ВУЗ: Новосибирский государственный технический университет
Категория: Учебное пособие
Дисциплина: Основы теории управления
Добавлен: 15.02.2019
Просмотров: 1264
Скачиваний: 6
R
S
j
e
j
12
12
1
2
( )
(
)
τ
π
ω
ω
ωτ
=
−∞
+∞
∫
d
.
(6)
Свойства спектральной плотности:
1. если случайная функция содержит постоянную составляющую, то в кривой спектральной
плотности в точке
ω
= 0
имеется дельта-функция (практически - острый импульс).
2. если случайная функция содержит периодическую составляющую частоты
ω
0
, то в составе
кривой
S
x
( )
ω
имеются две дельта функции в точках
±
ω
0
.
Пример:
В качестве примера возьмем так называемый чисто случайный процесс, или ”белый шум”. В нем
значения
x
, взятые в различные моменты времени
t t
1
2
, ,
,
Κ
совершенно независимы друг от друга, как
бы близко эти моменты времени друг к другу не были взяты. Это означает, что кривая белого шума
содержит всплески, затухающие за бесконечно малые промежутки времени. Для белого шума
одномерная плотность вероятности полностью характеризует случайный процесс. Корреляционная
функция белого шума
R
x
( )
τ
= 0
при
τ
≠ 0
и
R
x
( )
x
0
=
при
τ
= 0
, т.е. является
δ
-функцией.
Спектральная плотность белого шума равна интегралу от
δ
-функции, т.е. единице. Таким образом,
энергия белого шума распределена по спектру частот равномерно, и её сумма равна бесконечности, что
указывает на физическую нереализуемость идеального белого шума (он напоминает случайный процесс
колебательного характера с бесконечно большими частотами колебаний).
Прохождение стационарных случайных сигналов через линейную САУ
Рассмотрим линейную САУ под воздействием
случайной функции
x
1
Если воздействие
является стационарным случайным процессом, то
x t
2
( )
в
обыкновенной линейной САУ будет также стационарным
случайным процессом.
x t
1
( )
x t
2
( )
W j
p
(
)
ω
Рис.130
t
( )
.
x t
1
( )
W j
W j
W j
p
p
(
)
(
)
(
)
ω
ω
ω
=
+
1
– частотная характеристика замкнутой системы,
W j
X
j
X
j
T
T
T
(
)
lim
(
)
(
)
ω
ω
ω
=
→∞
2
1
,
(1)
X
j
T
1
(
)
ω
X
j
T
2
(
)
ω
W j
(
)
ω
где
X
j
T
1
(
)
ω
,
X
j
T
2
(
)
ω
– преобразование Фурье, соответственно от входного и выходного сигнала,
где
X
t
x t п и
п и
T
t
T
t
T
X
t
x t п и
п и
T
t
T
t
T
T
T
1
1
2
2
0
0
( )
( ), р
,
р
;
( )
( ), р
,
р
.
=
− ≤ ≤
>
=
− ≤ ≤
>
Выражение (1) не является строгой математической формулой, однако она дает хорошие результаты
при практическом её применении.
Если известно входное воздействие
x t
1
( )
, то известна его спектральная плотность
S
1
( )
ω
. Тогда
можно найти спектральную плотность выходного сигнала
S
2
( )
ω
.
По определению
S
T
X
j
X
j
T
T
T
2
2
1
2
( ) lim
(
)
(
)
ω
ω
=
−
→∞
2
ω
.
(2)
Умножая и деля выражение (2) на
S
T
X
j
X
j
T
T
T
1
1
1
2
( ) lim
(
)
(
)
ω
ω
=
−
→∞
1
ω
,
(2’)
получим
93
S
W j
S
2
2
1
( )
(
)
( )
ω
ω
=
ω
.
(3)
Таким образом спектральная плотность выходной величины равна произведению спектральной
плотности входной величины на квадрат модуля частотной характеристики САУ.
По спектральной плотности
S
2
( )
ω
определяется среднее значение квадрата выходной величины
[
]
x t
S
d
2
2
2
0
1
( )
( )
=
∞
∫
π
ω ω
(4)
или, учитывая (3), получим
[
]
x t
W j
S
d
2
2
2
1
0
1
( )
(
)
( )
=
∞
∫
π
ω
ω
(5)
ω
.
С другой стороны, для взаимной спектральной плотности входной и выходной величин линейной
системы можно по определению записать
S
j
T
X
j
X
j
T
T
T
12
1
1
1
2
(
) lim
(
)
(
)
ω
ω
=
−
→∞
ω
)
.
(6)
Умножим и разделим (6) на
X
j
T
1
(
ω
, получим
S
j
X
j
X
j
T
X
j
X
j
T
T
T
T
T
T
12
2
1
1
1
1
2
(
) lim
(
)
(
)
lim
(
)
(
)
ω
ω
ω
ω
ω
=
⋅
−
→∞
→∞
(7)
или учитывая (1) и (2’)
S
j
S
W j
12
1
(
)
( ) (
)
ω
ω
ω
=
.
