Файл: Физика Программа, методические указания и задачи для студентов заочников (с примерами решения) (А.А.Кулиш).pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 05.04.2024

Просмотров: 292

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Примеры решения задач

6. Сила с компонентами (2, -1, 4), H приложена к точке с координатами (-3, 2, 1), м. Найти:

а) момент силы M относительно начала системы координат; б) модуль момента силы M;

в) проекцию Mz момента силы M на ось z.

 

 

Дано:

 

 

 

Решение:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,Н

По

определению

момент силы

относительно

F 2 ex

1 ey 4 ez

r 3 ex

2 ey 1 ez ,м

начала

системы

координат

–

векторное

 

 

 

 

произведение радиус-вектора r

и

силы F .

 

 

 

 

Следовательно

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а) M ?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б) M ?

 

 

 

 

 

 

ex

ey

e z

 

 

 

 

 

 

x y

z

 

в) M z ?

 

 

M

r F

(yFz zFy )ex

(zFx xFz )ey

 

 

 

 

 

Fx

Fy

Fz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(xFy yFx )ez

10 ex

14ey 1ez , Н∙м

 

 

 

 

(1)

z – компонента вектора M и есть проекция Mz момента силы на ось z . Следовательно Mz = –1, Н∙м. Модуль момента силы M получится

 

 

 

 

 

 

из выражения (1): M

M x2

M y2

M z2 100 196 1 17,2 , Н∙м.

 

 

 

, Н∙м; M = 17,2 Н∙м; Mz = –1Н∙м.

Ответ: M 10 ex

14ey

1ez

7. Во сколько раз уменьшится момент инерции однородного сплошного диска относительно оси, проходящей через его центр инерции (точка О) и перпендикулярной к плоскости диска, если сделать круглый дисковый вырез как показано на рисунке?

Решение:

Момент инерции величина аддитивная. Поэтому момент инерции I3

диска с вырезом относительно точки О равен разности момента инерции диска I1 ( ) относительно точки О и момента инерции малого диска I2 ( ) , соответствующего вырезанной части, также относительно точки О, т. е.:

I3 I1 ( ) I2 ( ) . В задаче необходимо найти

отношение

I1 ( )

.

 

 

 

I3

Обозначим массу диска через m, а радиус диска

через R. Тогда масса

вырезанной части m , а радиус R . Как известно, момент инерции диска

42

I1 ( ) относительно оси симметрии равен: I1

( )

mR2

. Для вычисления

 

 

 

 

 

 

2

 

 

момента

инерции

I2 ( ) используем

теорему

Штейнера:

I2 ( ) I2

( )

m R2

, где

I2 ( ) – момент

инерции

малого диска,

4 4

 

 

 

 

 

 

 

 

соответствующего вырезанной части, относительно оси симметрии этого

диска,

проходящей

через

 

точку

О′.

 

 

Окончательно:

I2 ( )

mR2

 

1

 

mR2

 

3

mR2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 4

 

4 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

32

 

 

 

I1 ( )

 

 

I1 ( )

 

 

 

 

Таким образом, искомое отношение

 

 

 

 

16

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I3

I1 ( ) I2 ( ) 13

Ответ:

момент

инерции

диска

после

сделанного выреза

уменьшается в 16 раз.

13

8. Тонкий однородный обруч массой m 2 кг и радиусом R 1м вращается вокруг оси симметрии, перпендикулярной к плоскости обруча, делая n0 = 120 об/мин. Под действием постоянной касательной к поверхности обруча силы Fт = 4Н обруч тормозится и останавливается. Определить время торможения tт и число оборотов Nт, которое сделает обруч от начала торможения до остановки.

Дано:

Решение:

 

 

 

 

 

m = 2 кг

Для вращающегося обруча, на который действует

R = 1м

тормозящий

 

момент

сил

MT FT R ,

уравнение

n0 = 120 об/мин

вращательного движения имеет вид:

 

Fт = 4Н

I

 

 

 

MT FT

R ,

 

(1)

 

 

 

 

где I – момент инерции обруча, ε – угловое

 

ускорение.

 

 

 

 

 

 

Момент инерции тонкого однородного обруча равен

а) tт –?

I = mR½. Угловое ускорение постоянно, так как

б) Nт –?

тормозящий

 

момент

сил не

изменяется.

