Файл: В.М. Волков Математика и математика в экономике. Программа, контрольные работы №4, 5, 6 и методические указания для студентов 2 курса заочной формы обучения.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 03.06.2024

Просмотров: 99

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

 

 

 

 

 

 

39

118.

r r

 

 

r

,

l - дуга кривой y = −2x − x2 , расположенная над

F = yi

− (y + x2 )j

осью Ox и пробегаемая против хода часовой стрелки.

119.

r

 

r

 

 

r

F = (x2

− 2xy)i

+ (2xy + y2 )j , l - дуга параболы y = x2 от точки A(1,1)

до точки B(2,4).

 

 

 

120.

r

r

r

l

-

верхняя половина эллипса x = a cost, y = b sin t ,

F = y2 i

+ x2 j ,

пробегаемая против хода часовой стрелки.

Контрольная работа №6

Обыкновенные дифференциальные уравнения

1-30. Найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка

1.xyy′ +1 = y .

2.y′ + yx = x.

3.(x2 + y2 )dy − 2xydx = 0 .

4. y′ + ay = emx .

5.ydy + (x − 2y)dx = 0 .

6.xdy = (x + y)dx .

7.y − x y′ = yln xy .

8.y − x y′ = x + yy′.

9.(1 − x2 )y′ − xy = 1.

10.xdy − ydx = ydy .

11.xdy − 2ydx = ydy .

12.(x − y)y − x2y′ = 0 .

13.dydx − x + y2 = 0.

16.

y′ + 2y = e−x .

17.

y

′

−

1 + 2x

y =1.

 

x2

 

 

 

 

 

 

y

18.

xy′ = y − xe

 

.

x

19.y′ + 3y + x = 0 .

20.(y + x)dx − (y − x)dy = 0 .

21.ydx + (2 xy − x)dy = 0 .

22.(1 + x2 )y′ − 2xy = (1 + x2 )2 .

23. y′ + 3xy − x3 = 0 .

24.y′ = tg xy + xy .

25.(x + 2y)ydx = x2dy .

26.xy′ − x = y .

27.y′ lnx + xy = x .

28.y′ cosx − y sinx = x .

 

 

40

 

 

 

 

14.

(y2 − 3x2 )dx + 2xydy = 0.

29.

y′ arctgx +

 

y

= 2x .

 

+ x2

 

 

 

1

 

15.

y2 + x2 y′ = xyy′.

30.

y′ − y = xex .

 

 

31-60. Найти общее решение дифференциального уравнения, используя метод понижения порядка уравнения

31.y′′ = yx′ + x .

32.y′′ = 2yy′ .

33.x(yy′′ + y′2 )= 4yy′ ( подстановка z = yy′ ).

34.yy′′ = (y′)2 .

35.xy′′ − 2y′ + x = 0 .

36.y′′ = − yx′ .

37.yy′′ = y2y′ + y′2 .

38.yy′′ + y′2 = 1 ( подстановка z = yy′ ).

39.x2y′′ + xy′ = 1.

40.y′′ = yy′ + y′.

41.xy′′ − y′ = 0 .

42.y′′ = x − y′.

43.y′′2 = y′.

44.xy′′ = y′ + x sin yx′.

45.y′′ y3 = 1.

46.y′′(ex + 1)+ y′ = 0 .

47.xy′′ = 2y′.

48.xy′′ +1 = y′.

49.2xy′ y′′ = y′2 − 1.

50.yy′′ = y′2 − y′3 .

51.yy′′ + y′2 = x ( подстановка z = yy′ ).

52.x y′′ + x y′ − y′ = 0 .

53.y′′ =1 − y′2 .

41

54.(1 − x2 )y′′ − xy′ = 2.

55.y′ y′′ + 2 = 0 .

56.(x − 2) y′′ − y′ = 0.

57.y′2 + yy′′ = yy′ ( подстановка z = yy′ ).

58.y′′ − 2ctgx y′ = sin3 x.

59.2y y′′ − 3y′2 = 4y2 .

60.x (y′′ +1)+ y′ = 0.

61-90. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям

61.

y

′′

+ 9y =10e

x

+ 3cosx,

 

y(0)= 0,

 

 

′

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y (0)= 2 .

 

 

′′

 

 

′

 

 

 

 

 

x

 

 

 

3x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

′

 

 

 

 

 

1

62.

y

− 6y

+ 9y

= xe

+ e

,

y(0)= 0,

 

y

(0)= 4 .

 

 

 

 

 

 

 

63.

y′′

− 2y′ + y = x2ex ,

 

y(0)= 5,

y′(0)= 3 .

 

 

 

 

64.

y′′ + y′ = x +1 +10e4x ,

 

y(0)= 0,

 

 

y′(0)= 2.

 

 

65.

 

′′

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y(0)=

1

 

 

 

 

′

(0)= 7.

y

+ y = 24cos7x − 48sin7x,

2 ,

 

 

 

 

 

y

66.

y′′ + 3y′ + 2y = sin x + e−x ,

y(0)= 0,

 

 

y′(0)= 0.

