Добавлен: 06.02.2019
Просмотров: 4157
Скачиваний: 4
71
u
u
A
dt
d
,
(6.25)
где А-квадратная матрица m*m. Если матрица А имеет большой разброс
собственных чисел, то возникают проблемы с разномасштабностью
описываемых системой процессов.
Допустим, что матрица А постоянна (т.е. не зависит от t). Тогда
система (6.21) будет называться жесткой, если:
1) вещественные части собственных чисел
0
k
для всех k, где
к=1,…,m;
2) число
|
Re
|
min
|
Re
|
max
k
k
S
велико (десятки и сотни), и число S
называется числом жесткости системы.
Если же матрица А зависит от t, то и собственные числа зависят от t и
k
зависят от t.
Решение жесткой системы (6.25) содержит как быстроубывающие, так
и медленно убывающие составляющие.
6.3.2 Некоторые сведения о других методах решения жестких систем
Разностные методы (6.22) для решения жестких систем на практике
используются в виде методов Гира (неявный разностный метод) и метода
матричной экспоненты(метод Ракитского).
6.3.2.1 Методы Гира
Это частный случай методов (6.22), когда коэффициент
1
0
b
,
0
1
m
b
,...,
b
. Запишем числовые коэффициенты, которые определяются из
условия p-го порядка точности аппроксимации системы разностными
методами
m
k
k
a
a
1
0
;
m
k
k
a
k
1
1
;
m
k
k
l
a
k
1
,
0
(6.26)
где l=2,...,p.
Решив систему линейных уравнений (6.26) с учетом предыдущих
условий, получаем все нужные коэффициенты.
Трехшаговый метод Гира (частный случай методов (6.22) с учетом
условий (6.26)) имеет вид
72
)
y
,
t
(
f
y
y
y
y
n
n
n
n
n
n
3
2
1
3
1
2
3
3
6
11
.
(6.27)
При m=4, получаем четырехшаговый метод Гира
)
,y
f(t
τ
y
y
y
y
y
n
n
n
n
n
n
n
12
3
16
36
48
25
4
3
2
1
. (6.28)
Запишем систему (6.26) в виде
0
....
2
........
..........
..........
..........
0
....
2
1
....
2
2
1
2
2
2
1
2
1
a
m
a
a
a
m
a
a
a
m
a
a
m
m
m
m
m
.
(6.29)
Решив (6.29) для каждого случая можем найти коэффициенты
k
a , к=1,2,…,т.
6.3.2.2 Метод Ракитского(матричной экспоненты) решения систем
ОДУ
u
u
A
dt
d
,
(6.30)
где:
)
,...,
(
1
n
u
u
u
;
0
)
0
(
u
u
; А-матрица размерности n*n.
Допустим, что матрица А - постоянная, т.е. ее элементы не зависят от
времени. Система (6.30)–однородная, с постоянными коэффициентами.
Запишем аналитическое решение (6.30)
0
u
At
e
u
,
(6.31)
где
At
e
-матричная экспонента и
!
)
(
...
!
2
)
(
2
n
t
A
t
A
t
A
E
e
n
At
+….
(6.32)
Пусть необходимо (6.30) проинтегрировать при значениях t= , 2 ,
3 ,….
Если точно знать матрицу
A
e
, то точное решение в указанных точках
можно получить по формуле (6.31), т.е. решение можно записать
73
;
|
;
|
2
0
x
A
t
A
t
u
e
u
u
e
u
……………..…
Таким образом, задача сводится к тому, чтобы достаточно точно знать
матрицу
A
e
. На практике поступают следующим образом: при больших
рядом Тейлора нельзя воспользоваться в связи с его бесконечностью, т.е. для
удовлетворительной точности пришлось бы взять много членов ряда, что
трудно. Поэтому поступают так: отрезок [0, ] разбивают на к-частей, чтобы
длина h= /к удовлетворяла условию ||A*h||<0.1. Тогда запишем по схеме
Горнера
)))
h
A
(E
h
A
(E
h
A
h(E
A
E
e
h
A
4
3
2
.
Каждый столбец матрицы
e
h
A
- w j вычисляют по формуле
w
)
e
(
w
j
k
h
A
j
0
,
где
w
j
0
- вектор столбец, в i-ой строке которого 1, а в остальных - нули.
