Файл: В.М. Волков Математика и математика в экономике. Программа, контрольные работы №5, 6 и методические указания для студентов 2 курса (3 семестр) заочной формы обучения.pdf

24

84.

x = t2 ,

y = t − t3 ,

0 ≤ t ≤ 3.

85.

3

ρ = 6cosθ,

0 ≤ θ ≤ 2π.

86.

y = 2

x3 ,

0 ≤ x ≤1.

87.

x = 5(sint + cost),

y = 5(sint − cost),

0 ≤ t ≤ 2π.

88.

y = (x +1)

3

,

−1 ≤ x ≤ 4.

2

89.

x = 7(cost + tsint),

y = 7(sint − tcost),

0 ≤ t ≤ π.

90.

x = 3(t − sint), y = 3(1 − cost), 0 ≤ t ≤

π.

2

r

91-120.r

Определить работу, совершаемую

переменной

силой

F = P(x, y)i

+ Q(x, y)j

при перемещении некоторой массы из точки A

в

точку

B по пути l

91.

r

r

r

l

-

нижняя половина эллипса

x = 2cost,

y = 3sin t ,

F

= y2 i

− x2 j ,

пробегаемая по ходу часовой стрелки.

92.

r

r

r

- отрезок прямой, соединяющий точки A(0,0) и B(2,1).

F

= 2xyi − xj , l

93.

r

= 2xy

r

r

,

l

- дуга параболы y = 3x2 , пробегаемая

от

точки

F

2 i

− x2 j

A(0,0) до точки B(1,3).

94.

r

r

r

l

- отрезок прямой, соединяющий точки

−

π

,

π

F

= cosyi − sin xj ,

A

2

2

π

,−

π

и B

.

95.

r

2

r2

r

l

-

четверть дуги окружности

x = R cost,

y = R sin t ,

F = −yi + xj ,

стрелки.

r

96.

r

r

l

- дуга кривой y = x3 + 1, пробегаемая от точки A(0,1)

F = y2 i

+ x2 j ,

до точки B(1,2).

97.

r

r

r

l

- нижняя половина эллипса

x = a cost,

y = b sin t ,

F

= −yi

− xj ,

пробегаемая против хода часовой стрелки.

98.

r

r

r

, l - прямая y = x от точки A(0,0) до точки B(1,1).

F

= xyi

+ (x + y)j

99.

r

r

r

,

l - дуга параболы x = 2y2 ,

пробегаемая

от точки

F

= −2xyi + x2 j

25

100.

r

r

+ (x + y)j , l

- парабола y = x2 от точки A(0,0) до точки

F = xyi

B(1,1).

+ (y2

101.

r

r

r

, l

- дуга параболы y = x2 , пробегаемая от

F = (x2

− 2xy)i

− 2xy)j

B(π,−1).

103.

r

r

+

x2 +

r

- дуга параболы y = x2

от точки A(0,0) до

F

= (x − y)i

3y j , l

точки B(1,1).

r

x

r

y

r

- отрезок прямой от точки A(1,1)

104.

F

=

i

+

j , l

до точки

x3 + y3

x3

+ y3

B(

2,2).

r

r

1

r

π

105.

F

= cos2 xi +

j

, l

- дуга линии y = tgx от точки A

,1

до точки

y3

4

π

,

B

3

3 .

106.

r

r

r

,

l

- дуга кривой y = ex

от точки A(0,1)

до точки

F

= (x2 + y2 )i

+ xyj

B(1,e).

r

r

1

r

π

π

1

107.

F

= sin3 xi +

j

, l

- дуга кривой y = ctgx от A

,1 до

B

,

.

y2

3

3

4

108.

r

r

r

,

l

- дуга линии y = ex

от точки A(0,1)

до точки

F

= (x3 − y2 )i + xyj

B(1,e).

r

r

109.

r

, l

- дуга кривой x = t2 ,

y = t от точки A(4,2) до точки

F

= −xyi

− y2 j

B(1r,1).

r

r

, l

- дуга кривой x = t,

y = t3

от точки A(0,0)

до точки

110.

F = x2yi

+ y2 j

B(1,1).

r

r

111.

r

l -

дуга окружности x = R cost,

y = R sin t от

F

= (x + y)i

+ (x − y)j ,

точки A(0,−R)

до точки B(R,0).

