Файл: Элементы математического моделирования в программных средах MATLAB 5 и Scilab (Андриевский Фрадков).pdf

о свойствах измерений, однако чтобы сделать выводы о достоверности и точности ММ, такие предположения нужны. Часто принимается следующая гипотеза: если представить модель измерений в виде

где <р = со1((^!, ...,<^п) ~ вектор погрешностей (невязок) ММ, то <Pi случайны, независимы, центрированы (M<pi = 0) и равноточны (имеют одинаковую дисперсию а2 = М<р2). Эти предположения традиционны для раздела теоретической и прикладной статистики, называемого регрессионным анализом (РА). При их выполнении МНК-оценки 0 обладают следующими свойствами:

1)МО = 0 (несмещенность);

2)cov(0) = а2 С, где cov(0) = М{в - 0)(0 - 0)т - ковариационная матрица оценок, в частности

3) МНК-оценки эффективны: для любой несмещенной оценки 0« выполняется неравенство М||0<, - в\\2 > М\\9 - 0||2;

4) если обозначить через У = Хв N-вектор прогноза выходных величин У по модели (4.26), а через R = ||У — У||2 =

=YliLiiVi ~~ Уг)2 ~ среднеквадратическую ошибку прогноза

дисперсии погрешности модели (4.26) можно брать в виде

После построения ММ (4.26) немедленно возникает вопрос о

ееточности. Этот вопрос имеет две стороны:

а) нельзя ли без существенной потери точности заменить

модель (4.26) более простой, т.е. упростить?

б) является ли модель (4.26) адекватной исходной системе, т.е. не следует ли ее усложнить?

Ответ в обоих случаях требует дополнительных предположений. В первом варианте будем считать, что модель (4.26) адекватна и выполнены предположения РА. Тогда можно поставить задачу о проверке гипотезы 0, = 0 равенства нулю

156

некоторого коэффициента ММ. На языке математической статистики это задача проверки значимости коэффициента 0,. В силу свойств 2), 3) МНК-оценок и при дополнительном условии нормальности <р (которое не кажется слишком обременительным на фоне остальных допущений) для проверки гипотезы 0,- = 0 можно пользоваться следующей процедурой.

1. По заданному уровню надежности р и числу наблюдений N из таблиц распределения Стьюдента (см., например,

по закону Стьюдента с N степенями свободы. Обычно берут

р= 0.9,0.95,0.99.

2.Определяются границы доверительного интервала для параметра 0; при уровне надежности р:

можно положить 0, = 0. В противном случае коэффициент 0; с надежностью р считается значимым, т.е. гипотеза 0, = 0 отвергается.

Отметим, что при N > 20...30 вместо таблиц и программ распределения Стьюдента можно использовать таблицы или программы нормального распределения и брать, в частно-

157

кета MATLAB имеется соответствующая функция flnv (см. п. D.6).

Возникает еще один практически важный вопрос: нельзя ли повысить точность и надежность результатов эксперимен-

(например, [1, 110]). Некоторые функции имеются в тулбоксе STATISTICS.

Ло сих пор мы придерживались мнения о стохастичности модели (4.26). Если же более оправдан детерминистский под-

то точность оценивания, как, впрочем, и сами оценки, можно

j = i

Минимаксный подход, хотя и требует более сложных вычислений (решения задачи линейного программирования или минимизации негладкой функции [80]), дает гарантированный результат при любом числе наблюдений N.

Во всех случаях выбор подхода, числа учитываемых параметров ММ, плана эксперимента является неформальным актом, основанным на опыте и интуиции исследователя. Здесь оказывается полезным следующий "принцип надежности": "чем проще модель, тем реже она обманет", или "чем лучше модель объясняет прошлое, тем хуже она прогнозирует будущее". В иной форме эту же мысль выразил Р. Акофф: "Степень понимания явления обратно пропорциональна числу переменных в его описании". Практически часто применяют следующее правило: число независимых наблюдений должно быть в 3-5 раз больше числа параметров модели. Наконец,

158

не следует забывать принцип "равнопрочности", который настойчиво пропагандировал знаменитый российский математик, механик и кораблестроитель А.Н. Крылов: "Точность результатов не может быть выше точности исходных данных; точности промежуточных вычислений должны быть согласованы".

4.3.Адаптивные модели и рекуррентные методы

Если наблюдений при построении ММ оказывается много и они поступают последовательно во времени, то часто оказывается удобным обрабатывать их по мере поступления. Иногда такой способ обработки единственно возможный, например, когда исходные данные из-за большого объема не помещаются в памяти компютера или когда свойства системы меняются во времени ("дрейфуют") и параметры ММ требуют постоянной коррекции. Модели, которые изменяются (подстраиваются, адаптируются) в процессе наблюдений за системой, называются адаптивными. Соответственно методы оценивания параметров таких моделей путем коррекции

159

рять условиям Роббинса-Монро:

оооо

i=l к=1

П р и м е р 4.3.2. Можно показать, что МНК-оценки параметров ММ (4.1) удовлетворяют рекуррентным соотношениям

Гь = Тк > 0 - симметричная, положительно определенная пхп -

лишь при определенном выборе начальной матрицы Г0. Однако если к —• оо, то оценки, получаемые из (4.35), приближаются к МНК-оценкам при произвольных начальных условиях 0О, Г0. Практически часто берут Г0 = 7I, где I - единичная матрица, 7 > 0 - достаточно большое число.

Если (4.36) не учитывать, а брать Г* = 7*1? где 7* > О удовлетворяют условиям Роббинса-Монро, то получим обобщенный (многомерный) алгоритм стохастической аппроксимации:

и получается из (4.38) при выборе целевой функции текущей

160