Если эта матрица найдена, то решение находится по (6.31).
Для исследования разностных методов при решении жестких систем
рассматривают модельное уравнение
u
u
dt
d
,
(6.33)
где -произвольное комплексное число.
Для того, чтобы уравнение (6.33) моделировало исходную систему
(6.30) его нужно рассматривать при таких значениях , которые являются
собственными числами матрицы А. Многошаговые разностные методы (6.31)
имеют вид
m
k
k
n
k
k
y
)
b
μ
(a
0
,
(6.34)
где: n=m, m+1…;
.
Если решение уравнения (6.34) искать в виде
q
y
n
n
, то для
нахождения числа q получим характеристическое уравнение вида
74
m
k
k
m
k
k
q
)
b
μ
(a
0
0 .
Для устойчивости метода достаточно выполнения условия корней
1
|
q
|
k
. В случае жестких систем используются более узкие определения
устойчивости.
Предварительные сведения. Областью устойчивости разностных
методов называется множество всех точек комплексной плоскости
* ,
для которых разностный метод применительно к уравнению (6.33) устойчив.
Определение 1. Разностный метод называется А-устойчивым, если
область его устойчивости содержит левую полуплоскость комплексной
полуплоскости, т.е. Re <0.
Замечание. Решение модельного уравнения (6.33) асимптотически
устойчиво при значениях Re <0, поэтому сущность А-устойчивого метода
заключается в том, что А-устойчивый разностный метод является абсолютно
устойчивым, если устойчиво решение исходного дифференциального
уравнения.
Так как класс А-устойчивых методов узок, то пользуются А( )-
устойчивым методом.
Определение 2. Разностный метод (6.31) называется А( )-
устойчивым, если область его устойчивости содержит угол меньший , т.е.
|arg(- )|< , где
.Исходя из этого определяется, что при
А(
) устойчивость совпадает с определением А-устойчивого метода.
6.4 Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных
уравнений
Постановка краевой задачи. Рассматриваем дифференциальное
уравнение порядка n(n 2)
)
,...,
,
,
(
)
1
(
)
(
n
n
y
y
y
x
f
y
,
(6.35)
где:
)
(
0
0
)
(
k
k
y
x
y
; к=0,1,…,(n-1).
Если сделаем замену переменных вида
,
)
(
);
,...,
,
(
..
..........
..........
..........
;
;
)
(
0
0
1
1
1
2
1
1
k
k
n
n
y
x
y
y
y
x
f
y
y
y
y
y
(6.36)
75
то задача (6.35) сводится к задаче Коши для нормальной системы ОДУ
порядка n.
Типовые
примеры
краевых
задач.
Рассмотрим
теперь
дифференциальное уравнение
0
)
,...,
,
,
(
)
(n
y
y
y
x
F
.
(6.37)
Для уравнения (6.37) краевая задача формулируется следующим
образом: найти решение y=y(x), удовлетворяющее уравнению (6.37), для
которой значения ее производных в заданной системе точек
i
x
x
удовлетворяют n независимым краевым условиям, в общем виде
нелинейным. Эти краевые условия связывают значения искомой функции y и
ее производных до (n-1) порядка на границах заданного отрезка.
1. Рассмотрим уравнение
второго порядка
)
,
,
(
y
y
x
f
y
.
Необходимо найти решение
уравнения, удовлетворяющее
заданным краевым условиям:
y(a)=A, y(b)=B, т.е. необходимо
найти интегральную кривую,
проходящую через две заданные
точки (рисунок 7).
2. Рассмотрим уравнение
)
,
,
(
y
y
x
f
y
с краевыми условиями
1
)
(
A
a
y
,
1
)
(
B
b
y
.
Из графика на рисунке 8
видно, что tg( )=A
1
, tg( )=B
1
.
Здесь
интегральная
кривая пересекает прямые x=a и
x=b под заданными углами и
соответственно.
3. Смешанная краевая
задача. Рассмотрим то же самое
уравнение
)
,
,
(
y
y
x
f
y
с
краевыми условими y(a)=A
1
y’(b)=B
1
.
Геометрическую
иллюстрацию
этих
краевых
Рисунок 7 – Краевые условия для
случая 1
Рисунок 8 – Краевые условия для случая 2