Файл: Лекции Механика для студентов Физика.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 15.04.2024

Просмотров: 837

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Оно полностью аналогично уравнению (6) с релятивистской массой

M =

 

M ′

 

 

 

 

 

1 -

v2

 

 

 

 

c2

 

 

 

 

 

. Однако в (15) разность u − v не равна скорости истечения

газов относительно ракеты, потому что в релятивистском случае для

сложения скоростей надо использовать формулу u¢x = ux - v .

1 - ux v c2

.

Зависимость конечной массы от скорости.

Для получения в релятивистском случае формулы, аналогичной формуле Циолковского, необходимо решить уравнение (15). Будем считать, что ускорение происходит в положительном направлении оси X, тогда уравнение (15) приобретает вид:

 

 

 

 

 

 

 

æ

 

 

 

 

ö

 

 

M ¢

 

 

dv

 

ç

 

M ¢

 

÷

 

 

 

 

= (ux - v)×

d ç

 

 

÷

(16)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v2

 

dt

dt ç

 

 

v2

÷

 

 

 

 

 

 

 

1-

 

 

 

 

 

ç

1-

 

 

÷

 

c

2

 

 

 

ç

c

2

÷

 

 

 

 

 

 

 

è

 

 

 

ø

 

По формуле сложения скоростей для скорости выбрасываемых газов относительно ракеты имеем:

u¢x =

ux

- v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 -

ux v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Далее учтем, что:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

æ

 

 

 

 

 

 

 

 

ö

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

ç

 

 

M ¢

 

 

÷

 

1

 

 

 

 

dM ¢

 

M ¢

 

v

 

 

 

 

 

dv

 

ç

 

 

 

 

÷

=

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

ç

 

 

 

 

 

 

 

 

 

÷

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt ç

 

 

 

 

 

v2

÷

 

 

 

v2

 

 

dt

 

c

æ

 

 

v

2

ö

 

 

 

dt

 

1 -

 

 

1 -

 

 

 

 

 

2

 

 

ç

 

 

 

 

÷

 

 

 

 

 

 

 

 

ç

-

 

 

÷

 

 

 

 

 

 

 

c

2

 

 

c

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

è

 

 

 

 

 

 

 

ø

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ç1

 

c

÷

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

è

 

 

 

ø

 

 

 

 

(17)

(18)

После подстановки (18) в правую часть (16) и простых преобразований получаем:

 

M

¢

æ

 

vu

ö

dv

= (ux

- v)

dM

¢

 

 

 

 

 

 

(19)

 

 

 

ç1

-

 

x

÷

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v2

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

1 -

è

 

c2 ø dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теперь, заменив величину ux - v по формуле (17) через скорость u′x , по-

лучим после

сокращения

на общий множитель

æ

-

vu

x

ö

релятивистское

ç1

 

÷

c2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

è

 

ø

 

уравнение движения в следующем простом виде:

 

dv

æ

 

v

2

ö

dM

¢

(20)

M ¢

= ç1

-

 

÷u¢x

 

 

 

2

 

 

 

dt

ç

 

c

÷

dt

 

 

 

è

 

 

ø

 

 

Примем во внимание, что для ускорения ракеты скорость выброса газов должна быть направлена против скорости движения ракеты, т. е.

95

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

u′x = -u′ , где и' – модуль этой скорости. Теперь можно переписать (20) в аналогичном уравнению (10) виде:

dM ′

= -

1 dv

(21)

 

 

 

 

 

M ¢

u¢ 1 -

v2

 

 

 

 

c2

 

 

 

 

 

 

 

Пусть в начальный момент масса ракеты была M o′ , а скорость – vo . Как и в (10), проинтегрируем левую и правую части этого равенства в соот-

ветствующих пределах.

Интеграл в правой части по v с учетом того, что:

 

 

 

 

 

 

 

æ

 

 

 

 

 

 

 

 

ö

 

1

 

 

 

1

ç

 

 

1

 

 

 

 

1

÷

 

 

 

=

ç

 

 

 

 

+

 

 

÷

,

 

 

 

2

 

 

 

 

 

v

 

 

 

 

1 -

v

 

2

ç

1

-

1

+

v ÷

 

 

ç

 

 

÷

 

 

c

 

 

c2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

è

 

 

 

 

 

 

 

c ø

 

является элементарным. В результате интегрирования получим:

ln M ¢ - ln M o¢

 

c

ì

æ

 

v ö

æ

 

= -

 

ílnç1

+

 

÷

- lnç1

-

 

 

 

 

2u¢ î

è

 

c ø

è

 

 

 

 

v

 

ì

1 +

 

v

1 +

vo ü

v öü

= -

c ï

 

c

- ln

c

ï

 

÷

ý

 

 

ln

 

 

 

 

 

 

ý

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

í

 

 

 

v

 

 

 

vo

 

 

c øþ

v

 

2u¢ ï

1 -

 

1 -

ï

 

 

 

