Файл: Элементы математического моделирования в программных средах MATLAB 5 и Scilab (Андриевский Фрадков).pdf

шаг дискретности Т0 и сделать определенное допущение о виде процесса на входе непрерывной системы (более подробно см., например, [3, 6, 75]). Здесь будем предполагать, что u(t) - кусочно-постоянная внутри интервалов квантования. Запишем фрагмент программы.

Программа синтеза ЦФ по аналоговому прототипу

fl=tf(num,den) Т0=5е-3; dfl=c2d(fl,T0)

Здесь предполагается, что массивы num, den уже заданы так, как это сделано в программах на с. 64, 65. Функция tf относится к тулбоксу CONTROL SYSTEMS и служит для построения линейного стационарного объекта (ЛС-обзект) по массивам числителя и знаменателя передаточной функции [6, 61]. В программе задается значение интервала дискретности Т0 = 5 • 10~3 с и выполняется обращение к функции c2d перехода от непрерывной модели к дискретной. Лалее выполним анализ полученной системы и ее сравнение с исходной. Продолжим программу:

omega=logspace(l,3,300);

[mag,phase]=bode(fl,omega);

[dmag,dphase]=bode(dfl,omega);

Lc=20*logl0(squeeze(mag));

Ld=20*logl0(squeeze(dmag));

cph=squeeze(phase);

dph=squeeze(dphase);

subplot(211)

semilogx(omega,Lc, 'k' ,omega,Ld,' — .k' ) ,grid

Здесь строятся диаграммы Боде (JIAX, ЛФЧХ) непрерывной и дискретной систем. Вычисления выполняются функцией bode. Для непрерывных систем осуществляется описанная выше подстановка $ = ju> аргумента передаточной функции. Аргумент z дискретной передаточной функции заменяется выражением е*шТ° [6, 75]. Функция squeeze используется

88

для удаления единичных размерностей массивов [84]. В данном примере это массивы mag , dmag , cph, dph, имеющие по три измерения. Без этого действия не удается выполнить операторы semilogx и plot. Частотные характеристики приведены на рис. 3.13, а.

Перейдем к расчету переходных характеристик непрерывной и дискретной систем. Воспользуемся функцией step тулбокса CONTROL SYSTEMS [61]. Лля получения более подробных сведений о виде переходной характеристики непрерывной системы выберем для нее меньший шаг вычислений. Шаг расчета переходной характеристики дискретной системы должен совпадать с ее интервалом квантования Т0. Результаты вычислений выводятся операторами plot - для непрерывной системы и stem - для дискретной. Чтобы они разместились на одном графике, используется оператор hold on (см. рис. 3.13, б). Видно, что в узлах квантования выход непрерывной системы совпадает с выходом ее дискретной модели, что вполне соответствует принятому методу дискретизации (в теории ИФ этот метод так и называется - метод инвариантности переходной характеристики (ИПХ) [19, 24]).

tc=0:5е-4:0.25; td=0:T0:0.25; y c = s t e p ( f l , t c ) ;

yd=step(dfl,td);

p l o t ( t c , у с , ' k ' ) , h o l d on stem(td,yd),grid

З а м е ч а н и е . Можно значительно упростить данную программу, если не задаваться точками диапазона частот, моментов времени и видом графиков. Тогда рассмотренные здесь действия можно выполнить программой:

fl=tf(num,den) T0=5e-3; dfl=c2d(f1,Т0) bode(fl,df1); f i g u r e step(f1,df1);

89

Рис. 3.13. Характеристики аналогового прототипа и цифрового фильтра .

Выбор требуемых параметров и вывод результатов на экран производятся функциями bode, step автоматически.

Синтез по аналоговому прототипу - далеко не единствен-

получения цифрового режекторного фильтра с указанной выше полосой задерживания и интервалом дискретности Т0 = 0.005 с.

При использовании функции butter следует указать границы полосы пропускания (или задерживания - в зависимо-

Параметр omp является вектором, в котором указывается нормированная полоса задерживания. Во второй строке происходит обращение к функции butter, где указаны порядок

90

фильтра, границы полосы пропускания и вид фильтрации: значение ' s t o p ' задает заграждающий фильтр (ЗФ); значения 'high1 , 'low', 'bandpass' задают фильтр верхних частот

(ВЧ), нижних частот (НЧ) и полосовой фильтр (ПФ), соответственно. Чтобы получить аналоговый фильтр, следует указать четвертый параметр ' s \ 1 Заметим, что порядок по- лученных ПФ и ЗФ равен удвоенному значению первого параметра. В рассматриваемом примере рассчитываются матрицы разностных уравнений состояния заграждающего фильтра четвертого порядка с полосой задерживания от 70 до 100 рад/с. Результат присваивается массивам а, Ь, с, d. Следующим оператором создается JIC-объект с именем fb. Для этого используется функция ss тулбокса CONTROL SYSTEMS (см. Приложение и [61]). Выполнив оператор zpk(fb), получим выражение для передаточной функции W(z) фильтра в виде произведения сомножителей:

Для расчета частотных и переходных характеристик фильтра используем рассмотренные выше функции bode step. Результаты приведены в следующем пункте на рис. 3.14 а.

3.4.3.Континуализация моделей

Рассмотрим теперь задачу континуализации дискретных моделей. В качестве примера построим сначала непрерывный фильтр, используя полученный выше цифровой фильтр Баттерворта в качестве дискретного фильтра-прототипа.2 Для получения непрерывной модели фильтра используем функцию преобразования d2c тулбокса CONTROL SYSTEMS:

cfb=d2c(fb)

1 Третий параметр может принимать и значения 'в* или , z ) (установлено по умолчанию). Этот параметр показывает тогда, какой фильтр - аналоговый или цифровой - должен быть получен. При этом, если второй параметр - скаляр, то рассчитывается НЧ-фильтр, а если вектор из Двух элементов - то ПФ.

2 Заметим, что пример носит иллюстративный характер и данный подход не характерен для проектирования частотно-избирательных фильтров.

91

Получим JIC-объект cfb, который соответствует модели дискретной системы fb. При переходе к этой модели учтено требование совпадения переходных характеристик. Выполнив затем оператор zpk(cfb), получим передаточную функ-

Как известно, дискретные ЛС обладают рядом свойств, которые не могут быть адекватно отражены непрерывными моделями. Например, переходный процесс у стационарных непрерывных Л С всегда носит асимптотический характер, а у дискретных систем может иметь конечную длительность. Кроме того, дискретные системы первого порядка в отличие от непрерывных могут иметь колебательную переходную характеристику. Рассмотрим на примерах, какая модель полу-

Ее переходная характеристика является ступенчатым процессом и приходит в установившееся состояние за два шага

реходные характеристики исходной дискретной системы и ее непрерывной модели, полученной методом Тастина, показаны на рис. 3.14, б. Видно, что они значительно отличаются между собой.

Пример 3.4.2. Возьмем теперь дискретную систему, заданную передаточной функцией W(z) = z q g. Несложно

92