Файл: Физика Программа, методические указания и задачи для студентов заочников (с примерами решения) (А.А.Кулиш).pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 05.04.2024
Просмотров: 286
Скачиваний: 0
ЗАДАЧИ
МЕХАНИКА
Кинематика
Примеры решения задач
Радиус-вектор частицы изменяется со временем по закону
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r atex bt2ey , где a и b – положительные постоянные. Найти: |
|
||||||||||
|
а) скорость V и ускорение |
|
W , а также их модули; |
|
|||||||
|
б) зависимость от времени угла α между векторами V и W ; |
||||||||||
|
в) уравнение траектории частицы y(x). |
|
|
||||||||
Дано: |
|
Решение: |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
а) |
Как |
|
известно, для |
определения |
скорости |
|||
r atex |
bt2ey |
|
|||||||||
a 0,b 0 |
частицы необходимо взять первую производную по |
||||||||||
времени от ее радиус-вектора. Поэтому |
|
||||||||||
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
dr |
|
|
|
|
|
|
а) V,W,V,W ? |
|
|
|
|
|||||||
V |
|
|
|
aex |
2btey . |
|
(1) |
||||
dt |
|
|
|||||||||
б) (t) ? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Для |
|
|
определения |
ускорения |
частицы |
||||||
в) |
|
|
|
|
|||||||
y(x) ? |
необходимо взять второю производную по времени от |
||||||||||
|
|
|
ее радиусвектора. Поэтому |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
d 2 r |
|
|
|
|
|
|
|
|
W |
|
|
2bey . |
|
(2) |
|||
|
|
|
|
dt2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из выражения (1) модуль скорости определяется по известным компонентам вектора скорости: Vx = a; Vy = – 2bt, Vz = 0.
Отсюда V Vx2 Vy2 Vz2 a2 4b2t2 .
Из выражения (2) модуль ускорения определяется по известным компонентам вектора ускорения: Wx = 0, Wy = – 2b, Wz = 0.
Отсюда |
W |
Wy |
2b . |
б) Для |
определения зависимости от времени угла α(t) между |
||
векторами |
V и |
W |
выразим |
|
скалярное произведение этих |
векторов |
|
двояким образом: |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 4b2t2 ) 2b cos (t). |
(3) |
||||
V W V W cos (t) ( |
|||||||
V W Vx |
Wx |
Vy Wy Vz |
Wz ( 2bt) ( 2b) 4b2t . |
(4) |
|||
Из выражений (3) и (4) для зависимости α(t) получим
2bt
(t) arccos
a2 4b2t2
в) Из выражения для радиус-вектора следует: x(t) = at (1),
y(t) = – bt2 |
(2), z = 0 |
(3). |
|
|
|
|
||||||||
Отсюда, исключая время t из выражений (1) и (2), получим |
||||||||||||||
уравнение траектории частицы: y |
b |
x2 |
в плоскости z = 0. |
|||||||||||
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
a2 4b2t2 , W 2b, |
|||||||||||
Ответ: V aex |
|
2btey , W 2bey , V |
||||||||||||
(t) arccos |
|
|
2bt |
|
|
, y |
b |
|
x2 . |
|
|
|||
|
|
|
|
|
a2 |
|
|
|||||||
a2 |
4b2t2 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2. Частица |
движется |
|
|
по окружности радиусом R 2 м, и путь |
||||||||||
изменяется со временем по закону S At3 , где A 2 м/сÂ. Найти: а) момент времени t0 , при котором нормальное ускорение Wn будет равно тангенциальному W ; б) полное ускорение в этот момент времени.
Дано:
R 2 м
S At3
A 2 м/сÂ
Wn W
a) t0 ?
б) W ?
Решение:
а)Выражения для нормального ускорения, тангенциального ускорения и полного ускорения имеют вид:
|
V 2 dS |
2 |
1 |
|
dV d 2 S |
|
|
|
|
. |
|||||||
|
|
|
2 |
|
2 |
||||||||||||
Wn |
|
|
|
|
|
|
|
|
, W |
|
|
|
, W |
Wn |
W |
|
|
R |
|
|
R |
|
dt2 |
|
|||||||||||
|
|
|
dt |
|
|
dt |
|
|
|
|
|
||||||
Из |
|
|
условия |
|
задачи |
получим |
уравнение |
||||||||||
относительно t0: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
dS 2 |
1 |
|
|
d 2 S |
или |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
R |
dt2 |
||||||||||
dt |
|
|
|
|
|
|||||||
имеем: t |
|
|
|
2 |
|
|
R 1/ 3 |
|||||
0 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
A |
||||
3At2 |
2 |
|
1 |
6At |
|
. Отсюда |
для t |
|
0 |
||||||
0 |
|
|
R |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,873с. |
|
|
|
|
|||
б) Для полного ускорения из условия задачи получим:
|
|
|
|
d2S 2 |
|
|
|
|
2 |
|
|||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
W |
2W |
|
|
2 |
|
|
|
|
2 6At |
0 |
14,8м/с |
. |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
dt |
2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: t0 = 0,873 с, W = 14,8м/сÃ.
