Файл: Г.В. Алексеевская Использование графиков при решении задач, уравнений, неравенств и систем.pdf

Скачать файл (0,38Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 03.06.2024

Просмотров: 65

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

по оси ОХ на 9 вправо с угловым коэффициентом k . Очевидно, если k =1, то прямая параллельна участку DЕ, т.е. y1 и y2 не пересекаются и решений уравнение не имеет. При k =0, y2 =0 уравнение имеет два решения х=±3. В промежутке 0 < k ≤1 решений также нет. Поскольку k =tg α, α - угол наклона прямой, то, увеличивая α до π/2, будем иметь одно решение; пересечение графика y2 с графиком y1 на уча-

стке DЕ, т.е. 1 < k < ∞. x находим из решения уравнения: (х–3)=kх–9; х(1-k)=3(1– 3k); х1=3(1–3k)/(1– k).

Рассмотрим отрицательные значения k: если прямая у2 проходит через точку С (0, 3), то уравнение имеет три решения. Найдем это значение k. Подставим координаты (0, 3) в выражение у2=k(х-9), будем иметь 3=k (0-9); k=-1/3, т. е. при k=-1/3 х1=3(1–3k)/(1–k); х2=0. х3 найдем как точку пересечения у2 с участком графи-

ка y1 АВ: у=-(х+3), т.е. -х-3=k(х-9); -х(1+k)=3(1–3k); х3=-3(1–3k)/(1+k). При -

1/3<k<0 уравнение имеет четыре решения: х1=3; х2 найдем как точку пересечения у2

с участком графика у1 СD: у =-(х-3); -х+3=k(х-9); х(1+k)=3(1+3k);

х2=3(1+3k)/(1+k). х3 находим как точку пересечения графика у1 с участком ВС:

у=х+3, т.е. х+3=k(х-9); х (1-k)=-3(1+3k); х3=-3(1+3k)/(1–k). х4 находим как точку пе-

ресечения графика у1 с участком АВ: х4=-3(1–3k)/(1+k). При k<-1/3 уравнение имеет два решения: х1=3(1–3к)/(1–к); х2=-3(1–3к)/(1+к).

Ответ: х1=3(1–3k)/(1–k) при 1<k<0;

х1=3; х2=-3 при k=0;

х1=3(1–3k)/(1–k); х2=-3(1–3k)/(1+k) при k<-1/3; х1=3(1–3k)/(1–k); х2=0; х3=-3(1–3k)/(1+k) при k=-1/3;

х1=3(1–3k)/(1–k); х2=3(1+3k)/(1+k); х3=3(1+3k)/(1–k);х4=-3(1–3k)/(1+k) при –1/3 < k < 0.

24.Найти число решений уравнения

х2-6х+8 + х2–6х+5 =а.

Введем обозначения:

у1= х2-6х+8 = (х–3)2–1 ; у2= х2-6х+5 = (х-3)2–4 ; у3=у1+у2; у4=а.

График у3 построен аналогично №7, (рис. 29). Поскольку а=const, график у4 – прямая, параллельная оси ОХ.

Ответ: a <3 – решений нет;

при a =3 1 < x < 2 и 4 < x <5 ;

при 3 < a <5 – четыре решения; при a =5 – три решения;

при a >5 – два решения.

у3

у2

у1

Рис. 29

25.

Для любого a решить неравенство:

1− x < a − x .

Введем

обозначения

y1 = 1− x ;

у2

у1

y2 = a − x .

График функции

y1 представлен на

рис.30. График функции y2 – прямая, проходящая

через точку (а, 0) с угловым коэффициентом (-1),

т.е. параллельная участку АВ, графика функции

Рис. 30

y1 . Поэтому

при a ≤ −1 неравенство решений не

имеет; при −1 < a ≤1

x < x1.

x1 найдем как точку пересечения у2 с участком гра-

фика у1 ВС:

y = x +1,

т.е. x +1 = a − x ;

2x = a −1;

x1 =(a −1) / 2.

При a > 0

x < x2 . x2 найдем как точку пересечения

у2 с участком графика y1 DЕ: y = x −1,

т.е. x −1 = a − x ; 2x = a +1; x2 = (a +1) / 2 .

Ответ: при a ≤ −1 – решений нет;

при −1 < a ≤1

x < (a −1) / 2;

приa > 0

x < (a +1) / 2.

26. Для любого a решить неравенство:

1/ x < a + x .

Введем

обозначение:

y1 = 1/ x =1/ x ;

y2 = a + x (рис. 31). График функции у2 – прямая,

у2

проходящая через точку (0, а) с угловым коэффи-

циентом 1. На рис. 31 показано положение графи-

ка функции у1, когда прямая касается левой ветви

у1

гиперболы

y = −1/ x ,

т.е.

уравнение

−1/ x = a + x

имеет

одно

решение:

х2

х1

ax + x2 +1 = 0 или x2 + ax +1 =0 . Приравняем

Рис. 31.

дискриминант

этого квадратного уравнения к ну-

лю: a2 −4 = 0 ; a2 = 4 ; a = ±2 , так как рассматриваем левую ветвь гиперболы, то

a = 2. Таким образом,

при a ≤ 2 неравенство справедливо для x > x1;

x1 найдем

как точку пересечения функции y2

с правой веткой гиперболы:

y =1/ x ( x > 0 ),

т.е.

