Добавлен: 06.02.2019
Просмотров: 4145
Скачиваний: 4
76
условий легко представить, используя рисунки 7 и 8.
Замечание. Краевая задача для уравнения (6.37) в общем случае может
не иметь решений, иметь единственное решение, иметь несколько решений
или бесконечное множество решений.
4.
Поражение
заданной
цели
баллистическим
снарядом.
Дифференциальные уравнения движения снаряда с учетом сопротивления
воздуха имеют вид
g
E
y
E
x
sin
cos
,
где:
x
-
вторая
производная
по
времени;
E=E(y,v)
-известная
функция
высоты
и
скорости;
2
2
y
x
v
; g=g(y)- ускорение
силы тяжести; -угол наклона к
горизонту
касательной
к
траектории движения снаряда;
x
y
arctg
.
Предполагая, что при t=t
0
снаряд выпущен из точки,
совпадающей
с
началом
координат
с
начальной
скоростью v
0
под углом
0
, а в момент t=t
1
поразит неподвижную мишень в
точке
)
,
(
1
1
y
x
M
получаем краевые условия
.
при
,
,
,
при
,
sin
,
cos
,
0
,
0
1
1
1
0
0
0
t
t
y
y
x
x
t
t
v
y
v
x
y
x
Здесь неизвестны
0
и t
1
. Решив данную краевую задачу, можем найти
начальный угол
0
0
0
x
y
arctg
, где:
)
(
);
(
0
0
0
0
t
y
y
t
x
x
;
0
-угол, при
котором поражается цель в точке M.
6.5 Решение линейной краевой задачи
Рассмотрим важный частный случай решения краевой задачи, когда
дифференциальное уравнение и краевые условия линейны.
Для этого рассмотрим уравнение
Рисунок 9 – Траектория снаряда
77
f(x)
y(x)
(x)
P
...
(x)
y
(x)
P
(x)
y
(x)
P
n
)
(n
(n)
1
1
0
,
(6.38)
где:
)
(x
P
i
и f(x) известные непрерывные функции на отрезке [a, b].
Предположим, что в краевые условия входят две абсциссы x=a, x=b.
Это двухточечные краевые задачи. Краевые условия называются линейными
, если они имеют вид
)
)
(
)
)
1
0
(b)
y
β
(a)
y
α
(
(y)
R
k
(ν
k
(k)
(ν
k
n
k
ν
= ,
(6.39)
где: -заданные константы. Причем они одновременно не равны нулю,
т.е.
1
0
)
(
)
(
0
|]
|
|
[|
n
k
k
k
, при v=1,2,…,n.
Например, краевые условия во всех трех рассмотренных ранее задачах
линейны, т.к. их можно записать в виде
2
1
0
1
1
0
)
(
)
(
)
(
)
(
b
y
b
y
a
y
a
y
,
причем
B
A
2
1
0
1
1
0
,
0
,
1
,
,
0
,
1
- для первой задачи.
6.6 Решение двухточечной краевой задачи для линейного
уравнения второго порядка сведением к задаче Коши
Запишем линейное уравнение второго порядка в виде
)
(
)
(
)
(
x
f
y
x
q
y
x
p
y
,
(6.40)
где: p, q, f-известные непрерывные функции на некотором отрезке [a,b].
Требуется найти решение уравнения (6.40), удовлетворяющее
заданным краевым условиям
.
)
(
)
(
,
)
(
)
(
1
0
1
0
B
b
y
b
y
A
a
y
a
y
(6.41)
Причем константы и одновременно не равны нулю
78
.
0
,
0
1
0
1
0
Решение задачи (6.40), (6.41) будем искать в виде линейной
комбинации
y=C u+V,
где С - константа, u-общее решение соответствующего однородного
уравнения
0
)
(
)
(
u
x
q
u
x
p
u
,
(6.42)
а V-некоторое частное решение неоднородного уравнения
)
(
)
(
)
(
x
f
V
x
q
V
x
p
V
.
