Файл: В.М. Волков Математика. Программа, контрольные задания и методические указания для студентов заочного факультета специальности 061000 - Государственное и муниципальное управление.pdf

15

4. Решите задачу Коши [2, c.67-71]. y′+(−1)m xy = nxn−2m + m, y(1) = 2m −3n.

Пример: у′ - у/х = 3х2 +2, у(1) = -4.

Это линейное дифференциальное уравнение.

Ищем общее решение в виде y =u v, тогда у/ = u′v + uv′ и u′v + uv′ - uv/x = 3x2 + 2.

Находим v из уравнения

v′ - v/x = 0. Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные и интегрируем, имеем

Общее решение имеет вид: y = (3x2/2 + 2ln x + C) x . Находим С из начального условия: - 4 = 3/2 +C, C = -11/2 .

Получаем решение задачи Коши: y = (3x2/2 + 2ln x - 11/2) x .

Контрольная работа № 5 Теория вероятностей

1. Студент может сдать первый экзамен с вероятностью р1= =m/(m+1), второй – с р2= n/(n+1), третий – с р3= m/(m+n). Какова вероятность того, что студент сдаст: а) три экзамена; б) ровно два экзамена; в) только один экзамен; г) хотя бы один экзамен; д) не сдаст экзамены

[3, c.9-20].

Пример: р1=2/3, p2=3/5, p3=4/7.

Рассмотрим три независимых события А1, А2, А3 – студент сдаст 1-й, 2-й, 3-й экзамен. По условию имеем

Р(А1)=2/3; P(A2)=3/5; P(A3)=4/7.

Событие А – студент сдаст 3 экзамена – выражается как А= А1 А2 А3. По формуле вероятности произведения независимых со-

бытий получаем

P(A)= P(A1) Р( А2 ) Р( А3 ) = 23 53 74 = 358 ≈ 0,23.

16

Событие В – студент сдаст ровно 2 экзамена – равносильно следующему: В = А1 А2 А3 + А1 А2 А3 + А1 А2 А3 , где слагаемые есть несовместные события. По формулам вероятности суммы несовместных событий и вероятности произведения независимых событий имеем

Р( В) = Р( А1 )Р( А2 )Р( А3 ) + Р( А1 )Р( А2 )Р( А3 ) + Р( А1 )Р( А2 )Р( А3 ) =

= 23 53 (1− 74 ) + 23 (1− 53 ) 74 +(1− 23 ) 53 74 ==10546 ≈ 0,44.

Событие С – студент сдаст ровно 1 экзамен. Аналогично получаем следующее:

Р( С ) = Р( А1 )Р( А2 )Р( А3 ) + Р( А1 )Р( А2 )Р( А3 ) + Р( А1 )Р( А2 )Р( А3 ) =

= 23 (1− 53 )(1− 74 ) +(1− 23 ) 53(1− 74 ) +(1− 23 )(1− 53 ) 74 =10529 ≈ 0,28.

Для события D – студент не сдаст все экзамены – также имеем:

P( D ) = P( A1 )P( A2 )P( A3 ) =(1− 32 ) (1− 53 ) (1− 74 ) = 352 ≈ 0,06.

Событие Е – студент сдаст хотя бы 1 экзамен –противоположно событию D. Поэтому

P( E ) =1− P( D ) =1− 352 = 3533 ≈ 0,94.

2. Имеется (4+(-1)n) лотерейных билетов, из которых каждый (m+2) выигрышный. Составить закон распределения случайной величины – числа выигрышных билетов из имеющихся. Вычислить математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение этой случайной величины [3, c.20-24].

Пример. Число билетов – 3, каждый 20-й выигрышный.