 

 

′′

 

 

′

 

2

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

4

 

′

 

 

 

 

 

7

 

 

 

 

 

67.

y

+ 2y

= x

 

+ e

 

,

 

y(0)= 3 ,

y

(0)= 12 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

68.

y′′ − y′ − 6y = −5e3x + 6,

 

y(0)= 0,

 

y′(0)= 7 .

69.

y

′′

+ y

′

− 2y = xe

x

+ cosx,

y(0)= 0,

 

 

 

′

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

(0)= −9 .

70.

y

′′

+ y = cosx − x,

 

 

y(π)=1,

′

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y (π)=1.

 

 

 

 

 

 

71.

y′′ − y′ = 2ex cosx,

 

y(0)=1,

y′(0)= 0.

 

 

 

 

72.

2y′′ + 5y′ = 7ex +10x −1,

y(0)=1,

 

y′(0)= 5 .

 

 

′′

 

′

 

 

 

 

 

 

 

 

3x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

′

 

 

 

 

 

1

 

 

 

73.

y

− y

= 2(1 − x)+ e

,

 

y(0)=1,

 

 

y

(0)= 2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

′′

 

 

′

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

′

 

74.

y

+ 2y

+ 5y

= 5x +17cosx,

y(0)= −5 ,

y

(0)= 8 .

 

 

 

75.

y′′ − 3y′ = 2 − 9x2 ,

 

y(0)=1,

y′(0)=1.

 

 

 

 

 

 

′′

 

 

′

 

 

 

 

−2x

 

 

 

2

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

′

 

1

76.

y

+ 4y

+ 4y

= e

+ x

+ 2 ,

y(0)= 2,

(0)= 2 .

 

 

 

 

 

 

y

 

42

 

 

′′

 

 

′

= 2(e

x

 

 

 

−x

),

 

 

 

 

 

4

′

 

 

1

 

 

77.

y

− 2y

 

+ e

 

y(0)= −

3 ,

(0)= 3 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

78.

 

′′

 

 

′

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

2

 

 

 

 

y(0)=1,

 

′

y

− 5y

+ 6y = 6x − 3x

 

+ 4x +1,

 

 

 

 

y

(0)=1.

 

 

 

′′

 

 

′

 

 

 

 

 

 

−x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

′

 

3

79.

4y

+ 4y

+ y

= 8e

 

 

− 5sin x,

y(0)= −5 ,

 

 

 

 

 

 

 

y (0)= 5 .

 

 

′′

 

 

′

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

′

 

 

 

80.

y

+ 2y

= −5e

 

 

(sin x + cosx),

y(0)= 2 ,

(0)= 4.

 

 

 

 

y

 

 

′′

 

 

′

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3x

 

 

 

 

 

 

3

 

′

1

81.

y

+ 6y

+ 9y = (3x +

10)e

− 9,

y(0)= −

4 ,

y

(0)= 6 .

 

 

 

 

 

 

′′

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x

 

 

 

 

 

 

′

 

17

82.

y

− 4y = 8cos2x − 4xe

,

y(0)= −1,

 

(0)= 4 .

 

 

 

 

y

83.

y′′

− y = 3x2 − 7x + 9 + 3e2x ,

y(0)= 0,

y′(0)=1.

84.

y′′

+ 5y′ + 6y = e2x − sin x,

y(0)= 0,

 

y′(0)=1.

 

85.

y′′

− 8y′ + 7y =15sin x +12ex ,

 

y(0)=1,2;

y′(0)= 4,9 .

86.

y′′ − 4y =13sin 3x − 8,

 

y(0)= 2,

y′(0)=1.

 

 

 

87.

 

′′

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

y(0)= 6,

′

 

 

 

 

 

 

y

− y = 3 −10cos 3 ,

 

 

 

 

 

 

 

y

(0)= 4 .

 

 

 

88.

y

′′

− 2y

′

= 2e

x

 

− x,

y(0)= −1,

 

′

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y (0)= 0.

 

 

 

 

89.

y′′

+ 4y = 4sin 2x − x +1,

 

y(0)= 0,

y′(0)= −1.

 

90.

y′′

− y′ =10sin x + 6cosx + 4ex ,

y(0)= 0,

y′(0)= −4 .

91-120. Решить геометрическую задачу с помощью дифференциального уравнения

91.Найти уравнение кривой, для которой отрезок касательной между

точкой касания и осью Ox делится пополам в точке пересечения с осью Oy . Кривая проходит через точку M0 (1,1).

92.Найти семейство кривых, каждая из которых обладает тем свойством, что угловой коэффициент касательной в любой точке M кривой

вдвое больше углового коэффициента радиуса-вектора точки M . Записать уравнение кривой, проходящей через точку M0 (2,3).

93.Кривая обладает тем свойством, что отрезок, отсекаемый касательной на оси Ox , проведённой в любой точке кривой, равен квадрату абсциссы точки касания. Найти уравнение кривой, проходящей через точку M0 (4,−1).

Смотрите также файлы