Файл: ПРАКТИКУМ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА.pdf

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Владимирский государственный университет

ПРАКТИКУМ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА»

Владимир 2007

1

УДК 531.1/4 ББК 22.21

П69

Авторы:

А. П. Шевченко, А. В. Крылов, Л. Ф. Метлина, А. О. Веселов

Рецензенты Доктор технических наук, профессор

Владимирского государственного университета

Л. М. Самсонов

Доктор технических наук, профессор Ковровской государственной технологической академии им. В.А. Дягтярева

А. И. Леонов

Печатается по решению редакционно-издательского совета Владимирского государственного университета

Шевченко, А. П.

П69 Практикум по дисциплине «Теоретическая механика» / А. П. Шевченко, А. В. Крылов, Л. Ф. Метлина, А. О. Веселов ; под ред. А. П. Шевченко ; Владим. гос. ун-т. – Владимир : Изд-во Вла-

дим. гос. ун-та, 2007. – 154 с. – ISBN 5-89368-702-7.

Содержат практические задания по выполнению курсовых, расчетнографических и контрольных работ по трем разделам теоретической механики.

Цель – научить студентов самостоятельно выполнять контрольные задания. В работе даны задания по основным темам: статика твердого тела, кинематика точки, сложное движение точки, кинематика плоского движения тела, дифференциальные уравнения движения материальной точки, основные теоремы динамики материальной системы, аналитическая механика.

Для каждого задания рассмотрены примеры. Очень коротко и ясно представлена теория, которую можно использовать и при подготовке к экзамену. По всем разделам даны контрольные вопросы.

Предназначены для студентов очной, заочной и дистанционной форм обучения машиностроительных, строительных, транспортных, приборостроительныхспециальностей.

Табл. 3. Ил. 36. Библиогр.: 5 назв.

УДК 531.1/4 ББК 22.21 ISBN 5-89368-702-7 © Владимирский государственный

университет, 2007

2

шественников, систематически изложил основные законы классической механики. С этого времени механика окончательно сформировалась как наука, которую часто называют механикой Галилея – Ньютона, или классической механикой. Последующее развитие механики связано с разработкой аналитических методов в трудах Л. Эйлера (1707 – 1783), Ж. Даламбера (1717 – 1783), Ж. Лагранжа (1736 – 1813). На развитие исследований по механике в России большое влияние оказали работы М. В. Остроградского

(1801 – 1862), П. Л. Чебышева (1821 – 1894), A. M. Ляпунова (1857 – 1918), И. В. Мещерского (1859 – 1935), Н. Е. Жуковского (1847 – 1921),

А. Н. Крылова (1863 – 1945), С. А. Чаплыгина (1869 – 1942) и других выдающихся ученых.

В классической механике рассматриваются материальные тела, размеры которых много больше межмолекулярных расстояний и которые движутся со скоростями, много меньшими скорости света.

Если объектами исследования механики являются любые реальные тела: деформируемые твердые тела, жидкие, газообразные и др., то в теоретической механике рассматриваются идеализированные материальные объекты такие, как материальная точка, система материальных точек, абсолютно твердое тело. Данные абстракции, которые, конечно, не существуют в природе, позволяют выявить наиболее общие законы механического движения и механического взаимодействия, справедливые для любых материальных тел независимо от их конкретных физических свойств. Наука об общих законах механического движения и механического взаимодействия материальных тел называется теоретической механикой. Таким образом, теоретическая механика – это раздел механики, составляющий основу общей механики, которая лежит в основе всех остальных технических дисциплин: сопротивления материалов, деталей машин, теории машин и механизмов, строительной механики, гидромеханики, газодинамики и т. д. Отсюда понятны роль и значение теоретической механики, позволяющей получить необходимые знания о природе посредством обобщенных методов построения математических моделей движений материальных объектов природы и техники. В теоретической механике движение материальных тел рассматривается в трехмерном евклидовом простран-

4

стве. Для изучения движения вводят так называемую систему отсчета, понимая под ней совокупность тела отсчета (т. е. тела, по отношению к которому изучается движение других тел) и связанных с ним систем координатных осей и часов. Принимается, что время не зависит от движения тел и одинаково во всех точках пространства и системах отсчета (абсолютное время). Поэтому, говоря о системе отсчета в теоретической механике, как правило, ограничиваются указанием только тела отсчета и системы координатных осей, связанных с ним. Тело находится в движении относительно выбранной системы отсчета, если с течением времени происходит изменение координат хотя бы одной его точки, в противном случае тело находится в покое по отношению к этой системе отсчета. Таким образом, движение и покой тела по сути дела понятия относительные, зависящие от выбора системы отсчета. Поэтому в задачу теоретической механики входит также изучение равновесия материальных тел. Под равновесием понимается состояние покоя тела по отношению к другим материальным телам (телам отсчета). Если движением тела отсчета, по отношению к которому изучается равновесие, можно пренебречь, то равновесие условно называется абсолютным. Часто при инженерных расчетах систему отсчета, связанную с Землей, можно условно принять за неподвижную. Возникающие при таком допущении ошибки, как правило, практического значения не имеют. В задачах, в которых нельзя пренебречь вращением Земли, за неподвижную систему отсчета можно принять гелиоцентрическую систему отсчета с началом в центре Солнечной системы и осями, направленными на одни и те же далекие «неподвижные» звезды. По характеру решаемых задач курс теоретической механики обычно делится на три части: статику, кинематику и динамику.

