ВУЗ: Новосибирский государственный технический университет
Категория: Учебное пособие
Дисциплина: Основы теории управления
Добавлен: 15.02.2019
Просмотров: 1154
Скачиваний: 11
Сущность метода заключается в поочередном изменении каждой из координат
и поочередном
движении составляющих
, пока не будет достигнута экстремальная точка по выбранному
параметру
.
y
i
grad
y
i
Алгоритм сводится к следующему (рис.205): В начальной точке траектории определяется
grad
dJ
dy
1
при постоянных значениях других координат
y
const i
i
=
=
(
, , ,...)
2 3 4
. В момент, когда
grad
dJ
dy
1
=0, определяется
grad
dJ
dy
2
при
y
const i
i
=
=
(
, , ,...)
1 3 4
и т.д. по всем параметрам.
y
Процесс поиска экстремума заканчивается, когда
gradJ
= 0
.
J =const
1
J
2
J
3
J
4
2
y
1
Рис.205
1
3
2
4
Метод удобен тем, что поиск функции нескольких
переменных сводится к последовательному нахождению
экстремума этой функции от каждой из переменных.
Поэтому данный метод еще проще метода наискорейшего
спуска, однако движение к экстремуму осуществляется
далеко не кротчайшим путем.
4. Метод случайного (слепого) поиска
Суть метода заключается в том, что экстремум функции нескольких переменных находится путем
случайного изменения координат
.
y
i
Алгоритм: Из начальной точки делается случайный шаг, приданием одной координате случайного
приращения и определяется приращение
J
. Если
∆
J
< 0
, то производится возврат в исходную точку
(при поиске максимального
J
) и делается новый случайный шаг. Так продолжается до тех пор, пока не
будет получено
∆
J
> 0
. В этом случае система переводится в новую точку и из неё производятся новые
случайные шаги, как из исходной точки.
Кроме названного аппарата поиска используется ещё метод статистического градиента, при
котором совершив несколько пробных случайных шагов из начальной точки, и найдя для каждого шага
приращение
∆
J
, определяется направление наиболее интенсивного изменения
J
. В этом направлении
делается рабочий шаг.
Если в найденном направлении делается не один шаг, а движение продолжается до тех пор, пока
приращение
∆
J
не изменит знака, то такой метод называется методом наискорейшего спуска.
Следует отметить, что при числе координат
, случайный поиск по скорости достижения
экстремума превосходит перечисленные выше детерминированные методы. Вторым достоинством
метода случайного поиска является пригодность его при наличии нескольких экстремумов, из которых
необходимо найти глобальный, например максимум, а также при наличии особых точек, в которых
. В названных случаях детерминированные методы поиска непригодны, т.к. поиск может
закончиться либо на локальном максимуме, либо в особой точке.
y
i
i
, (
)
> 3
gradJ
= 0
В настоящее время применяется комбинация нескольких перечисленных выше методов. Так,
например, вдали от точки экстремума используют один метод, обеспечивающий скорейшее попадание в
район экстремума, а затем переходят к другому методу. Например, комбинируют метод наискорейшего
спуска и метод градиента. При нахождении глобального экстремума часто комбинируют слепой поиск с
методом градиента, и т.п.
В заключение отметим, что рассмотренные методы применимы, если
J
является функцией
настроечных параметров
, а не функционалом. В случае, если
y
i
J
является функционалом, описанные
методы поиска экстремума не применимы, тогда необходимо использовать уже известные методы
нахождения экстремума функционалов: вариационное исчисление, динамическое программирование,
принцип максимума Понтрягина.
145
Методы определения производных
J
Для поиска экстремума функции
требуется, как мы видели, знать частные
производные
J
J y y
y
n
= ( , ,..., )
1
2
∂
∂
J
y
i
по настроечным параметрам
y i
n
i
(
, )
= 1
. Их можно находить:
1. последовательно, т.е. путем временнóго разделения каналов измерения отдельных производных;
2. параллельно, т.е. частотным разделением этих каналов.
1. Метод синхронного детектирования
Названный метод основан на частотном разделении каналов определения
∂
∂
J
y
i
.
Поисковые сигналы
, создающие отклонения
, могут быть как детерминированными, так и
случайными (рис.206).
y
iП
y
i
y
A
t
П
1
1
1
=
sin
ω
Вычислитель
J
Рис.206
Ф
2
y
A
t
П
2
2
2
=
sin
ω
y
A
t
nП
n
n
=
sin
ω
×
∂
∂
J
y
2
Ф
1
×
∂
∂
J
y
1
Ф
n
×
∂
∂
J
y
n
Детерминированные поисковые сигналы есть гармонические колебания разных частот и достаточно
малых амплитуд
y
A
iП
i
i
=
sin
t
ω
.
