ВУЗ: Новосибирский государственный технический университет
Категория: Учебное пособие
Дисциплина: Математика
Добавлен: 15.02.2019
Просмотров: 8947
Скачиваний: 108
Г л а в а 14. Кратные, криволинейные, поверхностные интегралы
192
Находим:
1
1
0
1
:
0
1
D
x
xdxdy
D
y
x
1
1
1
1
2
3
0
0
0
0
(1
)
(
/ 2
/ 3)
1/ 6
x
xdx
dy
x
x dx
x
x
;
2
2
0
1
:
1/ 6
0
1
D
x
xdxdz
D
z
x
, так как области
1
D и
2
D
перехо-
дят одна в другую заменой у на z;
3
0
0
D
dydz
;
4
3
4
0
1
(1
) 3
:
0
1
D
D
y
y
z
dydz
D
z
y
1
0
1
1
1
2
0
0
0
3
(1
)
3 / 2
(1
)
z
y
z
y
dy
y
z dz
y
z
dy
1
2
0
3 / 2)
(1
)
y dy
1
3
0
3
3
(1
)
6
6
y
.
1 / 6 1 / 6 0
3 / 6
(2
3) / 6
I
.
Задачи для самостоятельного решения
Вычислить поверхностные интегралы первого рода.
120.
xyzd
, где
– часть плоскости
1
x
y
z
, лежащая
в первом октанте.
121.
xd
, где
– часть сферы
2
2
2
2
x
y
z
R
, лежащая
в первом октанте.
122.
yd
, где
– полусфера
2
2
2
z
R
x
y
.
123.
2
2
2
R
x
y d
, где
– полусфера
2
2
2
z
R
x
y
.
124.
2
d
r
, где
– цилиндр
2
2
2
x
y
R
, ограниченный плос-
костями
0,
z
z
H
, а r – расстояние от точки поверхности до на-
чала координат.
125.
(
)
xy
yz
zx d
, где
– часть конической поверхности
2
2
z
x
y
, вырезанная поверхностью
2
2
2
x
y
ax
.
14.6. Поверхностные интегралы
193
126. Найти массу сферы, если поверхностная плотность в каж-
дой точке численно равна расстоянию этой точки от некоторого
фиксированного диаметра сферы.
127. Найти массу параболической оболочки
2
2
(
) / 2 (0
1)
z
x
y
z
,
плотность которой меняется по закону
z
.
128. Найти массу полусферы
2
2
2
2
(
0)
x
y
z
a
z
, плот-
ность которой в каждой ее точке равна
/
z
a
.
129. Найти координаты центра тяжести части однородной по-
верхности
2
2
z
x
y
, вырезанной поверхностью
2
2
x
y
ax
.
14.6.3. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ВТОРОГО РОДА (ПИ-2)
Пусть: 1) в точках двусторонней гладкой (или кусочно-глад-
кой) поверхности
задана ограниченная функция
( , , )
f x y z ; 2) вы-
брана положительная сторона поверхности; 3)
1
2
,
, ...,
n
– раз-
биение
на n частей
i
с площадями
i
и диаметрами
i
d
;
4)
( ,
,
)
(
1, 2, ..., )
i
i
i
i
i
M
i
n
– произвольный набор точек;
5)
xy i
S
– проекция элемента
i
на плоскость Oxy (проекция оп-
ределенной стороны поверхности связана со знаком « + » или « – »);
6)
1
( ,
,
)
n
n
i
i
i
xy i
i
I
f
S
– интегральная сумма, соответствую-
щая данному разбиению и выбору точек.
Определение. Конечный предел
n
I
при
0 (
sup
)
i
d
называется поверхностным интегралом второго рода от ( , , )
f x y z
по определенной стороне поверхности
:
lim
( , , )
n
n
I
f x y z dxdy
(здесь dxdy напоминает о проекции
i
на Oxy и содержит знак).
При проектировании ориентированной поверхности
на
плоскости Oyz и
Oxz
получаем ПИ-2:
( , , )
,
( , , )
f x y z dydz
f x y z dxdz
.
ВЫЧИСЛЕНИЕ ПИ-2
Теорема 14.11. Пусть ориентированная гладкая поверхность
задана явно. Тогда:
а) если
:
( , ), ( , )
xy
z
z x y
x y
S
, то
( , , )
f x y z dxdy
( , , ( , ))
xy
S
f x y z x y dxdy
; (14.35а)
Г л а в а 14. Кратные, криволинейные, поверхностные интегралы
194
б) если :
( , ), ( , )
xz
y
y x z
x z
S
, то
( , , )
f x y z dxdz
, ( , ),
xz
S
f
x y x z
z dxdz
; (14.35б)
в) если
:
( , ), ( , )
yz
x
x y z
y z
S
, то
( , , )
f x y z dydz
( , ), ,
yz
S
f
x y z
y z dydz
. (14.35в)
СВЯЗЬ МЕЖДУ ПИ-1 И ПИ-2
Теорема 14.12. Если
– гладкая двусторонняя поверхность,
ориентация
характеризуется нормалью
cos
, cos , cos
n
=
/
,
n
n
( , , ),
( , , ),
( , , )
P x y z
O x y z
R x y z – функции, определен-
ные и непрерывные на
, то
(
cos
cos
cos )
Pdydz Qdxdy
Rdxdy
P
Q
R
d
. (14.36)
СВЯЗЬ МЕЖДУ ПИ-2 И ТРОЙНЫМ ИНТЕГРАЛОМ
(ФОРМУЛА ГАУССА – ОСТРОГРАДСКОГО)
Теорема 14.13. Пусть функции
( , , ),
( , , ),
( , , )
P x y z Q x y z
R x y z
–
непрерывные вместе со своими частными производными (первого
порядка) в некоторой пространственной области V, ограниченной
гладкой замкнутой поверхностью
с положительной внешней сто-
роной. Справедлива формула Гаусса-Остроградского
Pdydz Qdxdz
Rdxdy
V
P
Q
R
dxdydz
x
y
z
.
