Файл: Лекции Механика для студентов Физика.pdf

тяготения. Более подробное рассмотрение показывает, что в

действительности при таком расчете мы пренебрегаем не полем тяготения Солнца, а лишь его неоднородностью в той области пространства, где преобладающим является поле тяжести Земли. Однородная составляющая поля тяготения Солнца компенсируется силами инерции, возникающими из- за свободного падения Земли на Солнце. Поэтому ошибка, которую мы делаем при вычислении третьей космической скорости, ничтожна.

Будем обозначать малыми буквами ( v , vк , vп ) скорости корабля от-

носительно Земли. Все скорости относительно Солнца будем обозначать большими буквами ( V , Vк , Vп ). Пока корабль движется в поле земного

тяготения, его движение удобнее относить к системе отсчета, в которой Земля неподвижна. Считая массу Земли М бесконечно большой по сравнению с массой корабля т, запишем уравнение энергии в виде

mv2 2 − γ Mmr = mv2∞2

Где v∞ – скорость корабля в тот момент, когда он практически выходит из зоны действия земного тяготения. Вводя круговую

скорость vk2 = γ Mr , получаем v∞2 = v2 − 2vk2 . После того как корабль выйдет

из зоны действия земного тяготения, будем относить его движение к системе отсчета, в которой неподвижно Солнце. В момент выхода из зоны земного тяготения скорость корабля V в этой системе равна векторной сумме скорости v∞ и скорости кругового движения Земли Vк . Если корабль выходит из зоны земного тяготения под углом α , то такой же угол будет между скоростями v∞ и V. Значит

V 2 =Vk2 + v∞2 + 2Vk v∞ cosα

Третья космическая скорость v3 найдется из условия V = Vп = 2Vк .

Подставляя это значение для V в предыдущее соотношение, получим квадратное уравнение для v∞ , из которого найдем

v∞ = (1 + cos2 α − cosα )Vk

(Положительный знак перед квадратным корнем выбран потому, что величина v∞ по своему смыслу существенно положительна.) После,

этого получим

Минимальное значение третьей космической скорости получится при α = 0 (запуск в направлении орбитального движения Земли), а максимальное – при α = π (запуск в направлении против орбитального движения Земли). Для этих значений формула (4) дает

v3min = 0,171Vk2 + 2vk2 ≈16,7 кмс

(5)

v3max = 5,828Vk2 + 2vk2 ≈ 72,7 кмс

100

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Четвёртая космическая скорость.

Вычислим теперь приближенно четвертую космическую скорость v4 . Так называется минимальная скорость, которую надо сообщить ракете, чтобы она могла упасть в заданную точку Солнца. Такая скорость зависит от положения этой точки на поверхности Солнца. На старте ракета движется вокруг Солнца вместе с Землей со скоростью VK. Чтобы ракета упала на Солнце, ее движение надо затормозить. Как и ранее, находим, что при выходе из зоны земного притяжения скорость ракеты будет V = Vk + v∞

(относительно Солнца). Наименьшая энергия, которую нужно затратить для замедления, получится тогда, когда скорости VK и v∞ направлены противоположно. В этом случае (все скорости положительны), а

энергия, приходящаяся на единицу массы ракеты, равна

ε = 12 (Vk - v∞ )2 - γ Mr = - 12 (Vk2 + 2Vk v∞ - v∞2 )

где R =CA – расстояние ракеты до центра Солнца при ее максимальном удалении (рис. 1). Если ε < 0 , то траекторией ракеты будет

эллипс с большой осью

Один из фокусов эллипса находится в центре Солнца. Обозначим через х=СР расстояние от центра Солнца до ближайшей вершины этого эллипса. Расстояние х однозначно определяет форму эллипса, а с ней и линию на поверхности Солнца, на которой будет лежать точка падения. Большая ось эллипса 2a = R + x . Подставив это значение в предыдущее уравнение, придем к квадратному уравнению для v∞ . Меньший корень

этого уравнения равен

Четвертая космическая скорость v4

ракеты определится из соотношения

определяющего место падения. При x=0 (прямолинейное движение по направлению к центру Солнца) скорость v4 максимальна и равна

v4max = Vk2 + 2v∞2 » 31,8 кмс .

101

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Ракета упадёт в передней точке Солнца. При x=r (r – радиус Солнца) ракета упадёт в задней точке Солнца, двигаясь по касательной к его поверхности. В этом случае скорость минимальна и равна

где α » 9,3 ×10−3 рад - средний угловой диаметр Солнца.