(1)
A
i
– выбирается достаточно малыми, чтобы незначительно нарушать режим работы основной САУ.
Эти поисковые сигналы создают колебания настроечных параметров
относительно их исходных
значений
, т.е.
y
i
y
i
0
y
y
y
i
i
=
iП
+
0
.
(2)
Схема состоит из вычислителя
J
и каналов определения частных производных
∂
∂
J
y
i
, состоящих из
множительного устройства и фильтра нижних частот Ф
i
. Блок произведения выполняет умножение
величины
J
на соответствующий поисковый сигнал
, подаваемый одновременно на УУ основной
САУ.
y
iП
Фильтры Ф
i
осуществляют усреднение полученного результата во времени.
Покажем, что выходные величины синхронных детекторов будут пропорциональны частным
производным
∂
∂
J
y
i
.
Разложим для этого функцию
в ряд Тейлора по малым приращениям
J y y
y
n
( ,
,...,
)
1
2
∆
y
i
,
ограничиваясь только первыми членами ряда
J y y
y
J y
y
y
J
y
y
n
n
i
i
i
n
( ,
,...,
)
(
,
,...,
)
1
2
0
10
20
0
1
=
+
=
∑
∂
∂
∆
,
(3)
146
где
∆
y
A
i
i
=
sin
t
i
ω
.
На выходе
k
-го множительного устройства получаем величину, равную произведению
J y y
y A
t
n
k
k
( ,
,...,
)
sin
1
2
ω
, тогда с учетом (3) будем иметь
J A
t
J
y
A A
t
t
k
k
i
i
k
i
k
i
n
0
1
sin
sin
sin
ω
∂
∂
ω
ω
+
⋅
=
∑
.
(4)
Эта величина (4) в синхронном детекторе усредняется по времени, причем она включает
составляющую с
sin
ω
k
t
и
составляющих, содержащих произведение синусоид
n
sin
sin
ω
ω
i
k
t
t
⋅
.
Отметим, что средние значения указанных составляющих при
i k
≠
равняются нулю. При
i
k
=
, т.к.
sin
2
1
2
1
2
ω
k
t
= − cos 2
ω
k
t
, среднее значение отлично от нуля и равно
1
2
. Следовательно, на выходе
k
-
го канала синхронного детектора в первом приближении сигнал равен
1
2
2
A
J
y
k
k
∂
∂
, т.е. пропорционален
производной
∂
∂
J
y
k
.
Следует отметить, что в качестве поисковых сигналов можно применять и другие сигналы с одним
только условием, чтобы их средние значения и их произведения друг с другом были достаточно близки
нулю. Таким образом в качестве поисковых сигналов можно использовать и независимые
(некоррелированные) стационарные случайные поисковые сигналы.
2. Метод производной по времени
Этот метод дает поочередное определение частных производных
∂
∂
J
y
i
.
Суть метода заключается в применении производной от
J
по времени. Если все настроечные
параметры, кроме одного, неизменны, то частную производную по этому параметру можно представить
∂
∂
J
y
dJ
dt
i
=
:
dy
dt
i
(5)
Из (5) видно, что если изменять
настроечный параметр с известной постоянной скоростью
y
i
dy
dt
const
i
=
, то
dJ
dt
, вызванная изменением настроечного параметра будет мерой изменения искомой
частной производной
∂
∂
J
y
i
.
Приведем один из вариантов схемы определения
∂
∂
J
y
i
, с применением производной по времени
(рис.207).
Генератор поискового сигнала Г
П
выдает импульсы треугольной формы, которые через
распределитель P
1
подаются поочередно в цепи управления отдельными настроечными параметрами (на
рис.207 приведена временная эпюра в случае трёх каналов настройки). Благодаря треугольной форме
импульсов настроечные параметры изменяются с постоянной скоростью сначала в одну, а затем в
другую сторону.
t
t
t
y
2П
y
1П
y
3П
147
d
dt
d
dt
dJ
dt
Рис.207
:
∂
∂
J
y
2
:
∂
∂
J
y
1
:
∂
∂
J
y
n
Вычислитель
J
J
y
2
d
dt
y
1
d
dt
y
n
P
2
Г
П
P
1
y
1П
y
2П
y
nП
y
П
t
Распределитель P
2
работает синхронно с P
1
и передает производную
dJ
dt
на вход того делительного
устройства, на который поступает производная
dy
dt
i
того подстроечного параметра
, который в
данный момент изменяется треугольным импульсом.
y
i
Недостатки: 1. Время настройки пропорционально числу настроечных параметров
;
y
i
2. Низкая помехозащищенность, т.к. применяются дифференцирующие устройства,
которые чувствительны к высокочастотным помехам.
