ВУЗ: Новосибирский государственный технический университет
Категория: Учебное пособие
Дисциплина: Основы теории управления
Добавлен: 15.02.2019
Просмотров: 1458
Скачиваний: 5
W p
x p
G p
k
T p
T p
( )
( )
( )
=
=
+
+
1
2
2
2
1
.
(5)
3.1. Переходная характеристика получается при решении уравнения (1), если
g t
( )
= 1
и имеет вид,
показанный на рис.38 для ряда значений
ξ
=
T
T
2
1
2
. Из рисунка видно, что с ростом
ξ
колебательность
переходного процесса уменьшается, исчезая совсем при
ξ
≥ 1
.
g(t)
x(t)
x
уст
t
ξ=0,1
ξ=0,4
ξ=1
k
g(t)=1
Рис.38
3.2. Дифференцируя переходную функцию получим импульсную переходную функцию, один из
возможных видов импульсной переходной функции показан на рис.39.
δ
вых
(t)
t
δ
вых
(t)
Рис.39
3.3. Частотная характеристика
3.3.1.
W j
x j
G j
k
T
jT
(
)
(
)
(
)
(
)
ω
ω
ω
ω
ω
=
=
−
+
1
1
2
2
2
.
(6)
Освобождаясь от мнимой части в знаменателе, получим:
W j
P
jQ
k
T
T
T
j
kT
T
T
(
)
( )
( )
(
)
(
)
(
)
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
=
+
=
−
−
+
−
−
+
1
1
1
1
2
2
1
2
2 2
2
2
2
2
1
2
2 2
2
2
2
.
(7)
График ЧХ в обычном масштабе при различных
ξ
имеет вид (рис.40):
Re
ω=0
ω
1
ω
2
ω
3
ω
i
ω=∞
Рис.40
Im
ξ=0,5
ξ=0
,25
k
A
k
T
T
( )
(
)
ω
ω
ω
=
−
+
1
1
2
2 2
2
2
2
,
ϕ ω
ω
ω
( )
= −
−
arctg
T
T
2
1
2
2
1
,
P
k
T
T
T
( )
(
)
(
)
ω
ω
ω
ω
=
−
−
+
1
1
1
2
2
1
2
2 2
2
2
2
,
(8)
Q
kT
T
T
( )
(
)
ω
ω
ω
ω
= −
−
+
2
1
2
2 2
2
2
2
1
,
(9)
ω
i
– частота собственных колебаний
3.3.2. ЛАХ:
20
20
20
1
1
2
2 2
2
2
2
lg
lg
lg (
)
A
k
T
T
=
−
−
+
ω
ω
(10)
при
k
= 1
20
20
1
1
2
2 2
2
2
2
lg
lg (
)
A
T
= −
−
+
ω
ω
T
,
27
lg
ω
Рис.41
20lgA
−ϕ
−ϕ(ω)
ξ=0,1
ξ=0,3
ξ=0,4
ξ=1,0
1
10
10
-40
дб
/де
к
1,0
1/T
1
1
-90
°
-180
°
20
30
40
0
т.к.
ξ
=
T
T
2
1
2
, то
T
T
1
2
2
=
ξ
и
20
20
1
4
2
lg
lg
(
= −
+
1
2
1
2
)
A
T
−
ξ
ω
;
1
<
1) При малых частотах
, тогда
(
)
4
1
2
1
2
2
ξ
ω
−
<
T
20
20 1
lg
lg
A
0
= −
=
.
2) При больших частотах
, тогда
(
)
4
1
2
1
2
2
ξ
ω
− T
1
>>
20
20
4
1
1
2
lg
lg
A
T
= −
−
ω ξ
.
3) В области средних частот
или
1
4
1
2
1
2
2
=
−
(
)
ξ
T
ω
ω
ξ
C
T
=
−
1
4
1
1
2
.
На
рис.41
приведены
ЛАХ
колебательного звена. Она представляет
собой ломанную линию, состоящую из двух
асимптот, к которым стремится ЛАХ при
ω
→ 0
и при
ω
→ ∞
. Одна асимптота – ось
абсцисс при
k
= 1
. В общем случае она идет
вдоль оси абсцисс на расстоянии
.