3. Тело брошено с вышки в горизонтальном направлении со скоростью V0 = 30м/с. Найти значения следующих величин через две секунды
τ = 2с: а) скорости V, тангенциального ускорения Wτ, нормального
ускорения Wn; б) радиуса кривизны траектории R. |
|
|||
Дано: |
Решение: |
|
|
|
V0 = 30м/с |
Траектория |
движения |
тела показана на рисунке. |
|
τ = 2с |
Направление |
векторов |
|
через время τ |
V, Wn , W , g |
||||
|
также показано на рисунке. |
|
||
а) V, Wτ, Wn –? б) R –?
Введем систему координат XOY как показано на рисунке, чтобы учесть независимость движений тела по горизонтали и вертикали. Проекция вектора скорости на ось OX Vx остается всегда постоянной и равной V0. Проекция вектора скорости на ось OY Vy растет со временем по закону Vy = gt, так как вдоль оси OY тело движется равноускоренно с ускорением свободного падения g. Поэтому для модуля скорости тела получим:
|
|
|
|
|
|
V Vx2 |
|
Vy2 |
V02 g2t2 . |
(1) |
||||||||
|
|
Через две секунды значение модуля скорости будет равно: |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
35,8 м/с. |
(2) |
||||
V |
V02 g2 2 |
|||||||||||||||||
|
900 385 |
|||||||||||||||||
|
|
Для вычисления тангенциальной составляющей ускорения Wτ |
||||||||||||||||
воспользуемся формулой, полученной с учетом (1): |
|
|||||||||||||||||
W |
dV |
|
|
|
|
g2t |
|
. Следовательно, через две секунды значение |
Wτ |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
dt |
V02 g 2t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
будет W |
|
|
|
g2 |
|
|
|
|
(9,81)2 2 |
5,38м/сÃ. |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
V02 g 2 2 |
35,8 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Из рисунка к задаче видно, что нормальную составляющую ускорения Wn можно вычислить по теореме Пифагора, так как полное ускорение равно g .
Следовательно, имеем: Wn g2 W 2 (9,81)2 (5,38)2 8,2 м/сµ.
Радиус кривизны траектории в рассматриваемой точке движения
найдем из формулы Wn |
V 2 |
|
. Отсюда |
|
R |
V 2 |
|
|
(35,8)2 |
|
|
156 м. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
Wn |
8,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Ответ: V = 35,8 м/с; Wτ =5,38 м/сÃ; Wn =8,2 м/сÃ; R = 156 м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
ЗАДАЧИ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1.1. Компоненты скорости частицы изменяются со временем по |
||||||||||||||||||||||||||||||||
законам: Vx acos t , Vy asin t , |
VZ |
0 , где а и – константы. Найти |
||||||||||||||||||||||||||||||
модули скорости |V | и ускорения |
|
W |
|
, а также угол между векторами |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
V и W . По какой траектории движется частица? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(|V |= а, |
= а , = /2 ). |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W |
|||||||||||||||||||||
1.2. Зависимость координат движения частицы от времени имеет |
||||||||||||||||||||||||||||||||
вид x acos t , y asin t , z=0, где а и – константы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
а) определить радиус-вектор |
r , скорость |
V |
|
|
и ускорение |
|
W |
|||||||||||||||||||||||||
частицы, а также их модули; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
б) найти уравнение траектории частицы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
( r =a(cos te |
X |
|
+ sin te ); |
|
|
=a; |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
V =a (-sin teX |
|
+cos teY ); |
|
V |
|
=a ; |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
W = -a 2 |
(cos te |
X |
+sin te |
). |
|
W |
|
=a 2; |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2/a2 + y2/a2=1).
1.3. Точка движется по окружности радиусом R=4 м. Закон ее движения выражается уравнением S=A+Bt2 , где А=8 м, В=–2 м/с2 . Определить момент времени t, когда нормальное ускорение Wn точки равно 9 м/с2. Найти модули скорости V, тангенциального W и полного W ускорений точки в тот же момент времени t.
(t=1,5 с, V= 6 м/с, W = 4м/с2, W=9,8м/с2).
1.4. Частица движется со скоростью |
V |
|
|
|
at(2ex |
3ey 4ez ) |
|||
(а=1м/с2). Найти:
а) модуль скорости частицы в момент времени t=1с;