 

Следовательно, угловая скорость ω связана с

 

угловым ускорением формулой:

 

 

0

 

 

 

t ,

 

 

(2)

 

 

 

 

 

 

 

 

где ω0 – начальная угловая скорость обруча. Знак минус в выражении (2) учитывает, что угловое ускорение отрицательно, т. е. вращение

равнозамедленное. Число оборотов N связано с углом поворота обруча φ и угловым ускорением соотношением:

 

 

0t

 

 

t2

 

N

 

 

 

 

 

.

(3)

 

 

 

 

2

2

2 2

 

Вконце времени торможения угловая скорость обруча равна нулю

ииз формул (1) и (2) получим:

 

 

 

0

 

2 n0

 

2 n0 mR

2 3,14 120 2 1

 

с.

tT

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6,28

 

 

 

 

 

 

 

 

 

60 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

FT

 

 

Для числа оборотов Nт за время торможения из выражения (3) следует:

 

 

 

 

tT2

2 (6,28)

2

12,56 об.

NT

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 2

2 2 3,14

Ответ: tт = 6,28 с; Nт = 12,56 об.

9. Небольшое тело массой m = 200г брошено по углом α = 60˚ к горизонту со скоростью V0 = 10 м/с. Выразить зависимость момента импульса тела L от времени в системе координат, изображенной на рисунке, относительно точки О. Определить модуль изменения момента

импульса L для положения тела в точке наивысшего подъема О΄ и

точке падения на землю А.

Дано:

Решение:

 

m = 200г

Введем правостороннюю систему координат OXYZ,

α = 60˚

как показано на рисунке. По определению момент

V0 = 10м/с

импульса

тела L относительно точки О равен

 

 

 

а) L (t) –?

б) L –?

L(t)

 

 

L

 

 

где

r – радиус-вектор тела,

p – импульс

 

 

r p ,

 

 

тела. С использованием единичных ортов ex, ey, ez

 

 

выражение момента импульса для тела, брошенного

 

 

под углом к горизонту, имеет вид:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ex

 

ey

ez

 

 

ex

ey

ez

 

 

 

(1)

x

 

y

z

 

 

x

y

0

 

 

 

 

 

m(xVy yVx )ez .

mVx

mVy

mVz

 

mVx

mVy

0

 

 

 

 

 

Как известно, движение тела брошенного под углом к горизонту –

это

“сумма” двух независимых движений:

равномерного

прямолинейного вдоль оси OX со скоростью Vx V0 cos

и движения с

ускорением g вдоль оси OY с начальной скоростью Vy0 V0

sin . Поэтому

выражение (1) принимает вид:

 

L(t) m V0 cos t(V0 sin gt) (V0

 

gt2

 

 

 

1

 

2

 

sin t

 

)V0 cos

ez

 

 

mV0

cos gt ez

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

кг∙мÃ/с.

0,5 0,2 10 0,5 9,81 t2ez

4,9t2ez

Время достижения телом точки А в два раза больше времени tп достижения телом точки наивысшего подъема О΄. Поэтому разность моментов импульсов в этих точках равна:

 

L L

 

L

4,9 4 t

 

 

 

4,9 t2

 

 

14,7 t

 

 

 

.

(2)

 

A

2

e

z

e

z

2

e

z

 

 

 

 

O

 

 

П

 

 

 

 

П

 

 

П

 

 

 

Время достижения точки наивысшего подъема О΄ определяется

 

 

0

sin

10 0,866

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

выражениемtП

 

 

 

 

 

 

0,883 с.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

g

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9,81

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Окончательно, для модуля изменения момента импульса из (2) и (3)

получим:

 

14,7(0,883)2 11,5 кг∙мÃ/с.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11,5кг∙мÃ/с.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ: L(t) 4,9t2ez кг∙мÃ/с;

 

L

 

 

 

 

 

 

ЗАДАЧИ

1.22 Сфера радиусом R=2,0 м равномерно вращается вокруг вертикальной оси симметрии, делая 30 об./мин. Внутри сферы находится шарик. Найти высоту h, соответствующую положению равновесия шарика. При какой наименьшей угловой скорости радиус вращения шарика будет 0,9 R? Шарик считать материальной точкой.

(h=1,0 м; =3,4 рад/с).

Смотрите также файлы