3. Метод конечных приращений (шагов)
Этот метод также дает поочередное определение частных производных в виде отношения конечных
приращений, т.е.
∂
∂
J
y
J
y
i
i
i
≈
∆
∆
.
(6)
Каждому настроечному параметру
поочередно дается малое конечное приращение
y
i
∆
y
i
,
определяется вызванное им приращение
∆
i
J
и согласно (6) находится их отношение.
Этот метод получил наибольшее распространение в случае инерционных ОУ, когда остальные
рассмотренные методы дают большую амплитуду колебаний относительно экстремума.
О задачах и методах исследования и расчета
самонастраивающихся САУ
Для исследования и расчета самонастраивающихся САУ могут быть использованы все инженерные
методы ТАУ. Однако их применимость, из-за наличия контура самонастройки, естественно ограничена.
Одной из основных особенностей самонастраивающихся САУ является то, что они описываются
дифференциальными уравнениями с переменными во времени коэффициентами. Следовательно,
самонастраивающиеся САУ в общем случае являются нестационарными системами.
Кроме того, нелинейность экстремального звена, как правило, является несимметричной.
Итак, для расчета могут быть использованы следующие методы расчета:
1. Гармонической линеаризации;
2. Фазового пространства;
3. Графо-аналитические;
4. Статистические;
5. Линейной теории;
6. Математического моделирования и др.
148
Основными этапами, выполняемыми при расчете и исследовании самонастраивающихся систем,
являются:
1. Обоснование необходимости применения самонастройки;
2. Расчет процесса самонастройки;
3. Обеспечение устойчивости;
4. Расчет выхода на экстремум;
5. Обеспечение устойчивости в области экстремума;
6. Определение показателей качества динамики самонастраивающейся системы и др.
Итак,
1. Обоснование самонастройки
может быть осуществлено аналитически, экспериментально либо
на основании физических соображений. Основными условиями при этом считаются экономическая
эффективность, достигаемый за счет применения самонастройки, либо невозможность создания системы
с постоянными параметрами для обеспечения требуемой точности управления, заданного запаса
устойчивости и качества переходного процесса.
Допустим имеем САУ вида (рис.208):
k
T p
p
p
+ 1
рис. 208
[
]
k t
T t p
p
0
0
2
( )
( )
+
g
ε
x
k t T t
0
0
( ),
( )
– коэффициент усиления и постоянная времени ОУ, изменяющиеся в результате
изменения внешних условий.
Характеристическое уравнение САУ
[
]
{
T T t p
T
T t p
p k k t
p
a
p
a
a
p
a
0
3
0
2
0
0
1
2
3
1
0
( )
( )
( )
1 2 3
1
2
4
3
4
1 2
4
3
4
+
+
+
+
=
.
(1)
По критерию Гурвица условие устойчивости имеет вид:
k k t
T t
T
p
p
0
0
1
1
( )
( )
≤
+
.
(2)
Если известно, что
=0,01сек, а
=0,2сек, то максимально допустимое значение
коэффициента усиления из условия (2)
T
p
T
0.max
k
k k t
p
max
( )
,
,
=
=
+
=
0
1
0 01
1
0 2
105
.
(3)
Если известно, что диапазон изменения
k t
0
1 10
( )
= ÷
, тогда из выражения (3)
k
p
=
÷
105 10 5
,
.
Таким образом, для того, чтобы САУ была устойчива необходимо при изменении свойств ОУ изменять
коэффициент усиления УУ в диапазоне
105 10 5
÷ ,
.
Методы расчета самонастраивающихся САУ
Методы расчета самонастраивающихся систем (СНС) должны прежде всего учитывать
изменяемость параметров во времени.
Часто удается свести системы с переменными параметрами к классу квазистационарных систем, т.е.
к САУ с медленно изменяющимися параметрами (САУ у которых коэффициенты дифференциального
уравнения изменяются несущественно за время переходного процесса
x t
( )
) (рис.209).
149