 

o

ï

 

c

c

ï

 

 

 

 

 

î

 

 

 

 

 

 

þ

Отсюда следует, что:

ln M ¢ M o¢

 

 

 

æ

+

 

v öæ

-

vo ö

 

 

 

 

ç1

 

 

 

֍1

 

÷

 

 

 

 

 

 

 

 

= -

c

ln

è

 

 

c øè

 

c

ø

,

2u¢

æ

-

 

v öæ

+

vo ö

 

 

 

 

 

 

 

ç1

 

 

֍1

 

÷

 

 

 

 

 

 

c

 

 

 

 

è

 

 

c øè

 

ø

 

или:

 

ì

 

 

 

v öæ

 

vo ö

ü−

c

 

æ

+

 

-

2u′

 

M ¢

ï

ç1

 

 

 

֍1

 

 

÷

ï

 

 

 

 

c

 

 

ï

è

 

 

c øè

 

ø

ï

(22)

 

= í

 

 

 

 

 

 

 

v

 

 

ý

M ¢

æ

 

 

v öæ

 

o

ö

o

ï

ç1

-

 

 

֍1

+

 

÷

ï

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ï

è

 

 

c øè

 

c ø

ï

 

 

 

î

 

 

 

þ

 

 

Эта формула для релятивистского случая заменяет формулы (12) для нерелятивистских ракет. Особенно простой вид, пригодный для анализа, она приобретает для vo = 0 , т. е. когда разгон ракеты начинается из состояния

покоя:

 

æ

 

 

 

v ö

c

 

 

 

 

-

2u′

 

 

 

ç1

 

÷

 

 

 

 

 

 

M ¢ = M o¢

ç

 

 

 

c

÷

 

 

(23)

 

 

 

 

 

ç

1

+

v ÷

 

 

ç

 

÷

 

 

 

 

 

 

 

è

 

 

 

c ø

 

В случае малых конечных скоростей (v << c)

эта формула переходит в

(12б) для нерелятивистского случая (при vo = 0 ). В самом деле, перепишем правую часть (23) при vc <<1 и uc′ <<1 в виде:

96

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

æ

 

 

-

v ö

ç1

 

÷

 

ç

 

 

 

c

÷

ç

1

+

v ÷

ç

 

÷

 

è

 

 

 

c ø

c

 

 

 

 

v ö-

c

 

æ

 

 

 

 

 

2u¢

 

 

+

 

2u¢

ç1

 

 

÷

 

 

 

= ç

 

 

 

 

c

÷

 

ç

1

-

 

v ÷

 

ç

 

 

÷

 

 

 

 

è

 

 

 

 

c ø

 

éæ

 

2v ö

» êç1

+

 

÷

c

êè

 

ø

ë

 

 

 

c

ù-

v

 

 

 

 

u¢

= e-

v

 

 

 

2v ú

 

,

(24)

u¢

 

ú

 

 

 

 

 

 

û

 

 

 

 

 

где учтено, что:

 

 

 

v

 

æ

 

v öæ

v ö

 

 

 

 

 

 

 

 

ç1 +

 

֍1 +

 

÷

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 + c

 

= è

 

c øè

c ø »1 +

2v

 

 

 

æ v ö2

c

1 -

 

v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 - ç

 

÷

 

 

 

 

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

è c ø

 

 

 

 

 

æ

 

 

+

1

ön

= e

 

 

 

limç1

 

 

÷

 

 

 

 

 

 

 

 

n®¥è

 

 

n ø

 

 

 

 

 

 

 

Предположим, что ракету надо ускорить до скорости с/2 с помощью химического топлива, когда м' = 4 км/с. Какая доля первоначальной массы

будет ускорена

при

этом? Учитывая, что

c = 3×105 км

, из формулы (23)

получаем:

 

 

 

 

 

 

 

с

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

æ 1/ 2

3×105

 

 

 

Mo¢

 

 

ö

 

 

 

 

 

 

2×4

 

 

 

(25)

M ¢ = M ¢ç

÷

 

 

»

 

 

 

 

 

 

1020000

 

 

o è 3/ 2

ø

 

 

 

 

 

 

Представить себе число 1020000 невозможно. Поэтому об ускорении

ракет до релятивистских скоростей на химическом топливе не может быть и речи. Однако и с другими видами топлива дело обстоит ненамного лучше.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¢

 

4

км

 

 

Для ядерных ракет, использующих

энергию деления,

u

»10

 

с . В

этом

 

 

случае вместо (13)

находим:

 

 

 

 

 

 

 

 

M ¢ =

M o′

 

»

M o′

»

M o′

,

 

 

 

 

 

 

 

(26)

3×105

 

15

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

32×104

 

 

 

 

 

 

 

10-6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т. е.

 

окончательной скорости

с/2 достигнет лишь примерно

стартовой массы ракеты.