З а м е ч а н и е. О приложениях ПИ-2 смотри в разделе «Эле-
менты теории поля».
Пример 25. Вычислить ПИ-2:
2
2
,
x y zdxdy
где
2
2
: x
y
2
z
R
– положительная (внешняя) сторона сферы.
Для вычисления ПИ-2 замкнутую поверхность
необхо-
димо разбить на
1
с уравнением
2
2
2
z
R
x
y
и
2
с уравнени-
ем
2
2
2
z
R
x
y
(рис. 14.28). Тогда на основании (14.32) по-
ложительная сторона поверхности
1
характеризуется нормальным
вектором
1
{
,
, 1}
x
y
n
z
z
, ибо угол между
1
n
и положительным на-
14.6. Поверхностные интегралы
195
правлением Oz, т.е. (
1
n ,
Oz), – острый,
а положительная сторона поверхност-
ности
2
– вектором
2
{
, 1}
x y
n z z
, ибо
угол (
2
n ,
Oz) – тупой. Проекция каждой
из поверхностей
1
и
2
есть область
2
2
2
:{
}
S
x
y
R
– круг радиуса R с цен-
тром в начале координат. Поэтому по
формуле (14.35а)
2
2
2
2
2
S
I
x y
R
x
y dxdy
+
+
2
2
2
2
2
(
)(
)
S
x y
R
x
y
dxdy
2 2
2
2
2
2
S
x y
R
x
y dxdy
(
перехо-
дим к полярным координатам:
cos ,
x
sin ,
y
dxdy
d d
,
: 0
2 ; 0
S
P
R
)
=
=
5
2
2
2
2
2
sin
cos
P
R
d d
=
2
5
2
2
2
2
0
0
2
sin
cos
R
R
d
d
=
=
(
двойной интеграл «расщепился» в произведение определенных
интегралов
)
=
1 2
2I I ;
5
2
2
4
2
2
2
2
1
0
0
1
(
)
2
R
R
I
R
d
R
d R
=
2
2
2
2
2
,
,
0
н
в
R
t
R
t
t
R
t
=
2
0
2
2
7
1
(
)
8
/ 105
2
R
R
t
tdt
R
;
2
2
2
2
2
0
0
1
sin
cos
(1 cos 4 )
/ 4
8
I
d
d
.
Итак,
7
1 2
2
4
/105
I
I I
R
.
Пример 26. Вычислить ПИ-2 об-
щего вида:
2
2
I
y dydz
2
2
4
x dxdz
z dxdy
,
где
– внешняя сторона конической
поверхности
2
2
z
x
y
, ограничен-
ной плоскостью z = 2.
Внешняя сторона поверхности
характеризуется нормальным векто-
ром, который составляет тупой угол
с положительным направлением оси Oz
(рис. 4.29), а потому
Рис. 14.28
S
z
x
y
o
1
n
1
2
Рис. 14.29
x
y
z
S
2
o
o
n
Г л а в а 14. Кратные, криволинейные, поверхностные интегралы
196
, , 1
x
y
n
z
z
2
2
2
2
,
, 1
x
y
x
y
x
y
,
2
2
1
x
y
n
x
z
=
2
2
2
2
2
2
/(
)
/(
) 1
2
x
x
y
y
x
y
.
Тогда
o
{cos , cos , cos }
n
,
2
2
cos
,
2
x
x
y
2
2
1
cos
, cos
2
2
y
x
y
.
Данный ПИ-2 можно вычислять по-разному. Первый способ –
вычислять три ПИ-2, составляющих данный поверхностный инте-
грал. Второй способ – использовать связь ПИ-2 с ПИ-1, что и сдела-
ем. По формуле (14.36)
2
2
2
2
4
I
y dydz
x dxdz
z dxdy
=
2
2
2
(2
cos
cos
4
cos )
y
x
z
d
=
=
2
2
2
2
2
1
2
4
2
y x
x y
z
d
x
y
. Последний поверхностный инте-
грал есть ПИ-1. Проекция
2
2
: z
x
y
на плоскость Oxy есть об-
ласть
2
2
2
:{
2 }
S
x
y
– круг радиуса 2 с центром в начале коорди-
нат. Так как
2
2
1
/ cos
2
x
y
d
z
z dxdy
dxdy
dxdy
, то по
формуле (14.33) [или (14.34)]
2
2
2
2
2
2
1
2
4(
)
2
2
S
y x
x y
I
x
y
dxdy
x
y
=
(
переходим к полярным
координатам:
cos ,
sin
x
y
dxdy
d d
: 0
2 ; 0
S
P
R
)
=
=
2
2
2
2
2
2
sin
cos
sin cos
4
)
P
d d
=
=
2
2
3
2
2
0
0
(2sin
cos
cos
sin
4)
d
d
=
2
2
4
3
3
0
0
2
cos
sin
4
4
3
3
=
32
.