Файл: В.М. Волков Математика и математика в экономике. Программа, контрольные работы №5, 6 и методические указания для студентов 2 курса (3 семестр) заочной формы обучения.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 03.06.2024

Просмотров: 83

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

29

 

 

 

 

 

 

71.

y′′ − y′ = 2ex cosx,

 

 

y(0)=1,

y′(0)= 0.

 

 

 

 

 

72.

2y′′ + 5y′ = 7ex +10x −1,

 

y(0)=1,

 

y′(0)= 5 .

 

 

 

 

′′

 

 

′

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

′

 

 

 

1

 

 

 

 

73.

y

− y

= 2(1 − x)+ e

,

 

 

 

y(0)=1,

y

(0)= 2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

′′

 

 

 

′

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

′

 

 

 

74.

y

+ 2y

+ 5y = 5x +17cosx,

y(0)= −5 ,

 

(0)= 8 .

 

 

y

75.

y′′ − 3y′ = 2 − 9x2 ,

 

 

y(0)=1,

y′(0)=1.

 

 

 

 

 

 

 

′′

 

 

 

′

 

 

 

 

 

 

 

−2x

 

 

 

 

 

2

 

1

 

 

 

 

 

 

 

′

 

 

 

1

76.

y

+ 4y

+ 4y = e

 

+ x

+ 2 ,

 

y(0)= 2,

(0)= 2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

′′

 

 

 

′

= 2(e

x

 

 

 

 

−x

),

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

′

 

 

1

 

 

 

77.

y

− 2y

 

+ e

 

 

 

y(0)= − 3 ,

 

 

(0)= 3 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

78.

y

′′

− 5y

′

+ 6y = 6x

3

− 3x

2

+ 4x

+1,

y(0)=1,

 

 

′

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

(0)=1.

 

 

 

′′

 

 

 

′

 

 

 

 

 

 

 

−x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

′

 

3

79.

4y

+ 4y

+ y

= 8e

 

 

 

 

− 5sin x,

y(0)= −5 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y (0)= 5 .

 

 

′′

 

 

 

′

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

′

 

 

 

 

80.

y

+ 2y

= −5e

 

 

(sin x + cosx),

y(0)= 2 ,

(0)= 4.

 

 

 

 

y

 

 

′′

 

 

 

′

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3x

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

′

1

81.

y

+ 6y

+ 9y = (3x +

10)e

− 9,

y(0)= −

4 ,

 

y

(0)= 6 .

 

 

 

 

 

 

 

′′

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x

 

 

 

 

 

 

 

 

′

 

 

17

82.

y

− 4y = 8cos2x − 4xe

,

y(0)= −1,

 

(0)= 4 .

 

 

 

 

 

y

83.

y′′

− y = 3x2 − 7x + 9 + 3e2x ,

y(0)= 0,

y′(0)=1.

84.

y′′

+ 5y′ + 6y = e2x − sin x,

y(0)= 0,

 

 

y′(0)=1.

 

85.

y′′

− 8y′ + 7y =15sin x +12ex ,

 

y(0)=1,2;

y′(0)= 4,9 .

86.

y′′ − 4y =13sin 3x − 8,

 

 

 

y(0)= 2,

y′(0)=1.

 

 

 

 

87.

 

′′

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

y(0)= 6,

′

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

− y = 3 −10cos 3 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

(0)= 4 .

 

 

 

 

88.

y

′′

− 2y

′

= 2e

x

 

− x,

 

 

y(0)= −1,

 

′

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y (0)= 0.

 

 

 

 

 

89.

y′′

+ 4y = 4sin 2x − x +1,

 

y(0)= 0,

 

 

y′(0)= −1.

 

90.

y′′

− y′ =10sin x + 6cosx + 4ex ,

y(0)= 0,

y′(0)= −4 .

91-120. Решить геометрическую задачу с помощью дифференциального уравнения

91. Найти уравнение кривой, для которой отрезок касательной между точкой касания и осью Ox делится пополам в точке пересечения с осью Oy . Кривая проходит через точку M0 (1,1).

M0 (1,1), если отрезок любой

30

92.Найти семейство кривых, каждая из которых обладает тем свойством, что угловой коэффициент касательной в любой точке M

кривой вдвое больше углового коэффициента радиуса-вектора точки M . Записать уравнение кривой, проходящей через точку M0 (2,3).

93.Кривая обладает тем свойством, что отрезок, отсекаемый

касательной на оси Ox , проведённой в любой точке кривой, равен квадрату абсциссы точки касания. Найти уравнение кривой, проходящей через точку M0 (4,−1).

94. Кривая обладает тем свойством, что отрезок, отсекаемый касательной на оси Oy , равен длине радиуса-вектора точки касания.

Найти уравнение кривой, проходящей через точку M0 (1,0).

95.Кривая обладает тем свойством, что отрезок, отсекаемый

касательной на оси Ox , равен ординате точки касания. Найти уравнение кривой, проходящей через точку M0 (2,1).

96.Кривая обладает тем свойством, что отрезок, отсекаемый касательной на оси Oy , равен абсциссе точки касания. Найти

уравнение кривой, проходящей через точку M0 (1,1).