Поэтому более или менее обнадёживающих результатов в достижении релятивистских скоростей можно ожидать только в том случае, если u′ близко к скорости света. Это приводит к идее создания реактивной тяги излучением фотонов. Такие, в настоящее время лишь теоретически мыслимые, ракеты называются фотонными.

Фотонные ракеты.

Для фотонных ракет u′ = c и, следовательно, уравнение (23) принимает

вид:

 

 

 

 

 

1

 

 

æ

 

 

 

v ö

 

 

 

 

 

-

2

 

 

ç1

 

÷

 

 

 

 

 

M ¢ = M o¢

ç

 

 

 

c

÷

 

(27)

 

 

 

 

 

ç

1

+

v ÷

 

 

ç

 

÷

 

 

 

 

 

 

è

 

 

 

c ø

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

97

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Как видно из этой формулы, до скорости с/2 было бы возможно

ускорить массу M ¢ = M o′ , т. е. больше, чем половину стартовой массы. Таким

3

образом, эти ракеты были бы весьма эффективными. Пусть v отличается от скорости света на очень маленькую величину, например на 10-4,т. е.

vc »1 -10−4 . Тогда из (27) получаем:

 

 

10

−2

 

M ¢ » M o¢

×

 

 

 

 

,

(28)

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

т. е. вполне приемлемый результат. Однако фотонные ракеты в настоящее время с технической точки зрения являются лишь фантазией. Впрочем, это не означает, что сама по себе “реактивная сила излучения” не имеет значения. Наоборот, она играет очень большую роль в природе, например, в ряде астрофизических явлений.

Космические скорости. Движение искусственных спутников Земли.

Вычисление космических скоростей.

Теория финитных и инфинитных движений планет полностью применима к движению искусственных спутников Земли и космических кораблей (разумеется, с выключенными двигателями). Сопротивление воздуха мы не будем учитывать, предполагая, что движение происходит в достаточно разреженной атмосфере. Кроме того, при движении вблизи

Земли мы будем пренебрегать силами гравитационного притяжения Солнца, Луны и планет. Массу Земли будем обозначать буквой М, массу искусственного спутника – буквой т.

Полная энергия спутника или космического корабля в поле земного тяготения равна:

E = mv2 2 - γ Mmr .

или в силу соотношения g = γ Mr 2 :

E =

mv2

- mgr

(1)

 

2

 

 

Если энергия Е отрицательна, то движение финитно и будет происходить по эллиптической траектории. При круговом движении

 

 

 

 

vk = γ

M

(2)

r

 

 

 

Если r – радиус земного шара, то получаемая по этой формуле величина называется первой космической скоростью. Она приблизительно равна 8 км/с.

98

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Минимальное значение энергии Е, при котором движение становится ин-финитным, равно нулю. В этом случае получается движение по

параболе со скоростью

vп =

 

= vk

 

»11,2

км

(3)

2gr

2

с

 

 

 

 

 

 

называемой параболической или второй космической скоростью.

Это есть минимальная скорость, которую необходимо сообщить телу, чтобы оно никогда не вернулось на Землю (при условии, что тело не

подвергается гравитационному действию со стороны других небесных тел).

Если, наконец, полная энергия Е положительна, т. е. начальная скорость тела превосходит вторую космическую скорость, то его движение станет гиперболическим.

2. Совершенно аналогичные вычисления можно провести и для движений в гравитационном поле Солнца. Среднее расстояние до Солнца составляет 150 млн. км. Скорость Земли при круговом движении на таком расстоянии равна 29,8 км/с. Для того чтобы при запуске с такого расстояния тело навсегда покинуло пределы Солнечной системы, надо

сообщить ему скорость относительно Солнца не меньше 29,8 × 2 » 42,1 кмс .

Находясь на Земле, тело движется вместе с ней вокруг Солнца со скоростью 29,8 км/с. Если бы тело не подвергалось действию земного притяжения, то ему достаточно было бы сообщить относительно Земли

дополнительную скорость 42,1 - 29,8 =12,3 кмс в направлении ее движения,

чтобы относительно Солнца оно стало двигаться с параболической скоростью и навсегда покинуло пределы Солнечной системы. В действительности для этого требуется большая скорость, так как тело дополнительно должно преодолеть действие земного притяжения. Скорость относительно Земли, которую необходимо сообщить телу, чтобы оно навсегда покинуло пределы Солнечной системы, называется третьей космической скоростью. Значение третьей космической скорости зависит от того, в каком направлении корабль выходит из зоны действия земного тяготения. Она минимальна, если это направление совпадает с направлением орбитального движения Земли вокруг Солнца, и максимальна, когда эти направления противоположны.

Третья космическая скорость.

Точное вычисление третьей космической скорости довольно кропотливо, так как при этом надо учесть гравитационное взаимодействие трех тел: Солнца, Земли и космического корабля. Однако такое вычисление не представляет большого труда, если пренебречь влиянием

поля тяготения Солнца на движение космического корабля в течение всего времени, которое он затрачивает для выхода из зоны действия земного

99

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Смотрите также файлы