Файл: Элементы математического моделирования в программных средах MATLAB 5 и Scilab (Андриевский Фрадков).pdf

значения параметров Мо,МХур}q известны .

В соответствии с вышеизложенным, приемник описывается

где с0,с! - настраиваемые параметры. Алгоритм адаптации (6.36), (6.37) принимает вид

ки параметров сходятся достаточно быстро, во всяком случае быстрее, чем происходят изменения параметров передатчика, то сообщение будет принято приемником.

194

Передаточная функция линейной части системы имеет вид

гурвицев многочлен 2-й степени для всех q > 0 и всех вещественных р, то условие гиперминимально-фазовости выполняется при q > 0 и любых р, М0, Таким образом, обеспечивается ограниченность всех траекторий приемника x(t) и сходимость ошибки наблюдения e(t) —• 0. В частности, y<i{t) — X\(t) —• 0. Далее, для того чтобы иметь возможность восстановить сигнал s(t)} приемник должен обеспечить сходимость Ci(£) — s —• 0 для каждой постоянной s. Согласно

п.6.2.1, это имеет место при выполнении условия ПВ, которое

вданном случае записывается как

Для некоторых Т > 0, а > 0 и всех to > 0. Лля проверки (6.44) заметим, что условие (6.44) по существу означает, что траектория передатчика x<i(t) не сходится на плоскость xdi = 0 при t —* оо. Интуитивно ясно, что это верно, если система (6.39) обладает хаотическим поведением.

195

6.2.3.Результаты вычислительных экспериментов

Приведем результаты моделирования описанной выше сис-

система (6.39) обладает стохастическим хаотическим аттрактором (рис. 6.3, см. также стр. 127). Начальное состояние передатчика Xrf(O) = [0.3,0.3,0.3] . Начальное состояние приемника х0 и начальные значения настраиваемых параметров с0(0), Ci(0) приняты нулевыми. Для устранения влияния начальных условий никакое сообщение не передавалось в течение первых 20 единиц времени ("настройка", или "калибровка", приемника), т.е. принято s(t) = 1 для 0 < t < 20.

После периода настройки передается сообщение, имеющее вид "прямоугольной волны":

(6.45)

где s0 = 1 005, 52 = 0.005.

5-модель приемника (6.40), (6.41) представлена на рис. 6.4.

совпадает с переданным сигналом yd{t) с высокой точностью. Вычислительный эксперимент не только качественно согласуется с теоретическим анализом, но и дает дополнительную количественную информацию о скорости достижения цели. Однако для практики этого мало: требуется добиться работоспособности алгоритма синхронизации в условиях шумов. На рис. 6.5, 6 показана реализация сигнала на выходе приемника при действии в канале связи аддитивного случайного возмущения в виде дискретного белого шума с интерва-

лом дискретности 0.01 и параметром а = 10~4.

Видно, что погрешность оценивания сигнала велика и не дает возможности осуществлять надежный прием сообщений. Для уменьшения влияния возмущений выходной сигнал приемника пропустим через НЧ-фильтр первого порядка с постоянной времени 0.3. Как видно из рис. 6.5, 5, точность системы существенно повышается. На рис. 6.5 через s(t) обозначен параметр передатчика; s(t) - его оценка, полученная по (6.40),

196

Рис. 6.5. Идентификация параметра источника сообщения при: а = 0 (а), а = 10"4 (£).

197

Ивсе-таки я, рискуя прослыть Шутом, дураком, паяцем,

Иночью и днем твержу об одном: Не надо, люди, бояться!

Не бойтесь сумы, не бойтесь тюрьмы, Не бойтесь мора и глада, А бойтесь единственно только того,

Кто скажет: "Я знаю, как надо!"

Александр Галич

ЗА К Л Ю Ч Е Н И Е . МАТЕМАТИЧЕСКОЕ

МО Д Е Л И Р О В А Н И Е - ВЧЕРА, СЕГОДНЯ,

ЗА В Т Р А

Когда-то считалось, что явление изучено, если построена его математическая модель. Понадобился гений Р. Лекарта

иопределенный уровень развития науки, чтобы сформулировать новый принцип: для каждого явления возможны несколько моделей: вопрос в том, какая из них самая точная. Сегодня мы начинаем понимать, что, как правило, нельзя сказать: одна модель лучше, чем другая. Лаже в рамках одного

итого же исследования могут одновременно использоваться несколько моделей сообразно с целями исследования и доступными вычислительными средствами.

