Файл: Лекции Механика для студентов Физика.pdf

Скачать файл (4,32Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 15.04.2024

Просмотров: 836

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

æ v ö′

- α

-1

- (1 - α

)

= -

- α1m1

M - m1

(M - m

- m1 )(1 - α 2 )+ m

è u ø

α1

(M - m - m1 )(1 - α 2 )- m + (M - m1 )(1 - α 2 )

((M - m - m )(1 - α

)+ m)(M - m )

M - α m

α1

mα 2

= 0

M - α m

((M - m - m )(1 - α

)+ m)(M - m )

Отсюда получаем уравнение относительно m1 :

α1 (M - m1 )2 (1 - α 2 )+ α1mα2 (M - m1 )- Mmα2 + α1m1mα2 = 0

α1 (1 - α 2 )M 2 - 2Mα1 (1 - α 2 )m1 + α1 (1 - α 2 )m12 + α1α 2 mM - α1α2 mm1 = mα 2 M - mα 2α1m1

2α

(1 - α

)- 2m Mα

(1 - α

)+ M 2 (1 - α

)α

+ Mmα

(α

-1)= 0

- 2m M + M 2 - Mm

α2

1 - α1

= 0

α1 1 - α 2

m = M ± M 2 - M 2 + Mm

α2

1 - α1

α1 1 - α 2

1 - α

= M ç1 -

÷ , т. к. m1 < M

α1 1 - α

2 ø

Отсюда находим m2 = M - m1 - m :

m α

1 - α

= M - M ç1 -

÷ - m = mM

- m

M α1 1 - α

α1 1 - α2

2 ø

Искомое отношение, таким образом, равно:

α2

1 - α1

α1

1 - α 2

m α2

1 - α1

M α1

1 - α2

Поскольку

на

практике

α1

α 2 различаются мало,

то

α 2

1 - α1

»1:

α1 1 - α2

α2

1 - α1

α1

1 - α 2

Ответ:

или (приближённо)

1 -

m α2 1 - α1

α1

1 - α2

α1 » α2 и

2) В одном из проектов недалёкого будущего предполагается

использовать небольшой реактивный двигатель для поддержания человека в воздухе на постоянной высоте. Двигатель выбрасывает струю газов

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

вертикально вниз со скоростью относительно человека u =1000 мс . Расход

топлива автоматически поддерживается таким, чтобы в любой момент, пока работает двигатель, реактивная сила уравновешивала вес человека с грузом. Сколько времени человек может продержаться на постоянной высоте, если его масса m1 = 70кг , масса двигателя без топлива m2 =10кг , начальная масса

топлива mo = 20кг ? Какое расстояние l в горизонтальном направлении может преодолеть человек, если он разбежался по земле, приобрёл горизонтальную

скорость			v = 5	м	, а	затем		подпрыгнул и	включил	двигатель,
скорость			v = 5	с	, а	затем		подпрыгнул и	включил	двигатель,
				с
поддерживающий его в воздухе на постоянной высоте?										времени t.
Рассмотрим					силы, действующие на человека				в момент	времени t.
Реактивная			сила		равна		r	и направлена	вверх; сила тяжести
Реактивная			сила		равна	Fреак = -μu		и направлена	вверх; сила тяжести
			r
равна Fтяж = mg и направлена вниз. В силу условия задачи Fтяж + Fреак = 0 :
			æ			t	ö
			ç				÷
m×0 = μu - çm1					+ m2 + mo - òμdt ÷g
			è			0	ø
						t
(m1 + m2 + mo )g = μu + gòμdt
						0
Дифференцируя это выражение, получаем:
dμ ×u = -gμdt Þ
	dμ	= - gdt
	μ		u

Интегрируя полученное соотношение, находим связь между μ и t :

ln μ + C = - gtu

Исходя из начальных условий, при t = 0 μ = μo , причём:

(m1 + m2 + mo )g = μou

Отсюда следует, что расход топлива меняется со временем по закону:

ln μ = - gt μo u

μ = (m1 + m2 + mo )g e− gtu u

Теперь, чтобы определить зависимость массы оставшегося топлива от времени, необходимо вычислить:

Dm = òt μdt

Топливо закончится через время τ , определяемое условием:

+ m

æ −

gτ

m =

gç

÷çe u

-1÷

g ÷ç

e−

gτ

=1-

+ m

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

e−

gτ

=1-

+ m + m

e−

gτ

+ m2

+ m + m

gτ

= lnç1+ m + m

÷ Þ

τ =

= 25c

g lnç1+ m + m

2 ø

Расстояние же l равно l = vτ = 125м .

Ответ: τ = 25с ,

= 125м .

3) На сколько процентов уменьшится масса ракеты, которая в течение 10 мин поднималась с поверхности Земли вертикально вверх с постоянной

скоростью v = 5 кмс ? Скорость истечения продуктов сгорания относительно ракеты u = 2 кмс . Радиус Земли Rз = 6400км . Трением о воздух пренебречь.

Через время τ = 600c ракета поднимется на высоту hmax = vτ = 3000км , где

сила тяжести уже заметно меньше, чем на поверхности. Таким образом, при

расчёте движения ракеты мы обязательно должны учесть изменение силы тяжести с высотой (одна из проблем космонавтики):

			Rз2					Rз2
g(h) = g						= g
			(Rз + h)2					(Rз + vt)2
Запишем уравнение движения ракеты, учитывая, что её ускорение
равно нулю:
0 = μ ×u - mg					Rз2			,
					(Rз + vt)2
где μ = - dm .
			dt
Тогда:					Rз2
	dm
-		u = mg					Þ
	dt			(Rз + vt)2

Разделяя переменные получим:

-dm = gdt Rз2 m u v2

			1
æ	R	з	ö2
ç		з	+ t ÷
ç	v		+ t ÷
è	v		ø

Интегрируя обе части и определяя постоянную, находим закон изменения массы со временем:

g Rз2

ï- ln m

+ C = -

Rз + vt

g Rз2

- ln m

+ C = -

Rз + v × 0

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

- ln

g Rз ç

u v

Rз

- ln

g Rз

Rз + vt

− gRзt m = moe u(Rз +vt )

Отсюда получаем, что через время τ = 600c масса ракеты станет равна:

− gRзτ

m = moe u(Rз +vτ ) = 0.135mo ,

т. е. масса ракеты уменьшилась на 86.5%. Ответ: на 86.5%.

Релятивистские ракеты.

Уравнение движения.

При выводе уравнения (4) было подчеркнуто, что оно справедливо как при малых, так и при больших скоростях. В реля- тивистском случае массу М надо считать релятивистской, т. е.

M =	M ′	(13)

1 - v2

где M ′ – переменная масса покоя ракеты. (Мы обозначили ее буквой со штрихом, чтобы подчеркнуть, что это масса в движущейся системе координат, связанной с ракетой.) В процессе движения масса покоя ракеты уменьшается. С учетом сказанного уравнение (4) в релятивистском

случае имеет вид

M v

(14)

= u

dt ç

1 -

dt ç

1 -

Нетрудно при необходимости учесть также наличие внешних сил, действующих на ракету. Преобразуем уравнение (14) к виду (6). Для этого продифференцируем левую часть по t и один из полученных членов, пропор- циональный v, перенесем в правую часть. Тогда имеем