112.

r

r

r

, l

- дуга эллипса x = a cost,

y = bsin t от точки A(0,−b)

F

= y2 i

+ xyj

до точки

B(a,0).

113.

r

r

r

l

- дуга астроиды x = cos3 t,

y = sin3 t от точки A(1,0)

F

= −yi

+ xj ,

26

114.

r

r

r

, l - нижняя часть полуокружности x = 3cost,

y = 3sint ,

F = y2 i

+ x2 j

пробегаемая от точки

A(− 3,0) до точки B(3,0).

115.

r

r

r

- отрезок прямой от точки

A(1,1)

до точки

F = (x3

− y2 )i

− xyj , l

B(4,4).

116.

r

r

r

- контур, ограниченный параболами y = x2 ,

y2 = x ,

F = x2yi + x3 j , l

пробегаемый против хода часовой стрелки.

117.

r

r

, l

-

дуга кривой

x = cost,

y =

sin t

от

точки

F = −y2xi + x2yj

A(1,0)

до точки B(0,1).

118.

r

r

r

-

дуга кривой

y = −2x − x2 ,

расположенная над

F = yi − (y + x2 )j , l

осью Ox и пробегаемая против хода часовой стрелки.

119.

r

r

(2xy

r

= x2

от точки A(1,1)

F = (x2

− 2xy)i

+

+ y2 )j , l - дуга параболы y

до точки B(2,4).

120.

r

r

r

,

l

- верхняя половина эллипса x = a cost,

y = b sin t ,

F = y2 i

+ x2 j

1.

xyy′ +1 = y .

16.

y′ + 2y = e−x .

y

1

+ 2x

2.

y′ + x = x.

17.

y′ −

y =1.

x2

3.

(x2 + y2 )dy − 2xydx = 0 .

y

18.

xy′ = y − xex .

4.

y′ + ay = emx .

19.

y′ + 3y + x = 0 .

5.

ydy + (x − 2y)dx = 0 .

20.

(y + x)dx − (y − x)dy = 0 .

6.

xdy = (x + y)dx .

21.

ydx + (2

xy − x)dy = 0 .

7.

y − x y′ = yln x .

22.

(1 + x2 )y′ − 2xy = (1 + x2 )2 .

y

27

8.

y − x y′ = x + yy′.

23.

y′ + 3xy − x3 = 0 .

9. (1 − x2 )y′ − xy = 1.

24.

y′ = tg y +

y .

x

x

10.

xdy − ydx = ydy .

25.

(x + 2y)ydx = x2dy .

11.

xdy − 2ydx = ydy .

26.

xy′ − x = y .

12.

(x − y)y − x2y′ = 0 .

27.

y

= x .

y′ lnx + x

13.

dx − x + y2 = 0.

28.

y′ cosx − y sinx = x .

dy

14.

(y2 − 3x2 )dx + 2xydy = 0.

29.

y′ arctgx +

y

= 2x .

+ x2

1

15.

y2 + x2 y′ = xyy′.

30.

y′ − y = xex .

61.

y

′′

+ 9y =10e

x

+ 3cosx,

y(0)=

0,

′

y (0)= 2 .

′′

′

x

3x

′

1

62.

y

− 6y

+ 9y

= xe

+ e

,

y(0)

= 0,

(0)= 4 .

y

63.

y′′

− 2y′ + y = x2ex ,

y(0)= 5,

y′(0)= 3 .

64.

y′′ + y′ = x +1 +10e4x ,

y(0)= 0,

y′(0)= 2.

65.

′′

y(0)=

1

′

(0)= 7.

y

+ y = 24cos7x − 48sin7x,

2 ,

y

66.

y′′ + 3y′ + 2y = sin x + e−x ,

y(0)= 0,

y′(0)= 0.

′′

′

2

x

4

′

7

67.

y

+ 2y

= x

+ e

,

y(0)= 3 ,

(0)= 12 .

y

68.

y′′ − y′ − 6y = −5e3x + 6,

y(0)= 0,

y′(0)= 7 .

69.

y

′′

+ y

′

− 2y = xe

x

+ cosx,

y(0)

= 0,

y

′

1

(0)= −9 .

70.

y

′′

+ y = cosx − x,

y(π)=

1,

′

y

(π)=1.