Файл: Г.В. Алексеевская Использование графиков при решении задач, уравнений, неравенств и систем.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 03.06.2024

Просмотров: 67

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

КУЗБАССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра высшей математики

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ГРАФИКОВ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ, УРАВНЕНИЙ, НЕРАВЕНСТВ И СИСТЕМ Методические указания по курсу «Математика»

для студентов направления подготовки 550100

Составители Г.В. Алексеевская Г.А. Липина Н.Г. Шевелева

Утверждены на заседании кафедры Протокол №5 от 07.06.01

Рекомендованы к печати методической комиссией по направлению 550100 Протокол №38 от 10.09.01

Электронная копия хранится в библиотеке главного корпуса ГУ КузГТУ

Кемерово 2002

1

В предлагаемых методических указаниях авторы рассматривают графический метод решения примеров и задач, вызывающих затруднения на вступительных экзаменах по математике у абитуриентов Кузбасского государственного технического университета.

Указания предназначены для старшеклассников, готовящихся к поступлению в ВУЗ, а также могут быть полезны для учителей средней школы.

2

Графиком Г-функции у = f(x) называется множество точек плоскости с координатами (x, f(x)), где x принадлежит области определения функции y . Предпола-

гаем, что читатель знаком с основными элементарными функциями, а также уравнениями кривых второго порядка:

1)линейной - y = x ;

2)обратно пропорциональной - y =1 / x ;

3)

степенной - y = xa , a R;

 

4)

показательной - y = ax , a >0 ,

a ≠ 1;

5)

логарифмической - y = loga x ,

a >0 , a ≠ 1;

6)

тригонометрическими - y = sin x ; y = cos x ; y = tg x , y = ctg x ;

7)обратными тригонометрическими - y = arcsin x ; y = arccos x ;

y = arctg x ; y = arcctg x .

8)окружностью – x2 + y2 = R2 c центром в точке (0, 0), радиуса R;

9)эллипсом – х2/а2+y2/b2=1 c центром в точке (0, 0), полуосями: a − по оси

OX; b − по оси OY;

10)

гиперболой – x2 / a2 − y2 / b2 = 1 c центром в точке (0, 0), полуосями a

− действительной по оси ОX, b − мнимой по оси ОY;

11)

параболой – y2 = 2 px , с вершиной в точке (0,0), параметром p .

Напомним случаи, когда при построении графиков функций используются операции отображения, сдвига и деформации:

1)график функций y1 = − f ( x ) – отображение Г относительно оси ОX;

2)y2 = f ( −x ) − отображение Г относительно оси 0Y;

3)

y3

= f ( x −a ) − cдвиг Г по оси ОX на a вправо, если a > 0; влево, если a < 0;

4)

y4

= f ( x ) +b – сдвиг Г по оси ОY на b вверх, если b > 0; вниз, если b < 0;

 

5)

y5 = f ( ax ); a > 0; a ≠ 1 − сжатие в а раз при а > 1, растяжение в 1/ a раз (при

a <1) Г по оси ОX;

 

 

 

 

6)

y6

 

= bf ( x ), b > 0; b ≠ 1 − растяжение в b раз при b > 1, сжатие в 1/b раз (b < 1)

Г по оси ОY.

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим построение графиков функций:

 

 

 

 

 

1.

y =

x

=

− x

- симметричен относитель-

 

 

 

 

 

 

у

 

 

но оси ОY, т.е. построив график функции y = x при

 

 

 

 

 

 

 

x > 0 , отобразим его на область x < 0 симметрично;

 

 

 

 

график расположен в верхней полуплоскости (рис. 1).

 

 

 

х

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

2.

 

y

 

= x

симметричен относительно оси ОX,

 

 

располагается в правой полуплоскости (рис. 2). То есть при построении графиков функций, содержащих модули, удобно воспользоваться симметрией. Учитывая последнее замечание, построим графики функций:

3.

