Файл: Элементы математического моделирования в программных средах MATLAB 5 и Scilab (Андриевский Фрадков).pdf

Рис. 3.9.

Еще более общей формой описания динамических систем являются сингулярные дифференциальные (алгебро-дифферен- циальные) системы

частным случаем которых являются неявные системы

3.3.2.Линейные модели и линеаризация

Часто вместо (3.15) используют упрощенные ММ, основанные на том, что процессы в системе протекают, мало отклоняясь от некоторой так называемой опорной траектории {x(f),£(f),y(f)}, удовлетворяющей уравнениям

76

Если расчетный режим является установившимся, т.е. не зависит от времени, то коэффициенты в (3.20) также не зависят от времени: A(t) = Л, B(t) = В и т.д. Такие системы называются стационарными. Особенно часто на практике встречаются стационарные линейные непрерывные системы, описываемые более простыми уравнениями

Матрицы А, 5, С являются параметрами модели (3.21). Если линеаризация приводит к большим погрешностям, то стараются, по возможности, выбрать математическую модель, линейную по параметрам

нейная вектор-функция. К этому классу относятся, в частности, билинейные объекты, например х = ахх + а2хи + а3и, где

Дискретным аналогом уравнений линейной стационарной системы (3.21) являются уравнения

Наряду с уравнениями состояния широкое применение находят также модели в переменных "вход-выход" и модели, описываемые передаточными функциями. Для непрерывного времени уравнение "вход - выход" имеет вид

77

где р = d/dt - символ дифференцирования по времени; Л(А) =

Они справедливы и в случае, когда вход и выход системы (3.21) являются векторами, при этом W(А) = Л"1(А)В(А) - матрица. Пользуясь (3.25), можно показать, что замена переменных состояния в (3.21) по формуле х' = Тх , где Т - неособая п х n-матрица (detT = 0), не приводит к изменению передаточной функции (3.26). Это значит, что обратный переход от описания "вход - выход" к уравнениям состояния (3.21) неоднозначен: при сохранении передаточной функции базис в пространстве состояний можно выбирать по-разному. На практике применяются несколько типовых способов перехода от передаточной функции к уравнениям состояния. Эти

78

получаем строку С:

Если для системы (3.24) наблюдению доступна производная уМ от величины у при г < п - т - то она может быть получена, если в найденных уравнениях сохранить Л, В в форме

3.3.3.Дискретизация и континуализация

Дискретизация. Если исходное описание линейной системы непрерывно, можно перейти к дискретному описанию с помощью следующей процедуры.

Если предположение о кусочном постоянстве u(t) не выполняется, то переход от (3.21) к (3.23) является приближенным, но

79

его точность растет по мере уменьшения шага h , если скорость изменения входа (величина u(t)) ограниченная. При достаточно малых h для вычисления еАН можно удерживать лишь первые несколько членов ряда (3.32) или аппроксимировать сумму (3.32) каким-либо способом.

Например, при переходе от (3.21) к (3.23) можно пользоваться формулой eAh « In + Ah , соответствующей численному интегрированию (3.21) методом Эйлера. При такой аппроксимации передаточные функции дискретной и непрерывной систем будут связаны соотношением

т.е. при переходе к дискретному времени в передаточной функции W(p) системы (3.24) нужно заменить р на (1 - z)/h. Если матрица А - гурвицева, т.е. ЯеАДЛ) < 0, то метод Эйлера дает устойчивую аппроксимацию лишь при

где А,(А) - собственные числа матрицы А (корни полинома А(А)). Целый ряд способов перехода от (3.21) к (3.24) основан на аппроксимации матрицы еАН матричными дробями Паде (дробями, "числителем" и "знаменателем" которых являются матричные многочлены). Частными случаями этих способов является метод Тастина (формула Паде порядка (1,1)):

Отметим, что формулы (3.35) и (3.37) дают устойчивые аппроксимации при h > О (разумеется, если А - гурвицева).

Заметим, что формула (3.31) для вычисления матрицы Q применима, если det А ф 0. Трудностей, связанных с вычислением Q при вырожденной матрице Л, можно избежать, если

80