Файл: Элементы математического моделирования в программных средах MATLAB 5 и Scilab (Андриевский Фрадков).pdf

ряющее условию 1 + е > 1, т.е. € т

= min{e : 1 + е > 1}.

П

р а в и л о

1.

Величина

ет характеризует

наимень-

шую

относительную

погрешность

вычислений и зависит от

конкретного экземпляра

компьютера.

Величина ет может быть вычислена с помощью

простой

(при

обычной

точности

вычислений).

Очевидно, что если

€ т >

10""*, то

на данном

компьютере

нельзя гарантировать,

точности вычислений.

П р и м е р 4.5.3. Пусть ет =

10~2

и требуется

решить

урав-

нение х2 + 9.9х - 1

= 0.

Очевидно, все

результаты

можно

округлять до двух значащих

цифр. Если

применять для ре-

шения уравнения х2

+рх

+ q =

0 формулу х1 2 =

^ ^

где

D2

= р2 - 4 т о

получим \[Ъ «

10, хх

« 0.05, х2 «

-9.95.

Однако верный ответ для хх будет хх

«

0.1.

Ошибка по-

лучена при вычитании близких чисел.

Если

же

вычислять

Xi по эквивалентной

формуле хх 2

= —2

^ ,—, то

получаем

о

р ± V D

x i ^

9 Q + Ю ~

0-1-

Правда, по этой формуле х2 будет вычи-

слено уже с двукратной

погрешностью.

Пример 4.5.4. Известно, что при статистических

рас-

четах оценку дисперсии случайной величины по

измерени-

2

г д е

®

=

ям можно вычислить по формуле <т =

2

Х

jfX^x®»» или по эквивалентной формуле <7 = ^

~~ У-

1234.2, х3 = 1234.3.

Вычисляя на

микрокалькуляторе,

име-

ем: х

=

1234.2,

х2 = 1.5232496, jEx?

= 15232496 и по пер-

вой формуле <72 = 0.

По второй формуле получаем

результат

<72 = |(0 . 1 2 +0 2 + 0.12) «

0.67 • 10"2, который

легко получить и

устно.

При

выборе

формулы

и порядка

вычи-

П р а в и л о

2.

слений

избегать

вычитания

близких

чисел

и деления

на

малые

величины.

Пример 4.5.5.

Найдем

решение двух

очень

похожих си-

стем из двух линейных уравнений:

Система 1:

Решение:

Г х + 5у

=

17,

Г х =

17,

\

1.5х + 7.501 у =25.5.

\ у = 0.

Система 2:

Решение:

Г х + 5у =

17,

Г х = 32,

\

1.5® + 7.499у

= 25.5.

\ у = - 3 .

Столь большие различия в ответах

возникли

из-за то-

го, что

матрицы

коэффициентов

систем

Л;,г

=

1,2

п л о х о

о б у с л о в л е н ы :

величины Д, = (letЛ; малы.

Действитель-

но, Дх =

0.001,

Д2

= -0.001 (Д = апа22

- ai2a2i).

П р а в и л о

3.

Избегать плохо

обусловленных

матриц.

Если

это не удается,

то использовать

для работы

с ними

спе-

циальные

методы

[112,

104, 20].

Пример 4.5.6.

Числа, представимые,

например,

в типич-

П р а в и л о

4.

При переполнении

или исчезновении

порядка

следует

попытаться

изменить

последовательность

действий,

ввести

масштабные

множители

и т.д. При исчез-

новении порядка не всегда

следует

обнулять результат.

Пример 4.5.7.

Пусть

снова е т

= 10"2

и требуется вычи-

слить сумму

5 =

100 + 0.1 +

... + 0.1

2000 слагаемых

П р а в и л о

5. При сложении следует располагать слага-

емые

в порядке

возрастания абсолютных

величину

стараясь,

чтобы

при каждом сложении

порядки

величин

различались

мало.

При необходимости цикл

суммирования разбивается на

несколько более

коротких.

Пусть, например, требуется

вычислить

величину

S =

= YlkLi р" с точностью до Ю-3.

Если вести

вычисления до

тех пор, пока общии член ряда -К не станет меньше 10

, т.е.

к

до г = 32, то получим 5 = 1.610, в то время как на самом

деле S = -g2- = 1.650... Если же попытаться вычислить

таким

образом приближенную сумму ряда J^jfcLi р

т о погрешность

р поскольку ряд расходится.

П р а в и л о

6. Нужно

помнить, что остановка

итераци-

онного процесса

хх, х2 ,...

по косвенному

критерию

(например,

по критерию

\хп

— xn-i|

< е или

|F^rn)|

< е - в задаче

решения

уравнения

F(x)

= 0, по критерию

| | ^ ( £ п)|| < s - в задаче опти-

мизации

f(x)

и т. д.)

не гарантирует

достижения

заданной

погрешности

\хп — limn^oo хп\ < е.

П р и м е р 4.5.9. [104]. Пусть требуется вычислить

интегра-

лы

^

Еп=

I

xnex'ldx)

п = 1,2,..., 10 при em =

10"7.

Jо

Для величин Еп можно получить рекуррентное соотноше-

ние

Еп

= 1-пЕп-х.

(4.44)

Еп.г =

(4.45)

го начального приближения для Еп,

п > 10. Например, начав

с Е2о = 0, получим:

£,9 = 0.0500000,

Еи=

0.0627322,

Ец

= 0.0500000,

£ 1 3 =

0.0669477,

Е17

= 0.0527778,

Еи=

0.0717733,

Еи

= 0.0557190,

£ „ =

0.0773523,

Ехь

= 0.0590176,

£ 1 0 =

0.0838771,

Е9=

0.0916123.