 

y

 

=

 

x2 −2

 

x

 

−3

 

.

x > 0 , тогда имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим

 

область y > 0 ,

 

 

 

 

 

 

y = x2 −2x −3 = (x −1)2 −4 или

(x −1)2 = y +4 –

парабола с вершиной в точке (1, -4), ветви которой направлены вверх. С учетом того, что y > 0 , x > 0

отобразим график, лежащий ниже оси ОХ на верхнюю полуплоскость. Воспользовавшись симметрией, отобразим полученный график на y < 0, а затем на x < 0

(рис. 3).

4.

 

x

 

+

 

y

 

=1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Очевидно, что график симметричен относительно

ОХ и OY. Достаточно построить в области

y > 0 , x > 0

и

 

отобразить. В области x > 0 , y > 0

будем иметь

y = −x +1. Это прямая, проходящая через точки (1, 0) и

(0, 1). Далее делаем симметричное отображение полученного графика, результат представлен на рис. 4.

5. x + y + x − y =1.

График

симметричен

относительно

линий:

x + y = 0; x − y = 0, т.е. y = −x ;

y = x . Построим график

для области y > x , y > −x ( y > x ), в этой области имеем

функцию:

x + y − x + y =1,

т.е. 2 y =1; y =1 / 2 . После

отображения получаем график, изображенный на рис. 5.

6.

 

x

 

−

 

y

 

 

=1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

График функции симметричен относительно линий:

х=0, у=0.

Построим график

для области x > 0 ,

y > 0 ;

 

x − y

 

=1. Из

определения

модуля

имеем: при

x > y

 

 

 

x − y

 

=1;

при

x < y y − x =1: две

прямые в

первом

у

х

Рис. 2

у

х

Рис. 3

у

1

1 х

Рис. 4

1/

2у

1/2 х

Рис. 5

у

х

Рис. 6

4

квадрате, далее делаем отображение на оставшиеся квадранты (рис.6).

В некоторых случаях для построения графика исходную функцию удобнее разложить на сумму нескольких функций:

7. у= 2-х + 2+х .

 

 

 

у1

у

 

Заметим, что у>0. Введем функции y1 = 2-х ,

у2

у2

у1

 

 

y2 = 2+х , тогда у=у1+у2. Строим y1

и y2 . Гра-

 

 

 

фик функции y1 строим, сместив y = x

по оси ОХ

 

 

х

 

Рис. 7

 

на 2 вправо;

график

y2

получаем

смещением

 

 

 

 

 

графика y = x

на 2 влево по оси ОХ (рис. 7). Далее

 

 

суммируем по точкам (рис. 8).

 

 

у

у=у1+у2

Применим графический метод к решению

 

 

уравнений, неравенств и систем.

 

 

 

 

8. 1+3х - х-1 =2–х.

х

Рис. 8

Решением уравнения будут

точки пересечения

графиков y1 = 1+3х - х-1 и y2 = 2 − x . В свою очередь: y1 = y3 + y4 ; у3= 1+3х =3 х+1/3 ; у4=- х-1 , т.е. имеем случай аналогичный №7 (рис. 9).

Из рисунка видно, что решений два: х1 и х2. Чтобы найти точные решения х1 и х2, запишем уравнения прямых графика функции у1 (рис.9, а; 9, б).

А у

у

 

 

 

у3

 

 

 

 

 

у1

 

 

 

С

 

 

 

х

 

 

у4

у2

х

 

В

 

Рис. 9,а

 

 

 

Рис. 9,б

 

 

 

 

АВ: y1 =-3х –1+х–1=-2х–2=-2(х+1). Имеем: 2–х=-2(х+1); х1=-4.

ВС: y1 = 3x +1 + x −1 = 4x ; 2 − x = 4x ; x2 = 2 / 5 .

Ответ: х1=-4; х2=2/5.

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

9. 2x −1 −3 ≤ x +2 .

 

 

 

 

 

 

 

у

 

Е

 

Обозначим y1 = 2 x −1/ 2 −3 ;

 

 

 

С

 

 

 

 

 

 

А

 

 

 

 

 

y2 = x +2 .

Очевидно,

что

x +2 ≥ 0 ,

т.к.

