Файл: Линейные однородные дифферециальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.docx
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 03.02.2024
Просмотров: 14
Скачиваний: 1
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
9ПОУРОЧНЫЙ ПЛАН
| Раздел: | ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ | |
| ФИО педагога | Амантаев В.А | |
| Дата: | 12.04.2023 | |
| Класс: | Количество присутствующих: | Количество отсутствующих: |
| Тема урока: | Линейные однородные дифферециальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. | |
| Цели обучения в соответствии с учебной программой: | 11.4.1.25. Решать линейные однородные дифференциальные уравнения 2 порядка вида ay′′ + by′ + cy = 0, где a, b, c – постоянные | |
| Цели урока: | Отработать знания и умения а также решение задач на линейные однородные дифферециальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. | |
Ходурока
| Этапурока/ Время | Действия педагога | Действияученика | Оценивание | Ресурсы |
| Приветствие, создание коллаборативной среды/ 2 мин | Приветствие со школьниками, определение отсутствующих. Сообщение темы и цели урока, ожидаемых результатов. | Принимают участие в постановке темы (цели) урока. Осмысливают поставленную цель. | | |
| Актуализация знаний/ 5 мин. Проверка домашнего задания | Повторения пройденного материала по стратегии «Я знаю, что…..» Корни уравнений | Говорят, что знают по теме урока Взаимопроверка | ФО Похвала учителя | |
| Середина урока 35 минут | Данные уравнения имеют вид:  , (1)где p и q –постоянные числа Определение Два решения уравнения (1)  и  называются линейно независимыми на отрезке  ,если их отношение на данном отрезке не является постоянным, т.е. на  Теорема ( Об общем решении ЛОДУ) Если  и  –два линейно независимых решения уравнения (1), то линейная комбинация , (2)где  и  –произвольные постоянные, является его общим решением.Характеристическое уравнение Для нахождения общего решения (2) следует найти два линейно независимых частных решения. Будем искать их виде  (  ); тогда  ,  , подставим эти выражения в (1), получим  , откуда следует: (3)-характеристическое уравнение, его корни:  ;  (4)Случаи решения характеристического уравнения: I. корни  и –действительные и различные (DII. корни = –равные действительные (D=0)III корни и –комплексные (D<0);Рассмотрим каждый случай отдельно. I. Корни характеристического уравнения действительные и различные (  ).Частными решениями будут функции  ,  Они линейно независимы, т.к.  Следовательно, общее решение имеет вид:  II. Корни характеристического уравнения действительные и равные (  )Это будет при D=0 , т.е.  .В качестве первого частного решения возьмём  . Покажем, что в этом случае в качестве второго линейно независимого решения можно взять  . Подставим его в уравнение (1). Сначала найдём производные: ;  Подставим в (1):   , т.к. и  Итак, в случае общее решение уравнения (1) имеет вид (8)IІI. Корни характеристического уравнения комплексные  ;  , ( ).Частные решения:  ;  , или ;  (5)Покажем, что если некоторая комплексная функция  является решением уравнения (1), то каждая из действительных функций u(x) и v(x) тоже будет решением уравнения (1). для этого подставим его в уравнение (1):   .Значит, в качестве частных решений уравнения (1) можно взять отдельно действительные и мнимые части решений (5):  ;  ,В этом случае общее решение уравнения (1) можно представить в виде  , (6)где и -произвольные постоянные.Важным частным случаем решения (6) является случай, когда в уравнении (1) p=0 и q  , (qПри этом характеристическое уравнение  (q  и общее решение (6) приобретает вид (7)Примеры: Найти общее решение линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. 1)  Характеристическое уравнение:  ;  . Имеем первый случай. Общее решение:  2)   D<0. Второй случай.   Общее решение:  3)  . Случай мнимых корней:   Общее решение:  4)  . D=0, третий случай ;  Общее решение:  5)  первый случай   Общее решение:  6)  второй случай   .  ;  .Общее решение:  7)     Общее решение:  8)     Общее решение:  Самостоятельное работа Найти общее решение следующих дифференциальных уравнений. Задание 1.  Решение: Составим характеристическое уравнение:      Общее решение данного дифференциального уравнения, согласно формуле(1), имеет вид:  Ответ: Задание 2.  Решение: Составим характеристическое уравнение:    Общее решение данного дифференциального уравнения, согласно формуле(2), имеет вид:  Ответ: Задание 3.  .Решение: Составим характеристическое уравнение:  Общее решение данного дифференциального уравнения, согласно формуле(3), имеет вид:  Ответ: Задание 4 .  Составим характеристическое уравнение:  Это третий случай, где  Общее решение данного дифференциального уравнения, согласно формуле(3), имеет вид:  Ответ: Задание 5.Найти частное решение дифференциального уравнения  , если у(0)=1 и  .Решение: Составим характеристическое уравнение:  Общее решение данного дифференциального уравнения, согласно формуле(2), имеет вид:  Так как заданы начальные условия, то:  Чтобы найти значение  , дифференцируем общее решение.  Таким образом, искомое частное решение имеет вид  Ответ: Решите дифференциальное уравнение: y′′+4y′+5y=0. №2.Решите уравнение: y′′+25y=0. №3. Найдите общее решение уравнения и выполните проверку:  №4. Решите дифференциальное уравнение:  №5. Решите дифференциальное уравнение:  №6.Найдите общее решение уравнений  .№7. Решите однородное дифференциальное уравнения второго порядка:  №8. Найти часное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальное условиям:  , .Задания: 28.1, 28.2, 28.3, 28.4, 28.5, 28.6, 28.7 | Внимательно слушает и высказывает свое мнение Внимательно слушает и анализирует объясняемый материал | Устный комментарий учителя Похвала учителя Взаимооценивание | Презентация |
| Конец урока Рефлексия/3 мин. Запись домашнего задания |
| производят рефлексию по пройденной теме по стратегии «незаконченные фразы» записывают домашнее задание | Комментирует домашнее задание | |