ВУЗ: Новосибирский государственный технический университет
Категория: Учебное пособие
Дисциплина: Математика
Добавлен: 15.02.2019
Просмотров: 8945
Скачиваний: 108
14.6. Поверхностные интегралы
197
Задачи для самостоятельного решения
Вычислить следующие поверхностные интегралы второго рода.
130.
xdydz
ydxdz
zdxdy
, где
– положительная сторона
куба, составленного плоскостями
0,
0,
0,
1,
1
x
y
z
x
y
,
1
z
.
131.
2
2
x y zdxdy
, где
– положительная сторона нижней по-
ловины сферы
2
2
2
2
x
y
z
R
.
132.
2
z dxdy
, где
– внешняя сторона эллипсоида
2
2
2
2
2
2
1
x
y
z
a
b
c
.
133.
xzdxdy
xydydz
yzdxdz
, где
– внешняя сторона пи-
рамиды, составленной плоскостями
0,
0,
0,
1
x
y
z
x
y
z
.
В задачах 134–137, применяя формулу Гаусса – Остроградско-
го, преобразовать поверхностные интегралы, если гладкая поверх-
ность
ограничивает конечную область (тело) V и
cos
, cos
,
cos
– направляющие косинусы внешней нормали к
.
134.
3
3
3
x dydz
y dzdx z dxdy
. 135.
yzdydz
zxdzdx
xydxdy
.
136.
2
2
2
cos
cos
cos
x
y
z
d
x
y
z
.
137.
cos
cos
cos
R
Q
P
R
Q
P
d
y
z
z
x
x
y
.
138. Вычислить, применяя формулу Гаусса – Остроградского,
2
2
y zdxdy
xzdydz
x ydxdz
, где
– внешняя сторона поверхности,
расположенной в первом октанте и составленной из параболоида
2
2
z
x
y
, цилиндра
2
2
1
x
y
и координатных плоскостей.
139. Вычислить интегралы 132, 133, применяя формулу Гаус-
са – Остроградского.
Г л а в а 14. Кратные, криволинейные, поверхностные интегралы
198
ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ ГЛАВЫ 14
1.
3
1
3
4
: 3
5;
2
2
x
x
S
x
y
. 2.
2
2
:
2
2;
4
D
x
x
y
x
.
3.
2
: 0
2;
2
2
3;
6
D
x
x
y
x
x
x
y
x
.
4. 1. 5. 1/ 40. 6.
3
/ 3
a
. 7.
( , )
( , )
( , )
( , )
F A B
F A b
F a B
F a b
.
8.
2
1
0
( , )
x
x
dx
f x y dy
. 9.
2
2
0
( , )
y
r
r
r
y
dy
f x y dx
.
10.
1
0
y
e
e
dy
fdx
. 11.
arcsin
1
0
arcsin
y
y
dy
fdy
.
12.
(4 3 ) / 2
(2
1) / 3
(2
1) / 3
6,5
9,5
5
8
5
3
(3
1) / 2
5
3
6,5
(2
4) / 3
8
(2
4) / 3
x
y
y
x
y
y
dx
fdy
dy
fdx
dy
fdx
dy
fdx
.
13.
2
2
1
1
1
1
0
0
0
0
y
x
dx
fdy
dy
fdx
. 14.
2
2
2
2
2
6
5
4
3
4
5
0
1
3
4
2
6
5
y y
x x
x x
y y
dx
fdy
dy
fdx
.
15.
6
2
2
3
6
3
4
0
2
0
/ 2
3
/ 2
y
y
x
x
x
x
y
y
dx
fdy
dx
fdy
dy
fdx
dy
fdx
.
16.
2
2 /
1
2
2
2 /
1
2
0
/ 2
1
/ 2
0
/ 2
1
/ 2
y
y
x
x
x
x
y
y
dx
fdy
dx
fdy
dy
fdx
dy
fdx
.
17.
2
0
1
2
1
1
2
/ 2
0
/ 2
0
2
y
x
x
y
dx
fdy
dx
fdy
dy
fdx
.
18.
2
1
1
1
1
0
y
y
x
dx
fdy
dy
fdx
. 19.
2
(
1)
e
. 20. 0.
21.
33/140
. 22.
9 / 4
. 23. –2. 24.
/ 6
. 25.
5
/ 21
p
.
26.
4
35
/12
a
. 27.
arctg2
8cos
/ 4
4 cos
( cos , sin )
d
f
d
.
28.
arctg( / )
sin
0
0
( cos , sin )
a b
b
d
f
d
cos
/ 2
arctg( / )
0
( cos , sin )
a
a b
d
f
d
.
Ответы к задачам главы 14
199
29.
/ 2
2
0
2 sec(
/ 4)
( cos , sin )
d
f
d
.
30.
cos 2
/ 4
/ 4
0
( cos , sin )
a
d
f
d
.
31.
sin 2
/ 2
0
0
( cos , sin )
a
d
f
d
.
32.
2
1
0
0
2 cos ,
3 cos ,
6
(2 cos , 3 sin )
x
y
I
d
f
d
.
33.
2
3 cos
sin
0
0
3
( cos ,
3 sin )
I
d
f
d
.
34.
2 sin
/ 2
/ 6
( cos ec ) / 2
( cos , sin )
R
R
d
f
d
.
35.
2sec
/ 3
/ 4
0
( )
d
f
d
. 36.
2
sec
/ 4
0
sin
sec
( cos ,
sin )
d
f
d
.
37.
2
2
2
[(1
) ln(1
)
]/ 4
R
R
R
. 38.
2
R h
. 39.
3
(
4 / 3) / 3
R
.