 

 

 

 

 

 

В

 

 

 

 

неотрицательное число не может быть меньше

 

 

 

 

 

отрицательного, т.е.

x ≥ −2. График

y

- это

х1

х2

х3

D

х4

х

 

 

 

 

y = x

1

 

 

 

 

 

 

 

смещенный

график

функции

в

точку

 

-3

 

 

 

 

(1/2, -3) с коэффициентом сжатия 2. Учитывая, что

 

 

 

 

 

 

y1 > 0 , часть графика, лежащую ниже оси ОХ,

 

Рис. 10

 

 

 

отображаем в верхнюю полуплоскость (рис. 10).

 

 

 

 

 

 

Тогда с y1 имеем четыре точки

пересечения. Область, где

y1 ≤ y2 изображена на

рис.10 штриховкой, т.е.

x1 < x < x2 и

x3 < x < x4 .

Находим численные значения

x1, x2 ,

x3 , x4 : x1

находим как

пересечение

y2 = x +2 с прямой АВ:

y1 = −2(x +1) , имеем −2x −2 = x +2 ; 3x = −4 ;

x = −4 / 3. x2 находим как пере-

сечение

y2 = x +2 с прямой ВС: y1 = 2(x +1) ;

x +2 = 2x +2; x2 = 0. x3 нахо-

дим как пересечение y2 = x +2 с прямой СD:

y1 = −2(x −2) ;

−2x +4 = x +2 ;

−3x = −2;

x3 =2/3. x4 находим

как

пересечение

y2 = x +2

с

прямой

DЕ:

y1 = 2(x −2); 2x −4 = x +2 ; x4 = 6.

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ: -4/3 ≤ х ≤ 0: 2/3 ≤ х ≤ 6.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

+ x

−2 = 4,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10.

 

=8.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y − x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = 4 − x −2 -

 

 

 

 

 

 

 

 

График функции

смещенный в

 

 

у

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = x ,

 

 

 

 

 

точку

(2,

4)

график

 

функции

лучами

 

 

 

 

направленный

вниз. Заметим,

что

график

функции

 

 

у2

 

y − x =8

располагается

в

полуплоскостях

у>х,

 

 

 

у1

 

 

 

y1 =8 + x

и y < x , у2=х–8 (рис. 11). Очевидно точка

 

 

 

-8

 

2

х

пересечения единственная:

 

 

 

 

 

 

 

y = x −8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= −x +

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 11

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 = 2x −14.

Ответ: x =7 , y = −1.

6

Рассмотрим построение графиков, состоящих из ветвей парабол.

11. y = x2 + x −

 

x

 

.

y = x2

 

 

 

 

 

 

 

 

Построим

 

для x >0 :

параболу с

 

вершиной в

 

точке (0,

0);

для

x <0 :

 

y = x2 + 2x = x2 + 2x +1 −1 =( x +1 )2 −1

–

х

параболу с вершиной в точке (-1, -1), (рис. 12).

Рис. 12

12. y = x2 + x −1.

Перепишем:

y = x2 + x +1 / 4 −1 / 4 −1 = (x +1 / 2)2 −1. График этой функции удобно по-

строить, сдвинув на –1 по оси ОУ график функции

y

=

 

(x +1 / 2)2

−1

/ 4

 

,

y ≥0 , опустив модуль,

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

имеем

уравнение

параболы с

вершиной

(-1/2,

 

 

-1/4).

Для

получения

графика

y

=

 

(x +1 / 2)2

−1

/ 4

 

 

часть

параболы,

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

лежащую ниже оси ОХ, отобразим на верхнюю полуплоскость (на рис. 13 у1 обозначен штрихами,

у= y1–1 – сплошной линией).

13. y = x2 −2 x −3 .

Для построения графика этой функции удобно воспользоваться симметрией. Так как график функции

y = x симметричен по оси ОY, x = y симметричен по

оси ОХ, удобно рассмотреть функцию в области x > 0 , y > 0 и полученный график отобразить на остальные

четверти. При x > 0 ,

y > 0 будем иметь:

y =

 

x2 −2x −3

 

=

 

(x −1)2 −4

 

парабола с вершиной в

 

 

 

 

у

1/2 у1

х

у

Рис. 13

у

х

Рис. 14

точке (1, -4), нижняя часть которой отображена в верхнюю полуплоскость (рис. 14).

Смотрите также файлы