97. Написать уравнение линии, проходящей через точку M0 (6,4), у

которой нормальный вектор с концом на оси ординат имеет длину, равную 10, и образует острый угол с положительным направлением оси ординат.

98. Найти линию, проходящую через точку

её нормали, заключённый между осями координат, делится точкой линии в отношении 1:2 (считая от оси ординат).

99. Найти линию, проходящую через точку M0 (3,−1), если отрезок

любой её касательной, заключённый между осями координат, делится в точке касания в отношении 3:2 (считая от оси ординат). 100. Написать уравнение кривой, проходящей через точку M0 (1,e) и

обладающей тем свойством, что в любой её точке M касательный

→

вектор MN с концом на оси Ox имеет проекцию на ось Ox , обратно пропорциональную абсциссе точки касания. Коэффициент пропорциональности равен ½.

101. Найти уравнение линии, проходящей через точку M0 (5,0), у

которой длина нормали ( отрезок её от точки линии до оси абсцисс) есть постоянная величина, равная 5.

31

102. Найти линию, проходящую через точку M0 (1,2) и обладающую тем

свойством, что отрезок, отсекаемый на оси ординат касательной в произвольной точке, пропорционален квадрату ординаты точки касания. Коэффициент пропорциональности равен 3.

103. Найти линию, проходящую через точку M0 (1,2) и обладающую

тем свойством, что отрезок касательной в любой её точке, заключённый между осью Ox и прямой y = x , делится точкой

касания пополам.

104. Найти уравнение линии, проходящей через точкуM0 (1,0), у

которой любая касательная пересекается с осью ординат в точке, одинаково удалённой от точки касания и от начала координат.

105. Найти линию, проходящую через точку M0 (1,3), у которой отрезок

касательной от точки касания до точки пересечения её с осью абсцисс равен длине радиуса-вектора точки касания.

106. Найти линию, проходящую через точку M0 (1,1) и обладающую тем

свойством, что проекция отрезка касательной, заключённого между точкой касания и осью Ox , обратно пропорциональна ординате точки касания (коэффициент пропорциональности равен 1).

107. Найти линию, проходящую через точку M0 (−1,2), для которой

отрезок любой её касательной между точкой касания и осью Ox делится пополам в точке пересечения с осью Oy .

108. Найти уравнение кривой, проходящей через точку M0 (4,2) и

обладающей тем свойством, что отрезок, отсекаемый на оси Ox касательной, проведённой в любой точке кривой, равен квадрату абсциссы точки касания.

109. Найти уравнение кривой, проходящей через точку M0 (1,1) и обладающей тем свойством, что отрезок, отсекаемый на оси Oy

касательной, проведённой в любой точке кривой, равен длине отрезка от точки касания до начала координат.

110. Найти уравнение кривой, проходящей через точку M0 (2,1) и

обладающей тем свойством, что проекция отрезка касательной от точки касания до оси Ox равна среднему арифметическому

координат точки касания.

 

через точку M0 (3,4) и

111. Найти уравнение кривой,

проходящей

обладающей тем свойством,

что отрезок,

отсекаемый на оси Oy
M0 (1,2), для

32

нормалью, проведённой в любой точке кривой, равен расстоянию от этой точки до начала координат.

112. Найти уравнение кривой, проходящей через точку M0 (1,5), для которой отрезок на оси Oy , отсекаемый любой её касательной, проведённой в точке кривой, равен абсциссе точки касания.

113. Найти уравнение кривой, проходящей через точку

M0

 

3

 

, у

1,

2

 

 

 

 

 

 

которой любой отрезок её касательной, заключённый между осями координат, делится в точке касания в отношении 2:3 (считая от оси ординат).

114. Найти уравнение кривой, проходящей через точку

которой площадь треугольника, образованного осью Ox , касательной и радиусом-вектором точки касания, равна 1.

115. Найти уравнение кривой, проходящей через точку M0 (4,1) и

обладающей тем свойством, что проекция на ось Ox отрезка касательной, проведённой в любой точке кривой, от точки касания до оси Ox равна разности ординаты и абсциссы точки касания.

116. Найти уравнение кривой, проходящей через точку M0 (−1,3) и

обладающей тем свойством, что проекция на ось Ox отрезка касательной, проведённой в любой точке кривой, от точки касания до оси Ox вдвое меньше абсциссы точки касания.

117. Найти уравнение кривой, проходящей через точку M0 (6,4), у

которой проекция на ось Ox отрезка касательной, проведённой в любой точке кривой, от точки касания до оси Ox равна сумме координат точки касания.

118. Найти уравнение кривой, проходящей через точку M0 (2,−3) и

обладающей тем свойством, что отрезок, отсекаемый касательной на оси Ox , равен длине этой касательной от точки касания до оси Ox . 119. Найти уравнение кривой, проходящей через точку M0 (1,6) и

обладающей тем свойством, что в любой её точке M касательный вектор MN с концом на оси Oy имеет проекцию на ось Oy , равную

3.

120. Найти уравнение кривой, проходящей через точку M0 (2,1), если отрезок любой её касательной между точкой касания и осью Oy

делится в точке пересечения с осью Ox в отношении 1:2 (считая от оси ординат).

Смотрите также файлы