(8)
Выражение (8) показывает, что взаимная спектральная плотность входной и выходной величин
системы АУ равна спектральной плотности входной величины, умноженной на частотную
характеристику системы.
По выражению (8) можно определить частотную характеристику системы
W j
(
)
ω
, находящейся
под воздействием случайной величины. Это же выражение (8) позволяет определить связь между
взаимной корреляционной функцией входа и выхода и выходной корреляционной функцией
W j
h t e
dt
j t
(
)
( )
ω
ω
=
′
−
∞
∫
0
,
где
h t
′( )
– производная временной характеристики системы.
dt
Тогда
.
R
h t R
t
12
1
0
( )
( ) (
)
τ
τ
=
′
−
∞
∫
СТАТИСТИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ ОШИБКИ В ЗАМКНУТОЙ
СИСТЕМЕ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
x t
y
( )
– случайный сигнал управления.
x t
П
( )
– слу
x t
2
(
чайная помеха.
Система АУ будет работать качественно, если
сигнал на выходе её
)
x t
y
( )
будет точно совпадать, с
определенным коэффициентом пропорциональности, с сигналом управления
, т.е.
x t
x t
y
2
( )
( )
≡
.
ε
( )
t
x t
y
( )
x t
2
( )
W j
p
(
)
ω
x t
П
( )
Рис.131
Показателем качества системы, как обычно является её ошибка
ε
( )
( )
( )
( )
( )
t
x t
x t
x t
y
П
x t
=
+
−
1
2
1
2
44
3
4 4
.
(1)
Очевидно, что чем меньше
ε
( )
t
, тем лучше система.
В статистических расчетах обычно определяют не саму ошибку, а либо величину
среднеквадратической ошибки
94
ε
ε
СК
t
t
( )
( )
=
2
,
(2)
либо однозначно с ней связанную величину среднего значения квадрата ошибки
ε
2
( )
t
.
Из выражения (4)
[
]
x t
S
d
2
2
2
0
1
( )
( )
=
∞
∫
π
ω ω
(2’)
следует, что для определения
ε
2
( )
t
необходимо знать величину соответствующей спектральной
плотности
ε
π
ω ω
ε
2
0
1
( )
( )
t
S
=
∞
∫
d
S
T
E
j
E
j
T
T
T
ε
ω
ω
( ) lim
(
)
(
)
=
−
→∞
1
2
ω
,
(3)
=
−
=
∫
∫
+
−
+
−
−
T
T
t
j
T
T
T
t
j
T
dt
e
t
j
E
dt
e
t
j
E
.
)
(
)
(
,
)
(
)
(
ω
ω
ε
ω
ε
ω
усеченное изображение Фурье от функции
ε
( )
t
(4)
Переходя в (1) к изображениям по Фурье, получим при
x t
П
( )
= 0
,
.
x t
x t
y
( )
( )
=
1
−
−
−
=
−
−
=
).
(
)
(
)
(
),
(
)
(
)
(
2
2
ω
ω
ω
ω
ω
ω
j
X
j
X
j
E
j
X
j
X
j
E
T
yT
T
T
yT
T
(5)
Учитывая (5) и (4) от выражения (3) можно перейти
[
][
]
{
}
.
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
2
1
lim
)
(
)
(
)
(
)
(
2
1
lim
)
(
2
2
2
2
2
2
2
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ε
j
X
j
X
j
X
j
X
j
X
j
X
T
j
X
j
X
j
X
j
X
T
S
yT
T
T
yT
T
yT
T
T
yT
T
yT
T
−
−
−
−
+
=
=
−
−
−
−
=
∞
→
∞
→
(6)
Так как
−
=
−
=
−
⋅
=
−
=
=
=
∞
→
∞
→
∞
→
∞
→
∞
→
∞
→
).
(
)
(
)
(
)
(
2
1
lim
),
(
)
(
)
(
)
(
2
1
lim
)
(
)
(
lim
)
(
)
(
2
1
lim
,
)
(
)
(
)
(
),
(
)
(
2
1
lim
),
(
)
(
2
1
lim
1
1
2
1
1
1
2
2
2
1
2
2
2
2
2
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
j
W
j
S
j
X
j
X
T
j
W
j
S
j
X
j
X
T
j
X
j
X
j
X
j
X
T
j
W
S
S
€
S
j
X
T
S
j
X
T
Ќ
y
T
T
T
Ќ
y
T
yT
T
T
T
T
T
yT
T
Ќ
T
T
y
yT
T
(7)
Подставляя (7) в (6), получим
S
S
S
W j
S
j
W j
S
j
W
j
y
з
y
з
y
з
ε
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
( )
( )
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
(
=
+
−
−
−
1
2
1
1
(8)
ω
)
.
Подставляя (8) в (2’), получим среднее значение квадрата ошибки
[
]
.
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
1
)
(
1
)
(
0
1
1
2
1
0
2
∫
∫
∞
∞
−
−
−
+
=
=
=
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
π
ω
ω
π
ε
ε
d
j
W
j
S
j
W
j
S
j
W
S
S
d
S
t
Ќ
y
Ќ
y
Ќ
y
(9)
Если случайные сигналы на входе
x t
y
( )
и
x t
П
( )
являются независимыми, тогда их взаимная
спектральная плотность равна 0.