Другая асимптота имеет наклон -40 дб/дек.
Точка пересечения асимптот соответствует
частоте
20lg k
ω
c
=
T
1
1
.
Если
0 4
0 7
,
< < ,
ξ
, то расхождение между асимптотической и истинными ЛАХ не превышает
±3дб.,
поэтому для таких звеньев можно пользоваться асимптотическими ЛАХ.
При других значениях
ξ
асимптотическую ЛАХ корректируют с помощью графиков поправок,
приведенных в литературе (рис.42).
ωΤ
Рис.42
δ, дб
ξ=0,05
ξ=0,10
ξ=0,15
ξ=0,20
ξ=0,25
ξ=0,30
ξ=0,40
ξ=0,50
ξ=0,60
ξ=0,80
ξ=1,0
2
-8
0,
2
0,
3
0,
4
0,
5
0,
6
0,
8
0,
9
1
2
3
4 5 6 7 8 910
10
4
-6
12
6
-4
14
18
8
-2
16
20
0
Фазовая характеристика имеет при
ω
→ ∞
,
ϕ
π
→ −
.
4. Пример: Покажем, что двигатель постоянного тока является колебательным звеном.
28
U
Д
M
СТ
U
в
ОВД
ω
M
д
i
я
U
E
i R
L
di
dt
д
я
я
я
я
=
+
+
E
k
д
e
=
ω
M
M
J
d
dt
д
СТ
−
=
ω
M
k i
д
м я
=
,
(1)
,
(2)
,
(3)
,
(4)
где
– входное напряжение якоря двигателя (входной сигнал);
U
ω
– скорость вращения двигателя (выходной сигнал);
– постоянные коэффициенты;
k k
e
м
,
J
– момент инерции якоря двигателя;
– момент, развиваемый двигателем и момент сопротивления.
M M
д
С
,
Т
Положим
. Решив совместно уравнения (1)
÷ (4) относительно
U
и
M
СТ
= 0
ω
, получим
подставляя (4) в (3)
i
J
k
d
dt
я
м
=
ω
и полученный результат в (1), получим
U
k
JR
k
d
dt
JL
k
d
dt
e
я
м
я
м
=
+
+
ω
ω
ω
2
2
,
Разделим левую и правую часть на
k
e
JL
k k
d
dt
JR
k k
d
dt
kU
я
R
e
м
R
я
e
м
Я
Я
∗
∗
+
+ =
2
2
ω
ω
ω
,
где
k
k
e
=
1
– коэффициент передачи двигателя (1/сек).
Обозначим
L
R
T
я
я
я
=
;
JR
k k
T
я
e
м
м
=
.
Имеем
T T
d
dt
T
d
dt
kU
я м
м
2
2
ω
ω
ω
+
+ =
.
5. Идеальное дифференцирующее звено
1. Звено, выходной сигнал которого пропорционален дифференциалу от входного сигнала
называется дифференцирующим звеном:
x t
k
dg t
dt
( )
( )
=
,
(1)
ИДЗ
x(t)
рис. 43
g(t)
k – коэффициент передачи дифференцирующего звена имеет
размерность [сек].
Переходим к преобразованию по Лапласу
X p
kpG p
( )
( )
=
.
(2)
Передаточная функция
W p
X p
G p
kp
( )
( )
( )
=
=
.
(3)
Уравнение (3) показывает, что порядок оператора p числителя выше порядка знаменателя. Это
говорит о том (как уже ранее говорилось), что реально такого звена не существует.
Однако с теоретической точки зрения идеальное дифференцирующее звено представляет интерес.
29
3.3.1. Переходная функция идеального дифференцирующего звена при
g t
( )
= 1
, равна
x t
k t
( )
( )
=
δ
(рис.44), где
δ
( )
( )
t
d t
dt
=
1
– единичная импульсная функция.