По формуле Бернулли для n = 3, p = 1/20 = 0,05 вычисляем вероятности появления 0,1,2,3 выигрышных билетов из имеющихся:

Р3( 0 ) = С30 0,050 (1−0,05 )3 = 0,953 ≈ 0,9574, Р3(1) = С31 0,051 (1−0,05 )2 = 3 0,05 0,952 ≈ 0,1354,

Р3( 2 ) = С32 0,052 (1−0,05 )1 = 3 0,052 0,951 ≈ 0,0071, Р3( 3) = С33 0,053 (1 − 0,05 )0 = 0,053 ≈ 0,0001.

Проверка: Р3( 0 ) + Р3(1) + Р3( 2 ) + Р3( 3 ) ≈1,0.

Закон распределения случайной величины Х – число выигрышных лотерейных билетов из 3-х – приведен в таблице.

17

≈ 02 0,86 +1 2 0,14 + 2 2 0,01+32 0 −0,162 ≈ 0,15.

Среднее квадратическое отклонение –

σ( Х ) = D( X ) ≈ 0,15 ≈ 0,39.

3.Среднее число клиентов, приходящих в фирму в течение часа, равно n/(n+m). Какова вероятность того, что в течение двух часов в фирме появятся: а) 1 клиент; б) 2 клиента; в) 0 клиентов; г) хотя бы

один; д) не менее трех клиентов [3, c.29-32]. Пример: λ = 0,65клиента/час.

Вероятность появления к событий за время t определяется форму-

По условию задачи λ = 0,65,t = 2 λt =1,3.

а) Р1(2) = 1,31 е-1,3 ≈ 0,353; б) Р2(2) = 1,32 е-1,3/2 ≈ 0,230; в) Р0(2) = 1,30 е-1,3 ≈ 0,273.

Событие – появление хотя бы одного клиента – противоположно событию – не появление клиентов в течение 2-х часов, поэтому

г) Рк≥1(2) = 1- Р0(2) = 1 – 0,273 = 0,727.

Событие – появление не менее 3-х клиентов противоположно событию – появление 0 или 1, или 2-х клиентов, поэтому

д) Рк≥3(2) = 1 – (Р0(2) + Р1(2) + Р2(2)) = = 1 – (0,273 + 0,354 + 0,23) = 0,143.

4. Случайная величина Х- месячная заработная плата работника предприятия распределена по нормальному закону с параметрами

а= 2 +(−1)m m /(m + n) тыс.р.; σ = 0,6 +(−1)n m / 20 тыс.р. Каков процент

18

работников, получающих: а) более (1+m/(m+1)) тыс.р.; б) менее

(2+n/(n+1)) тыс.р.; в) от 1,5 до 2,5 тыс.р. [3, c.24-29]. Пример: а = 1,74; σ = 0,42.

Вероятность попадания значения нормально распределенной случайной величины в интервал (α; β) определяют по формуле Лапласа

=0,5 +0,46 = 0,96.

Таким образом, заработную плату более 2-х тыс.р. имеют 27% работников, менее 3-х тыс.р. – 99,9% и от 1 до 4-х тыс. р. – 96% работников.

Контрольная работа № 6 Математическая статистика

Сначала необходимо выбрать номер своего варианта. Для этого число (10m+n) следует поделить на 4. Остаток от деления и будет номером варианта (остатку 0 соответствует 4-й вариант). Затем к каждому значению х исходной табл. 6.1 следует прибавить m, а к каждому значению у прибавить n. Полученные данные используют для выполнения следующих заданий:

1.Для признака Х составить вариационный ряд, вычислить выборочную среднюю, выборочную дисперсию, выборочное среднее квадратическое отклонение. Построить гистограмму [4, c. 186195, c . 198-208].

19

2.По критерию согласия Пирсона проверить гипотезу о соответствии выборочных данных теоретическому закону распределения случайной величины Х на уровне значимости 0,05 [4, c. 334-341].

3.Вычислить выборочный коэффициент корреляции между случайными величинами Х и У. Найти выборочное уравнение линейной регрессии. Построить теоретическую линию линейной регрессии

[4, c. 250-269].