Файл: В. Ф. Пономарев математическая логика.doc

1.2.3.2. Правила введения и удаления логических связок

При выводе заключения удобно правила введения и удаления логических связок представить также как и правила вывода:

1. 
   если посылки F₁ и F₂ имеют значение “и”, то истинной является их конъюнкция, т.е.
   

F₁ ; F₂

(F₁&F₂) .

Эта запись при истинности посылок F₁ и F₂ предусматривает возможность введения в заключение логической связки конъюнкции; это правило тождественно аксиоме А5;

2. 
   е сли (F₁&F₂) имеет значение “и”, то истинными являются подформулы F₁ и F₂, т.е. (F₁&F₂) (F₁&F₂)
   

F и F₂.

Эта запись при истинности (F₁&F₂) предусматривает возможность удаления в заключении логической связки конъюнкции и рассматривать истинные значения подформул F₁ и F₂; это правило тождественно аксиомам А3 и А4;

3. 
   если F₁ имеет значение “и”, а (F₁&F₂) – “л”, то ложной является подформулы F₂, т.е.
   

F ₁;(F₁&F₂)

F₂.

Эта запись при ложности (F₁&F₂) и истинности одной из подформул предусматривает возможность удаления в заключении логической связки конъюнкции и рассматривать ложным значение второй подформулы;

4) если истинна хотя бы одна посылка F₁ или F₂, то истинной является их дизъюнкция, т.е.

F₁ F₂

(F₁F₂) или (F₁F₂).

Эта запись при истинности хотя бы одной подформулы F₁ или F₂ предусматривает возможность введения в заключение логической связки дизъюнкции; это правило тождественно аксиомам А6 и А7;

5) если (F₁F₂) имеет значение “и” и одна из подформул F₁ или F₂ имеет значение “л”, то истинной является вторая подформулаы F₂ или F₁, т.е.

---

(F₁F₂); F₁ (F₁F₂);F₂

F₂ или F₁.

Эта запись при истинности (F₁F₂) предусматривает возможность удаления в заключении логической связки дизъюнкции и рассматривать истинные значения подформул F₁ или F₂;

6) если подформула F₂ имеет значение “и”, то истинной является формула (F₁F₂) при любом значении подформулы F₁, т.е

F₂

(F₁F₂).

Эта запись при истинном значении F₂ предусматривает возможность введения в заключение логической связки импликации при любом значении подформулы F₁ (“истина из чего угодно”); это правило тождественно аксиоме 1;

7) если подформула F₁ имеет значение “л”, то истинной является формула (F₁F₂) при любом значении подформулы F₂, т.е

F₁

(F₁F₂).

Эта запись при ложном значении F₁ предусматривает возможность введения в заключение логической связки импликации при любом значении подформулы F₂ (“ из ложного что угодно”);

8) если формула (F₁F₂) имеет значение “и”, то истинной является формула (F₂F₁), т.е

(F₁F₂)

(F₂F₁).

Эта запись при истинном значении (F₁F₂) определяет возможность замены местами полюсов импликации при одновременном изменении их значений; это- закон контрапозиции;

9) если формула (F₁F₂) имеет значение “и”, то истинной является формула ((F₁F₃)(F₂F₃) при любом значении F₃, т.е

(F₁F₂)

( (F₁F₃)(F₂F₃).

Эта запись при истинном значении (F₁F₂) определяет возможность выполнить операцию дизъюнкции при любом значении формулы F₃ над каждым полюсом импликации

---

; это правило тождественно аксиоме А11.

10) если формула (F₁F₂) имеет значение “и”, то истинной является формула ((F₁&F₃)(F₂&F₃) при любом значении F₃, т.е

(F₁F₂)

( (F₁&F₃)(F₂&F₃).

Эта запись при истинном значении (F₁F₂) определяет возможность выполнить операцию конъюнкции при любом значении формулы F₃ над каждым полюсом импликации; это правило тождественно аксиоме А10.

11) если формулы (F₁F₂) и (F₂F₃) имеют значение “и”, то истинной является формула (F₁F₃), т.е

(F₁F₂); (F₂F₃)

(F₁F₃).

Эта запись при истинном значении (F₁F₂) и (F₂F₃) предусматривает возможность формирования импликации (F₁F₃) (закон силлогизма);

это правило тождественно аксиоме А2;

12) если формулы F₁ и (F₁F₂) имеют значение “и”, то истинной является формула F₂, т.е

F₁; (F₁F₂)

F₂.

Эта запись при истинном значении посылки F₁ и импликации (F₁F₂) позволяет удалить логическую связку импликации и определить истинное значение заключения F₂;

13) если формулы F₂ и (F₁F₂) имеют значение “и”, то истинной является формула F₁, т.е

F₂; (F₁F₂)

F₁.