3.2. Импульсная переходная функция будет также
δ-функцией (рис.44).
t
Рис.44
x(t)
δ
(t)
3.3. Частотная характеристика
3.3.1.
W j
X j
G j
jk
(
)
(
)
(
)
ω
ω
ω
ω
=
=
(4)
Re
Рис.45
Im
ω→∞
W(j
ω
)
ω→
0
P( )
ω
= 0
;
Q
k
( )
ω
ω
=
;
A
k
( )
ω
ω
=
;
ϕ ω
π
( )
=
2
.
Графически ЧХ в обычном масштабе имеет вид (рис.45)
3.3.2. ЛАХ:
20
20
20
lg ( )
lg
lg
A
k
ω
ω
=
+
при
k
= 1
20
20
lg ( )
lg
A
ω
ω
=
Наклон ЛАХ соответствует +20 дб на декаду
(почему?) (рис.46).
20lgA
Рис.46
–
ϕ
+90
°
lg
ω
+20 дб/дек
ϕ
При
k
≠ 1
ЛАХ перемещается параллельно
самой себе по оси ординат на величину
.
20lg k
ЛФХ:
ϕ ω
π
( )
=
2
.
4. Пример:
при
R
= 0;
U
вх
i
вых
С
i
C
U
dt
вых
вх
=
;
6. Реальное дифференцирующее звено
Как было указано выше, реализовать идеальное дифференцирующее звено практически
невозможно. Оно реализуется только при наличии дополнительных помех, т.е. звеном, обладающим
конечной инерционностью.
1. Такое звено описывается уравнением:
T
dx t
dt
x t
k
dg t
dt
( )
( )
( )
+
=
,
(1)
РДЗ
x(t)
рис. 47
g(t)
2. Преобразование Лапласа:
(
) ( )
( )
Tp
X p
kpG p
+
=
1
.
(2)
Передаточная функция
W p
X p
G p
kp
Tp
( )
( )
( )
=
=
+ 1
.
(3)
30
Реальное дифференцирующее звено (3) уже нельзя считать типовым, т.к. его можно заменить
последовательным соединением идеального дифференцирующего звена
и апериодического
W p
kp
1
( )
=
W p
Tp
2
1
1
( )
=
+
.
3.1.
проанализировать самостоятельно;
3.2.
проанализировать самостоятельно;
3.3.1. проанализировать самостоятельно;
3.3.2. ЛАХ:
20
20
20
1
1
lg ( )
lg
lg
A
kp
Tp
ω
=
+
+
.
lg
ω
ω=1/Τ
2
1
0
-45
°
+45
°
-90
°
-
ϕ
°
+90
°
-20 д
б/де
к.
+20
дб
/де
к.
Рис.48
20lgA
ϕ
АЗ
ϕ −
резул
ьтирующая
ϕ
идз
20lg W(j )
ω
20lg
(1/Tp+1)
20l
g
,
kp
при
k=
1
4. Пример:
U
i
R
C
i dt
вх
вых
вых
T
=
+
∫
1
0
,
U
вх
i
вых
С
R
CU
CRi
i dt
вх
вых
вых
T
−
=
∫
0
,
T
di
dt
i
kU
вых
вых
вх
+
=
,
T
RC
=
;
k C
=
.
Охват апериодического звена обратными связями
1. Охват ООС.
k
oc
X(p)
G(p)
рис. 49
X
1
(p)
ε
(p)
Tp+1
k
Запишем уравнения:
=
+
=
−
=
.
)
(
)
(
,
1
)
(
)
(
),
(
)
(
)
(
1
1
oc
k
p
X
p
X
Tp
k
p
p
X
p
X
p
G
p
ε
ε
(1)
Решаем (1) совместно относительно
G p
( )
и
X p
( )
, получим
W p
X p
G p
k
Tp
kk
k
kk
T
kk
p
oc
kk
kk
oc
oc
oc
oc
( )
( )
( )
(
)
: (
)
: (
)
=
=
+ +
=
+
+
+
+
+
1
1
1
1
1
1
или обозначив
31