Заметим, что многие из приведенных в книге понятий и подходов (например, само определение системы) родились в кибернетике и теории автоматического управления и несут отпечаток своего происхождения. Тем не менее они носят универсальный характер и полезны в задачах, где управление отсутствует. Впрочем, граница между задачами с управлением и без оного в математическом моделировании является "нечеткой". Например, при проектировании математическая модель используется для так называемого предварительного синтеза: структура и параметры модели и решения выбираются, когда реальной системы еще не существует. Напротив, в задачах управления синтез решения (выбор управляющего воздействия) осуществляется в процессе работы системы на основе текущей информации о ее поведении (так называемый совмещенный, или управляемый, синтез). Однако это означает просто, что управляемый синтез решения требует больше текущей, но меньше априорной информации, предоставляя новые возможности исследователю,

199

проектировщику или конструктору системы. Таким образом, разница между системами "с управлением" и "без управления" не носит качественного характера. Это видно и из формального определения системы (см. п. 1.2 ): система со входом превращается в систему без входа, если множество возможных значений входа является одноэлементным.

На протяжении книги мы рассматривали и исследовали различные математические модели, в том числе динамические модели, отражающие наличие памяти в системе. Подавляющее большинство динамических моделей относится к двум большим классам: модели состояния и модели "входвыход". Исторически модели состояния стали изучаться гораздо раньше, начиная с первых моделей небесной механики (закон всемирного тяготения), появившихся еще в XVII в. Целый ряд их свойств для механических систем был изучен еще Ж. Лагранжем, а систематические и достаточно общие теории были развиты на рубеже XIX - XX веков в трудах А.М.Ляпунова, А.Пуанкаре, Лж.Биркгофа и др. Интересно, что во многих исследованиях по механике и физике входные переменные вообще не упоминались. Это было связано с тем, что систематически не рассматривались задачи, требующие активного и целенаправленного воздействия на систему в реальном времени, т.е. задачи управления.

Необходимость решения достаточно сложных задач управления и развитие теории электрических цепей привели в 40-х годах XX в. Г.Воде, Г.Найквиста и других ученых к созданию линейной теории управления на языке "вход-выход", которая была позже названа "классической" и в свою очередь привела к росту популярности моделей "вход-выход" в кибернетике и общей теории систем. После получения Р.Калманом фундаментальных результатов по теории линейных систем в пространстве состояний поток исследователей теории систем и теории управления разделился: часть продолжала работать на языке переходных и передаточных функций, другая - стала изучать модели состояния. К концу XX в. эти направления в значительной степени слились и теория управления, по существу, стала "двуязычной", обогатив технику прочным фундаментом для решения задач проектирования технических систем со встроенными управляющими устройствами.

200

Традиции математического моделирования в физике и механике, однако, до последних лет практически игнорировали модели с входом и выходом, несмотря на бурное развитие теории открытых систем. Положение изменилось в начале 90-х годов с появлением работ по управлению хаосом (см. п. 3.8.4), привлекших внимание физиков к возможности изменения свойств систем путем слабых воздействий в виде обратной связи. Исследования в этой области в настоящее время активно развиваются [108] и, возможно, приведут к возникновению нового раздела физики - кибернетической физики.

За последние годы появился целый ряд книг по математическому моделированию, написанных специалистами в различных областях знаний: прикладной математике [90, 13], по автоматизированному проектированию [72, 97], кибернетике и теории управления [68, 74]» Хотя отдельные вопросы трактуются в них по-разному, в целом они подтверждают, что математическое моделирование уже сформировалось как самостоятельная научная дисциплина.

Современное понимание места и роли математического моделирования в научном и инженерном исследовании сложилось под влиянием бурного развития вычислительной техники, а его эволюция тесно связана с эволюцией программного обеспечения. Программы, реализующие отдельные модели и методы, подвергаются обобщению и интегрируются в пакеты прикладных программ и программные среды, поддерживающие все этапы математического моделирования: построение математической модели, исследование (анализ) и использование (синтез). Помочь читателю в овладении навыками решения задач математического моделирования на базе современных программных средств и составляет главную задачу этой книги.

Подводя итог, перечислим некоторые упоминавшиеся в книге полезные советы, которые можно назвать "заповедями" математического моделирования.

1.Не решай сложную задачу, не решив простую (принцип простоты).

2.Без ошибки нет модели, а потому негрубые модели - плохие (принцип А.А. Андронова).

3.Можно пренебрегать чем угодно, нужно только точно знать, как это повлияет на результат (принцип Э.Хемингуэя).

201