоторые параметры сигнала на приемной стороне канала связи неизвестны. В курсовой работе рассматривается прием сигнала, имеющего форму прямоугольного радиоимпульса с известной амплитудой и случайной начальной фазой
, имеющей равномерное распределение в интервале (0, 2π).
Физический смысл некогерентного приема методом однократного отсчета сводится к следующему: поскольку начальная фаза

15
несущего колебания неизвестна (случайна), теперь нельзя выбрать момент
t
0
измерения мгновенного значения так, чтобы значение сигнала
s(t
0
) было максимальным.
Поэтому сначала выполняется выделение огибающей наблюдаемого процесса, а затем берется её отсчет
V в любой момент в пределах длительности посылки.
Выбор порога
V
П
для принятия решения на основе однократного отсчета огибающей производится аналогично когерентному случаю с той разницей
, что теперь мгновенное значение имеет негауссово распределение при обеих гипотезах. Если сигнала нет (при гипотезе
H
0
), наблюдаемый процесс представляет собой гауссовский шум с нулевым средним, а его огибающая V в произвольный момент времени имеет распределение Рэлея w(V׀H
0
).
Если сигнал присутствует
(при гипотезе H
1
), огибающая гауссовского процесса имеет распределение Рэлея–Райса (обобщенное рэлеевское) w(V׀
H
1
), что соответствует ненулевому среднему, рисунок 2.
Учет априорных вероятностей гипотез вполне аналогичен когерентному случаю
Рисунок
2 – Выбор порога при некогерентном приеме
5.6 Скорость передачи информации при наличии помех
Наличие в канале гауссовского шума вызывает ошибки при демодуляции и тем самым ограничивает скорость передачи информации
: если ошибки следуют слишком часто, скорость передачи информации снижается, а если средняя вероятность

16
ошибки достигает 0,5, скорость передачи становится равной нулю
(«обрыв канала»). Расчет скорости передачи информации в цифровом канале с помехами основывается на понятии совместной энтропии входа и выхода канала (под каналом здесь следует понимать отрезок системы связи от входа модулятора до выхода демодулятора
).
На входе модулятора действует источник, алфавит которого
(обозначим его В) содержит два символа – β
0
=0 и β
1
=1.
Априорными вероятностями этих символов p(β
0
) и p(β
1
) следует считать
, очевидно, вероятности нуля p(0) и единицы p(1), рассчитанные при выполнении пункта 2 задания (тогда же были рассчитаны энтропия кода и средняя длина кодового слова). Выход демодулятора можно считать другим источником Г с двумя символами
γ
0
=0 и γ
1
=1.Среднее количество передаваемой по каналу информации
(приходящееся на один символ) равно
I
(В,Г) = I(Г,В) = H(В) + H(Г) - H(В,Г).
(8)
Для определения совместной энтропии H(В,Г) необходимо найти совместные вероятности всех сочетаний входных и выходных символов (β и γ), а для этого нужно вначале записать условные вероятности для выходных символов при заданных входных
. Эти условные вероятности определяются, в свою очередь, условными вероятностями ошибок первого p
01
и второго p
10
рода, рассчитанными ранее (отдельно для когерентного и некогерентного приема
):
p
(γ
0
׀β
0
)=1 – p
01
;
p
(γ
1
׀β
0
)=1 – p
01
;
p
(γ
0
׀β
1
)=1 – p
10
;
p
(γ
1
׀β
1
)=1 – p
10
;
(9)
Совместные вероятности сочетаний входных и выходных символов
p
(β
0
,γ
0
)=p(β
0
)p(γ
0
׀β
0
); p(β
0
,γ
1
)=p(β
0
)p(γ
1
׀β
0
);
p
(β
1
,γ
0
)=p(β
1
)p(γ
0
׀β
1
); p(β
1
,γ
1
)=p(β
0
)p(γ
1
׀β
1
).
(10)
Для нахождения энтропии источника Г требуются безусловные вероятности выходных символов

17
p
(γ
0
)=p(β
0
,γ
0
)+p(β
1
,γ
0
) и p(γ
1
)=1 – p(γ
0
)=p(β
0
,γ
1
)+p(β
1
,γ
1
). (11)
Наконец
, совместная энтропия входа и выхода цифрового канала
H
(В,Г)= -
∑
∑
, , - log
2
, , -
1
. 0
1
0
(12)
Скорость передачи информации по цифровому каналу с учетом помех
I’
=
/ 0,Г
2
,
(13) где
τ – длительность посылки.
5.7 Согласованный фильтр (СФ)
СФ для прямоугольного радиоимпульса имеет импульсную характеристику в виде такого же радиоимпульса, обращенного во времени
(зеркальной копии). Модуль комплексной частотной характеристики
СФ с точностью до произвольного постоянного множителя
ψ совпадает с модулем спектральной плотности сигнала
, аргумент КЧХ совпадает с аргументом спектральной плотности сигнала, взятым с минусом. Действие СФ на аддитивную смесь сигнала с шумом можно рассмотреть по отдельности в силу линейности фильтра.
Отклик
СФ на «свой» сигнал в момент максимума численно равен энергии сигнала. Для нахождения дисперсии шума на выходе СФ нужно умножить СПМ входного
(квазибелого) шума на квадрат модуля КЧХ СФ и затем проинтегрировать по частоте. Согласованный фильтр обеспечивает максимальное отношение сигнал-шум на выходе, тем самым максимизируя потенциальную верность решений демодулятора
(для реализации этих потенциальных возможностей, очевидно, нужно правильно выбрать порог).
Отношение сигнал-шум (ОСШ) по мощности в момент времени
t
0
на выходе СФ
3
2
=
2
4 5
2
6
0
7
0
8 9
=
2
8
2
7
0
8 9
(14)

18
Принимая
ψ = 1, имеем E
h
=E, тогда q
2
=2E/N
0
( q
2
- безразмерная величина). Выигрыш в отношении сигнал-шум по сравнению со случаем однократного отсчета равен
: =
2
8/7
0
2
/<
2
=
2
8<
2
2
7
0
(15)
Учитывая
, что шум на входе СФ квазибелый с полосой
(-F, F), содержащей 99% энергии сигнала,
= |? @ |
2
A@ = 0,99 = |? @ |
∞
D∞
E
DE
A@ = 0,99F,
(16) получим
F=10,286/τ , тогда СПМ шума N0/2=σ
2
/(2F), откуда легко найти выигрыш η.
5.8 Расчет вероятностей однократной и двукратной
ошибок
В пределах одной кодовой комбинации длины n можно выполнить по формуле биномиального распределения вероятностей
P
(k)=C
n k
p
k
(1 – p)
n
–k
,
где
k следует положить равным соответственно 1 или 2, а в качестве
p принять среднюю вероятность ошибки при приеме одного символа p
ош
, найденную при выполнении пункта 3.
6 Список использованных источников
1)
Васюков, В. Н. Теория электрической связи. Курсовая работа
. Задание и методические указания / В. Н. Васюков. –
Новисибирск
: НГТУ, 2008. – 25 с.