40.
2
/ 6
. 41.
2
6
. 42.
2 2
/ 8
a b
. 43.
4
1/ 6 .
44. а)
: ( , )
, 0
(6
2 ) / 3
V
x y
S
z
x
y
,
:
0,
0,
2
6
S
x
y
x
y
;
б)
: ( , )
, 0
6 2
3
,
:
0,
0, 2
3
6
V
y z
D
x
y
z
D
y
z
y
z
.
45. а)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
: ( , )
;
,
:
;
V
x y
S R
R
x
y
z
R
R
x
y
S
x
y
R
б)
2
2
2
2
2
2
: ( , )
;
2
2
,
:
2
0
V
y z
D
Rz z
y
x
Rz z
y
D
y
z
Rz
.
46. а)
2
2
2
2
: ( , )
;
4 ,
:
4
V
x y
S x
y
z
S
x
y
;
б)
2
2
2
: ( , )
;
,
:
,
4
V
y z
D
z
y
x
z
y
D
z
y
z
.
47.
2
5
e
. 48. (ln 2 5 / 8) / 2
. 49. 1/180. 50.
2
8 /16
.
Г л а в а 14. Кратные, криволинейные, поверхностные интегралы
200
51.
1/ 96
. 52.
1
/ 3
0
/ 4
0
( cos ,
sin ,
)
R
dz
d
f
z
d
.
53.
2
2 cos
/ 2
/ 2
0
0
( cos ,
sin , )
d
d
f
z dz
.
54.
/ 2
/ 2
2
0
/ 2
0
sin
( cos
sin ,
sin sin ,
cos )
R
d
d
f r
r
r
r dr
.
55.
2
2
2
2
2
3 / 2
0
0
( cos ,
sin , )
R
R
R
R
d
d
f
z dz
или
2 cos
2
/ 3
2
/ 2
2
2
0
0
0
0
0
0
sin
sin
R
R
d
d
f r dr
d
d
f r dr
,
где
( cos
sin
,
sin
sin
,
cos
)
f
f r
r
r
.
56.
2
8
/ 9
a
. 57.
5
4
/15
R
. 58.
4
/ 8
a
. 59.
4
/ 3
ah
.
60.
5
5
2
1
4 (
)
R
R
. 61.
[3 10
ln
2 1 /
10
3
2 8]
.
62.
/10
. 63. 560/3. 64.
48 6 / 5
. 65. 45. 66. 81/5.
67.
22
. 68. 27. 69.
/ 3
. 70.
/ 8
. 71.
19 / 6
и
15 / 2
.
72.
21(2
2) / 4
. 73.
2
0
[2
2 ln(1
2)]/ 3
a
.
74.
/ 2,
8 / 5
c
c
x
a
y
a
. 75.
/ 5
c
c
x
y
a
.
76.
/ 8
c
c
x
y
a
. 77.
5 / 6,
16 / 9
c
c
x
a
y
a
.
78.
14 /15,
26 /15,
8 / 3
c
c
c
x
y
z
.
79.
6 / 5,
12 / 5,
8 / 5
c
c
c
x
y
z
.
80.
0,
5 (6 3 5) / 83
c
c
c
x
y
z
a
. 81. 5 ln 2 . 82. 24.
83.
2
(5 5 1) / 3
p
. 84.
4 a a
. 85.
3
2
2 / 3
a
.
86.
2
3/ 2
[(
4)
8]/12
R
. 87.
2 3/ 2
2 2[(1 2
)
1]/ 3
.
88.
2
2
R
. 89.
3
3/ 2
0
(ch
2
1) / 6
a
t
. 90.
7 / 3
a
.
91.
2
3 2
2
2
(2
8
/ 3)
a
b
a
b
. 92.
(1
) 3
t
e
.
Ответы к задачам главы 14
201
93.
2
2
(2 2 1) / 3
p
. 94.
(
) /(
)
c
x
b a
h a
h a
,
2
2
/ 2
/ 2
c
y
h
ab
h
a
. 95.
4 / 3
c
c
x
y
a
.
96. (0; 2
;
/ 2)
a
b
. 97.
/ 2
ab
. 98. 112/3. 99.
1/ 3
.
100.
2 ab
. 101.
2
a
. 102. 13. 103. 0. 104.
3 3
.
105. 4. 106. ln(13/ 5) . 107. 0. 108. –9/2.
109.
3
3
(
) / 3
u
x
y
c
. 110.
2
2
cos
cos
u
x
y
y
x c
.
111.
2
(
1) /(1
)
y
u
e
x
y c
. 112.
3
3
3
(
) / 3 2
u
x
y
z
xyz c
.
113.
ln
u
x
y
z
c
. 114.
/
/
u
x
x y
xy z
c
.
115.
4
/ 2
R
. 116.
2 ab
. 117. 1) 0; 2)
2
.
118. а)
2
2
(
) / 2
a
b
; б) 0. 119. 0, 5 ln 2
k
. 120.
3 / 120
.
121.
3
/ 4
R
. 122. 0. 123.
3
R
. 124. 2 arctg(
/ )
H R
.
125.
4
64 2
/15
a
. 126.
2
3
R
. 127.
2 (1 6 3) / 15
. 128.
2
a
.
129.
/ 2;
0;
16 / 9
c
c
c
x
a
y
z
a
. 130. 3. 131.
7
2
/105
R
.
132. 0. 133.
1/ 8
. 134.
2
2
2
3
(
)
V
x
y
z dxdydz
. 135. 0.
136.
2
2
2
2
V
dxdydz
x
y
z
. 137. 0. 138.
/ 8