Эта запись при истинном значении посылки F₂ и импликации (F₁F₂) позволяет удалить логическую связку импликации и определить истинное значение заключения F₁;

14) если формулы (F₁F₂) и (F₂F₁) имеют значение “и”, то истинной является формула (F₁F₂), т.е

( F₁F₂); (F₂F₁)

(F₁F₂).

Эта запись при истинном значении (F₁F₂) и (F₂

---

F₁) позволяет ввести логическую связку эквиваленции и определить значение формулы (F₁F₂);

15) если формула (F₁F₂) имеет значение “и”, то истинными являются формулы (F₁F₂) и (F₂F₁), т.е

(F₁F₂) (F₁F₂)

(F₁F₂) и (F₂F₁).

Эта запись при истинном значении (F₁F₂) позволяет удалить логическую связку эквиваленции и определить истинное значение формул (F₁F₂) и (F₂F₁).
1.2.3.3 Правила заключения

При выводе формулы из множества аксиом и посылок используют два основных правила:

а) если F_i и ( F_i  F_j ) есть выводимые формулы, то F_j также выводимая формула, т.е.

F_i; (F_iF_j)

F_j.

это правило называют modus ponens (m.p.).

b) если формулы F_j и (F_iF_j) есть выводимые формулы, то F_i также выводимая формула, т.е

F_j; (F_iF_j)

F_i.

это правило называют modus tollens (m.t.).

Пример: Суждение: “Сумма внутренних углов многоугольника равна 180^о (А). Если сумма внутренних углов многоугольника равна 180^о (A), то многоугольник есть треугольник (В). Следовательно, дан треугольник”.

А;AB

B.

Пример: Суждение: ”Дан не треугольник (B); если сумма внутренних углов многоугольника равна 180^о(А), то многоугольник есть треугольник (В). Следовательно, сумма внутренних углов многоугольника не равна 180^о(A)”.

B; AB

A.

1.3. Метод дедуктивного вывода

Как уже отмечалось, теорема F₁; F₂;...F_nВ равносильна доказательству (F₁F₂...F_nB ). Если каждая F_i=и, то F₁ F₂...F_n )=и, а если (F₁F₂...F_nB)=и, то В=и.

Следовательно, при истинности всех посылок и истинности импликации (см. правило m.p.), заключение всегда будет истинным.

Используя правила эквивалентных преобразований алгебры высказываний, можно показать дедуктивный характер вывода заключения:

---

1) (F₁F₂...F_nB);

2) ((F₁F₂...F_n )B);

3) (F₁F₂ ...F_nB);

4) (F₁F₂ ...F_n-1(F_nB));

5) (F₁F₂ ...(F_n-1(F_nB)));

6) (F₁(F₂ ...(F_n-1(F_nB))...));

7) (F₁(F₂ ...(F_n-1(F_nB))...)

Так формируется система де­дуктивного вывода от по­сылок до заключения.

Пример. Дано cуждение: “Всякое общественно опасное деяние (А) наказуемо (В). Преступление (С) есть общественно опасное деяние (А). Дача взятки (D) - преступление (C). Следовательно, дача взятки наказуема ?”[6].

AB;СА; DC

DB.

1) F₁=AB посылка;

2) F₂=СА посылка;

3) F₃=DC посылка;

4) F₄=CB заключение по формулам F₁ и F₂ и

аксиоме А2 или правилу 11);

5) F₅=DB заключение по формулам F₃ и F₄ и аксиоме

А2 или правилу 11).

Следовательно, дача взятки (D) наказуема (B).
Пример: “Если Петров не трус (A), то он поступит в соответ­ствие с собственными убеждениями (B). Если Петров честен (C), то он не трус (A). Если Петров не честен (C), то он не признает своей ошибки (D). Но Петров признает свои ошибки (D). Следовательно, он поступит согласно собственным убеждениям (B)?"[1]

AB; CA; CD; D

B.

1) F₁=AB посылка;

2) F₂=CA посылка;

3) F₃=CD посылка;

4) F₄=D посылка;

5) F₅=CB заключение по формулам F₁, F₂ и аксиоме А2 или правилу 11);

6) F₆=BC заключению по формуле F₅ и правилу 8);

7) F₇=BD заключение по формулам F₃ и F₆ и аксиоме А2 или правилу 11);

8) F₈=B заключение по формулам F₄, F₇ и правилу m.t..

Так доказано, что Петров поступает согласно собственным убеждениям.
Пример: “Если команда А выигрывает в футболе то город А’ торжествует, а если выигрывает команда В, то торжествовать будет город В’. Выигрывают или А или В. Однако, если выигрывают А, то город В’ не торжествует, а если выигрывают В, то не будет торжествовать город А’. Следовательно, город В’ будет торжествовать тогда и только тогда, когда не будет торжествовать город А’”[1]
( AA’)(BB’); (AB); (AB’)(BA’)

(B’A’).
1) F₁

---