(6.43)
Потребуем ,чтобы первое краевое условие было выполнено при любом C,
A
a
V
a
V
a
u
a
u
C
))
(
)
(
(
))
(
)
(
(
1
0
1
0
,
откуда следует, что
0
)
(
)
(
1
0
a
u
a
u
,
A
a
V
a
V
)
(
)
(
1
0
.
Тогда
k
a
u
k
a
u
1
1
)
(
)
(
,
(6.44)
где k- некоторая константа, не равная нулю. Значение функции V и ее
производная в точке а
0
)
(
)
(
0
a
V
A
a
V
,
(6.45)
если коэффициент
0
и
1
)
(
0
)
(
A
a
V
a
V
,
(6.46)
если коэффициент
1
.
79
Из этих рассуждений следует, что функция u - есть решение задачи
Коши для однородного уравнения (6.42) с начальными условиями (6.44), а
функция V - есть решение задачи Коши для неоднородного уравнения (6.43) с
начальными условиями (6.45) или (6.46) в зависимости от условий.
Константу C надо подобрать так, чтобы выполнялись условия (6.41) (вторая
строчка) в точке x=b
B
b
V
b
V
b
u
b
u
C
)
(
)
(
))
(
)
(
(
1
0
1
0
.
Отсюда следует, что
)
(
)
(
)
(
)
(
(
1
0
1
0
b
u
b
u
b
V
b
V
B
C
,
где знаменатель не должен быть равен нулю, т. е.
0
)
(
)
(
1
0
b
u
b
u
.
(6.47)
Если условие (6.47) выполнено, то краевая задача (6.35), (6.36) имеет
единственное решение. Если же (6.47) не выполняется, то краевая задача
(6.35), (6.36) либо не имеет решения, либо имеет бесконечное множество
решений.
6.7 Методы численного решения двухточечной краевой задачи
для линейного уравнения второго порядка
6.7.1 Метод конечных разностей
Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение
)
(
)
(
)
(
x
f
y
x
q
y
x
p
y
(6.48)
с двухточечными краевыми условиями
B
b
y
b
y
A
a
y
a
y
)
(
)
(
)
(
)
(
1
0
1
0
;
)
0
,
0
(
1
0
1
0
,
(6.49)
где: p, q, f-известные непрерывные функции на некотором отрезке [a,b].
Одним из наиболее простых методов решения этой краевой задачи
является сведение ее к системе конечно-разностных уравнений.
80
Основной отрезок [a,b] делим на n - равных частей с шагом h=(b-a)/n,
то есть рассматриваем равномерную сетку
h
i
x
x
i
0
, i=0,1,…,n.
Производные в исходном уравнении (6.48) заменяем конечно-разностными
отношениями. Для внутренних точек
,
2
;
2
2
1
2
1
1
h
y
y
y
y
h
y
y
y
i
i
i
i
i
i
i
(6.50)
где i=1,...,n-1.
Для граничных точек
a
x
0
и
b
x
n
, чтобы не выходить за границы
отрезка, производные заменяем отношениями
,
0
1
0
h
y
y
y
h
y
y
y
n
n
n
1
.
(6.51
)
Используя отношения (6.50), (6.51) исходное дифференциальное
уравнение (6.48) аппроксимируем конечно-разностными уравнениями
f
y
q
h
y
y
p
h
y
y
y
i
i
i
i
i
i
i
i
i
2
2
1
1
2
1
1
,
(6.52
)
где i=1,...,n-1. Учитывая краевые условия, получим еще два уравнения
B
h
y
y
y
y
A
h
y
y
y
y
n
n
n
n
2
4
3
2
3
4
2
1
1
0
0
1
2
1
0
0
.
(6.53
)
Таким образом получена линейная система n+1 уравнений с n+1
неизвестными
n
y
y
y
,...,
,
1
0
, представляющими собой значения искомой
функции
)
(x
y
y
в точках
n
x
x
x
,...,
,
1
0
. Решив эту систему, получим таблицу
значений искомой функции y.
6.7.2 Метод прогонки (одна из модификаций метода Гаусса)
При применении метода конечных разностей к краевым задачам для
дифференциальных уравнений второго порядка получается система
линейных алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей, т.е.