Билет 2

1)Числовым рядом называется бесконечная сумма чисел



Числа называются членами ряда, а число ‒ общим членом ряда.

Суммы вида называются частичными суммами ряда.

Числовой ряд называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности его частичных сумм:

,

который называется суммой ряда. В противном случае, если не существует или равен бесконечности, то числовой ряда называется расходящимся и суммы не имеет.
Необходимый признак сходимости:

Если ряд сходится, то .

Следствие: если , то ряд расходится.

Достаточные признаки сходимости:
1-й признак сравнения

Пусть и ‒ ряды с положительными членами, причем для всех номеров , начиная с некоторого. Тогда:

1) если ряд сходится, то сходится и ряд ;

2) если ряд

---

расходится, то расходится и ряд .
2-й признак сравнения

Пусть и ‒ ряды с положительными членами, причем существует конечный и отличный от нуля предел . Тогда ряды и сходятся или расходятся одновременно.
При использовании признаков сравнения, как правило, сравнивают исходный ряд:

а) с соответствующим рядом Дирихле , где . Этот ряд сходится при и расходится при . Частным случаем ряда Дирихле (при ) является гармонический ряд , который расходится. При сравнении часто используют эквивалентность следующих бесконечно малых последовательностей (при ):

̴ ̴ ̴ ̴ ̴ .

б) с геометрическим рядом , составленным из членов бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем и первым членом . Если , то геометрический ряд расходится, если

---

‒ сходится, причем его сумма находится по формуле .

Признак Даламбера

Пусть ‒ ряд с положительными членами, и существует конечный предел . Тогда, если , то данный ряд сходится; если же , то ‒ расходится. Если , то ряд может сходиться или расходиться; в этом случае требуется исследовать ряд с помощью других методов.
Признак Коши

Пусть ‒ ряд с положительными членами, и существует конечный предел . Тогда, если , то данный ряд сходится; если же , то ‒ расходится. Если , то ряд может сходиться или расходиться; в этом случае требуется исследовать ряд с помощью других методов.
Интегральный признак сходимости

Пусть ‒ ряд с положительными членами, для которого существует положительная, непрерывная и монотонно убывающая на промежутке функция такая, что

Тогда ряд и несобственный интеграл сходятся или расходятся одновременно.
2)

Ряд Фурье имеет вид:

,

где



Итак,

---

3) Представить заданную функцию w=f(z), где z=x+iy, в виде w=u(x;y)+iv(x;y) и проверить, является ли она аналитической. Если да, то найти значение ее производной в точке .

f(z)=2z²-z+i, z₀=1+i

Решение.

f(z)=2(x+iy)²-(x+iy)+i=2x²+4xiy-2y²-x-iy+i

u(x,y)=2x²-2y²-x

v(x,y)=4xy-y+1

Функция является аналитической, то выполняются условия Коши – Римана:



Вычислим частные производные,

du/dx=4x-1

dv/dy=4x-1

du/dy=-4y

dv/dx=4y

du/dx =dv/dy

du/dy =-dv/dx

условие Коши-Римона выполняется. Функция является аналитической,

Вычислим производную в точке z_o=2-i.

w'(z)=4z-1

w'(2i) =3+4i

---

Смотрите также файлы

• Простейшие средства индивидуальной защиты (сиз).docx

• Руководство пользователя.pdf

• Шадрина Е. В. Анализ урока по фгос (примерная схема).doc

• 1. йымны жалпы сипаттамасы 1 йым туралы жалпы мліметтер.docx

• Рельеф Земли. Равнины.docx