5

б) численной величиной или модулем силы; в) линией действия; г) направлением силы вдоль линии действия.

В системе СИ сила измеряется в Ньютонах. Сила через проекции её на координатные оси определяется следующим равенством

F = Fx i + Fy j + Fz k ,

где Fx , Fy , Fz – проекции силы на оси координат; i , j , k – орты этих осей.

Основные системы сил

1.Система сходящихся сил на плоскости и в пространстве.

2.Произвольная плоская система сил.

3.Произвольная пространственная система сил.

Аксиомы статики

Аксиома 1. Если на твердое тело не действуют никакие силы, то оно находится в покое или совершает равномерное прямолинейное движение. Такое движение тела называется движением по инерции. Под равновесием тела понимается не только состояние покоя, но и движение его по инерции.

Вращение тела вокруг неподвижной оси с постоянной угловой скоростью есть частный случай его равновесия.

Аксиома 2. Две силы, приложенные к твердому телу, взаимно уравновешиваются только в том случае, если их модули равны и они направлены по одной прямой в противоположные стороны. Такие силы называются уравновешивающимися.

Аксиома 3. Действие системы сил на твердое тело не изменится, если к ней присоединить или из нее исключить систему взаимно уравновешивающихся сил.

Системы сил называются эквивалентными, если одну из них можно заменить другой, не нарушая состояния твердого тела.

Равнодействующей называется сила, которая эквивалентна данной системе сил.

7

Аксиома 4. Равнодействующая двух пересекающихся сил приложена в точке их пересечения и определяется диагональю параллелограмма, построенного на этих силах как на сторонах (рис.1.1)

R = F1 + F2 .

Модуль равнодействующей силы определяется по формуле

R = F12 + F22 + 2F1F2cosφ ,

где φ – угол между силами F1 и F 2 . Аксиома 5. Два тела действуют

друг на друга с силами, равными по величине и направленными по одной прямой в противоположные стороны.

Аксиома 6. Равновесие нетвердого тела не нарушается при его затвердевании.

Все вышеперечисленные аксиомы справедливы для свободных тел, перемещения которых в пространстве ничем не ограничиваются. В практике большей частью встречаются несвободные тела, перемещение которых в каких-то направлениях чем-либо ограничиваются. Все то, что ограничивает перемещения тел, называется связями. Так, для лампочки, подвешенной на проводе, связью является провод, для книги, лежащей на столе, связью будет стол и т. п.

Действие связи на тело характеризуется силами, которые называются реакциями связей.

Все силы, действующие на твердое тело, разделяют на активные силы и реакции связей. При этом активными называют силы, которые не являются реакциями связей. Активные силы часто называют задаваемыми, т. к. они, как правило, задаются условиями задач.

Аксиома 7. Несвободное твердое тело можно рассматривать как свободное, если его мысленно освободить от связей, заменив их действие на тело соответствующими реакциями связей.

Плоская система сил. Связи и реакции

Если твердое тело соприкасается с другими телами, которые тем или иным образом ограничивают свободу его перемещения, то такие тела по

8

отношению к рассматриваемому называются связями, а само рассматриваемое тело называется несвободным. Действие связей на несвободные тела характеризуется силами, которые называются реакциями связей. Основные их виды представлены на рис. 1.2.

Нить, трос

Жесткая заделка

Рис. 1.2

9

Проекция сил на ось

Проекция вектора силы на ось – алгебраическая величина, равная произведению модуля силы на косинус угла между направлением силы и положительным направлением оси (рис. 1.3).

Рис.1.3

Fx = ab =AB1 = Fcosα .

1.Проекция положительна, если 0 ≤ α < 90 °.

2.Проекция отрицательна, если 90 °< α ≤ 180 °.

3.Проекция равна нулю, если α = 90 °.

Момент силы относительно точки

круг точки 0 против хода часовой стрелки, то момент силы положительный, если же по ходу часовой стрелки, то момент силы отрицательный.

10