Рассмотрим теперь движение искусственных спутников Земли (ИСЗ).

Движение искусственных спутников Земли.

Отличие законов движения ИСЗ от законов Кеплера.

Движение искусственных спутников Земли не описывается законами Кеплера, что обусловливается двумя причинами:

1)Земля не является точно шаром с однородным распределением плотности по объему. Поэтому ее поле тяготения не эквивалентно полю тяготения точечной массы, расположенной в геометрическом центре Земли;

2)Земная атмосфера оказывает тормозящее действие на движение ис- кусственных спутников, вследствие чего их орбита меняет свою форму и размеры и в конечном результате спутники падают на Землю.

По отклонению движения спутников от кеплеровского можно вывести заключение о форме Земли, распределении плотности по ее объему, строении земной атмосферы. Поэтому именно изучение движения искусственных спутников позволило получить наиболее полные данные по этим вопросам. Кратко остановимся на них.

Трасса спутника.

Если бы Земля была однородным шаром и не существовало атмосферы, то спутник двигался бы по орбите, плоскость которой сохраняет неизменную ориентацию в пространстве относительно системы не- подвижных звезд. Элементы орбиты в этом случае определяются законами Кеплера. Так как Земля вращается, то при каждом последующем обороте

спутник движется над разными точками земной поверхности. Зная трассу спутника за один какой-либо оборот, нетрудно предсказать его положение во все последующие моменты времени. Для этого необходимо учесть, что Земля вращается с запада на восток с угловой скоростью примерно 15° в час. Поэтому на

последующем обороте спутник пересекает ту же широту западнее на столько градусов, на сколько Земля повернется на восток за период вращения спутника (рис. 2).

102

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Из-за сопротивления Земной атмосферы спутники не могут длительно двигаться на высотах ниже 160 км. Минимальный период обращения на такой высоте по круговой орбите равен примерно 88 мин, т. е. приблизительно 1,5 ч. За это время Земля поворачивается примерно на 22,5°. На широте 50° этому углу соответствует расстояние в 1400 км. Следовательно, можно сказать, что спутник, период обращения которого Т = 1,5 ч, на широте 50° будет наблюдаться при каждом последующем обороте примерно на 1400 км западнее, чем на предыдущем.

Однако такой расчет дает достаточную точность предсказаний лишь для нескольких оборотов спутника. Если речь идет о значительном промежутке времени, то надо принять во внимание отличие звездных суток от 24 ч. Поскольку один оборот вокруг Солнца совершается Землей за 365 суток, то за одни сутки Земля вокруг Солнца описывает угол примерно в 1° (точнее, 0,99°) в том же направлении, в каком вращается вокруг своей оси. Поэтому за 24 ч Земля поворачивается относительно неподвижных звезд не на 360°, а на 361° и, следовательно, совершает один оборот не за 24 ч, а за 23 ч 56 мин. Поэтому трасса спутника по широте смещается на запад не на 15° в час, а на (15 + 1/24)°. Эта поправка за несколько суток составляет несколько градусов.

Если бы Земля была однородным шаром и не имела атмосферы, то

описанный метод подсчёта давал бы возможность весьма точно предсказать положение спутника на длительное время вперёд. Однако отличие формы Земли от шарообразной и неоднородность её плотности, а также наличие атмосферы существенно изменяют характер движения спутников.

Форма Земли.

Уже давно стало ясно, что форма Земли отличается от шарообразной. Первую числовую оценку величины этого отклонения дал Ньютон, пользуясь законом всемирного тяготения. Идея расчета Ньютона была проста. Представим себе канал, идущий от полюса к центру Земли и оттуда по радиусу к одной из точек экватора. Ясно, что давление в каждом из каналов в центре Земли должно быть одинаковым. Вследствие вращения Земли вес некоторого элемента столба жидкости в канале, идущем к экватору, будет меньше веса соответствующего элемента столба жидкости на таком же расстоянии от центра Земли в канале, идущем к полюсу. Поэтому для равенства давлений в центре Земли необходимо допустить, что канал, идущий к экватору, должен быть длиннее. Это означает, что Земля не является шаром, а сплющена со стороны полюсов. Сжатие f

определяется формулой

где D3 – экваториальный, Dп – полярный диаметр Земли.

103

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com