Для этого случая можно записать
S
j
S
S
j
S
S
S
y
y
y
y
П
1
1
1
(
)
( )
(
),
( )
( )
( ).
ω
ω
ω
ω
ω
ω
=
=
−
=
+
(10)
Учитывая (10) в (9), получим
95
[
]
{
}
ε
π
ω
ω
ω
ω
ω
ω
2
2
2
0
1
1
( )
(
)
(
)
(
)
( )
(
)
( )
t
W j
W j
W
j
S
W j
S
з
з
з
y
з
П
=
+
−
−
−
+
∞
∫
ω
d
(11)
или окончательно после преобразований можно записать
{
}
ε
π
ω
ω
ω
ω
2
2
2
0
1
1
( )
(
)
( )
(
)
( )
t
W j
S
W j
S
з
y
з
П
=
−
+
∞
∫
ω
d
.
(12)
Учитывая, что
W j
W j
W j
з
p
p
(
)
(
)
(
ω
)
ω
ω
=
+
1
, получим
ε
π
ω
ω
ω
ω
ω
ω
2
2
2
0
1
1
1
1
( )
(
)
( )
(
)
(
)
( )
t
W j
S
W j
W j
S
d
p
y
p
p
П
=
+
+
+
∞
∫
.
(13)
Уравнение (13) показывает, что несмотря на то, что сигналы управления и помехи воздействуют на
систему в одном и том же месте, их влияние на величину динамической ошибки системы различно.
Если сигналы управления и помехи приложены в разных местах системы, то среднее значение
квадрата ошибки можно определить по такой формуле:
{
}
ε
π
ω
ω
ω
ω
2
1
2
2
2
0
1
( )
(
)
( )
(
)
( )
t
W
j
S
W
j
S
з
y
з
П
=
+
∞
∫
ω
d
)
,
(14)
где
W
j
W
j
з
з
1
2
(
),
(
ω
ω
– частотные функции замкнутой системы, которые определяются
соответственно для сигналов управления и помехи в зависимости от места их приложения.
Синтез систем с оптимальными параметрами, обеспечивающих
минимальную среднеквадратичную ошибку
Задача состоит в том, чтобы найти такие параметры системы (либо ввести корректирующие
устройства), при которых среднее значение квадрата ошибки будет минимально. Такая система будет
оптимальна по ошибке.
Выражение (9)
[
]
ε
π
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
2
1
2
1
1
0
1
( )
( )
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
t
S
S
W j
S
j W j
S
j W
j
y
з
y
з
y
з
=
+
−
−
−
∞
∫
ω
d
для среднего значения квадрата ошибки можно представить в общем виде таким образом
ε
2
1
2
3
( )
( ,
,
,
,)
t
f a a a
=
Κ
,
(1)
где
a a
– параметры системы.
a
1
2
3
,
, ,
Κ
Для того, чтобы
ε
2
( )
min
t
=
, необходимо решить систему
∂
∂
f a a a
a
i
i
( ,
, , , )
( )
, (
, , , )
1
2
3
0
1 2 3
Κ
Κ
=
=
.
(2)
Определим оптимальную частотную характеристику, для чего к правой части выражения (9) вычтем
и добавим следующее выражение
S
j
S
y
1
2
1
(
)
( )
ω
ω
.
(3)
Тогда
ε
π
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
2
2
1
1
1
1
0
1
2
1
2
1
1
2
1
1
( )
( )
(
)
(
)
(
)
( )
(
)
(
)
( )
(
)
( )
( )
(
)
( )
t
S
W j
W j
S
j
S
W
j
S
j
S
S
j
S
S
S
j
S
d
y
з
з
y
з
y
y
y
=
+
−
−
−
+
−
∞
∫
+
(4)
или
96
ε
π
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
2
1
1
2
1
1
2
1
0
1
( )
( )
(
)
(
)
( )
( )
(
)
( )
t
S
W j
S
j
S
S
S
j
S
d
y
з
y
y
=
+
−
−
∞
∫
.
(5)
Среднее значение квадрата ошибки будет минимально
ε
2
( )
min
t
=
, если
W j
S
j
S
з
y
(
)
(
)
( )
ω
ω
ω
−
=
1
1
2
0
.
(6)
Условие (6) вытекает из того, что величина многочлена в квадратных скобках существенно
положительна и только он может измениться при изменении параметров системы.
Из (6) определим оптимальную передаточную функцию замкнутой системы.
W
j
S
j
S
з опт
y
.
.
(
)
(
)
( )
ω
ω
ω
=
1
1
.
(7)
Подставляя (7) в (5), получим
ε
π
ω
ω
ω
ω
2
1
2
1
0
1
( )
( )
(
)
( )
t
S
S
j
S
d
y
y
=
−
∞
∫
.
(8)
Отметим, что в большинстве случаев передаточная функция (7) оказывается практически
нереализуемой. В этих случаях систему проектируют так, чтобы передаточная функция замкнутой
системы была близкой к
W
j
з опт
.
.
(
)
ω
и технически реализуемой.
97