1/ x = a + x ;

x2 +ax −1 = 0 ;

x = −a ± a2

/ 4 +1,

т.к.

x > 0 ,

то

1,2

x = −a +

/ 4 +1. При a > 2 x > x и x < x < x

;

найдем как точки

пересечения

у2

левой

веткой

гиперболы

( x2 ,x3 <0 )

y = −1 / x ,

т.е. −1 / x = a + x ; x2 + ax +1 =0 ; x ,x = −a2 / 2 ±

a2 / 4 −1

Ответ:

a ≤ 2

x > −a / 2 +

a2 / 4 +1

;

a > 2

x > −a / 2 +

a2 / 4 +1

;

a / 2 −

a2 / 4 −1

< x < −a / 2 +

a2 / 4 −1

27. При

каких

действительных

множество

<1−ax2 является подмножеством 2х + у <5/4?

Рассмотрим

первое

неравенство:

линией

у2

=1−ax2

плоскость

разбивается

на

внутреннюю

часть и внешнюю. Построим эту линию. Заметим, что

линия симметрична относительно ОХ и ОУ. При y > 0

имеем y =1−ax2 – это парабола с вершиной в точке (0,

у1

1) параметром ( −a / 2 ), т.е. ветвями вниз (рис. 32).

Чтобы определить, какая часть плоскости, разде-

ленная параболой, удовлетворяет неравенству,

подста-

вим координаты точки (0, 0), лежащей во внутренней

Рис. 32

области, в неравенство, получим 0<1. Неравенство спра-

ведливо. Значит, координаты внутренних точек удовлетворяют неравенству (заштрихованная область на рис. 32), отобразим построенную область симметрично на

область y <0 . Ось ОХ парабола пересекает в точках±1 a .

Рассмотрим второе неравенство. Построение графика функции 2х + у =5/4 аналогично №4, т.е. это ромб с вершинами (0, ±5/4), (±5/8, 0). Координаты точек, лежащих внутри ромба, удовлетворяют второму неравенству.

Чтобы ответить на поставленную задачу, нужно определить значение параметра а, при которых заштрихованная фигура лежит внутри ромба. Поскольку фигура симметрична относительно оси ОХ, задача тождественна тому, что нужно найти значения а, при которых парабола лежит внутри ромба.

Найдем значение а, при котором правая ветвь параболы у=1–ах2 не пересекает прямую у=-2х+5/4, т.е.уравнение 1–ах2=-2х+5/4 не имеет решение ах2–2х+1/4= 0. Дискриминант сравним с нулем: 1–а/4<0, при а>4, решений нет.

Ответ: а > 4.

x + 3		y	+ 5 =0;


28. При каких значениях a система имеет три решения:	2				2
				+ y		= 4.
( x −a )

Построим	график функции	у =-(5+х)/3 –			у
симметричный относительно оси ОХ, т.е. достаточ-


но построить для у>0: у=-1/3(х+5) и отобразить на
область у < 0 (рис. 33).
Линия,	определяемая	уравнением
( x −a )2 + y2 = 4 – это окружность с центром в			-5			х
( x −a )2 + y2 = 4 – это окружность с центром в
точке (а, 0) радиуса 2. Окружность будет иметь три				Рис. 33
точки пересечения с графиком первой функции, ес-

ли она проходит через точку (-5, 0), т.е. центр окружности должен находиться в точ-

ке (-7, 0).

Ответ: a = −7 .

+ y = 2x + a;

имеет решение?

29. При каких значениях a система

+ y

= 2x;

Преобразуем систему:

выделим полный квад-

− 2x

−1 − a = −y;

рат

по

x :

− 2x

−1 + y

=0.

=1 + a − y;

( x −1 )

+ y

( x −1 )

Первое уравнение определяет параболу с вершиной в

точке (1, 1+а), параметром

– 1/2, т.к. (х-1)2≥0, то

Рис. 34

1 + a − y ≥0 , т.е.

y ≤1 + a . Второе –

окружность с

центром в точке (1, 0), радиуса 1 (рис. 34).

Парабола может не касаться окружности, тогда решений система не имеет; касаться ветвями или пересекать – тогда два решения; касаться вершиной – тогда три решения или одно, и если ветви параболы дважды пересекают окружность, тогда четыре решения. Парабола у=-(х-1)2+1+а касается вершиной окружности при a =0 и a = −2 ; при − 2 < a <0 пересекает окружность в двух точках. Для рассмотрения остальных случаев вычтем из второго уравнения первое, получим квадратное урав-

нение y2 − y + a =0 . Если дискриминант Д=0, то парабола касается ветвями ок-

ружности; если Д<0 – не касается окружности; Д>0 – каждая ветвь дважды пересекает окружность. Д=1/4-а.

Ответ: а<-2; а>1/4 - решений нет; а=-2 – одно решение; -2<a<0, а=1/4 – два решения; а=0 – три решения; 0<a<1/4 – четыре решения.

30. При

каких значениях а система

+ y

= 2( 1 + a );

имеет два решения?

=14;

( x

+ y )

Запишем тождественную

систему:

+ y

= 2a + 2;

+ y2

=14.

График

функции

х+у =14

– две прямые:

Рис. 35.

у=14–х; у=-14–х (рис. 35).

График функции,

описываемой первым уравнением, - окружность с центром в точке (0, 0), радиуса

2a + 2 . Очевидно, для х>0 окружность должна касаться прямой у=14–х. То есть

уравнение

x2 +14 −2

14x + x2 = 2a + 2 ;

2x2 −2

14x +12 −2a =0 ;

x2 −

14x +6 − a =0 имеет

одно решение

(дискриминант

Д=0).

14–24+4а;

4а=10; а=5/2.

Ответ: а = 5/2.

31. Сколько решений имеет уравнение		у
31. Сколько решений имеет уравнение
2 х -х2=а для любых а≥0?			у1
Найдем область допустимых значений: 2 х≥ х2 –			у1
Найдем область допустимых значений: 2 х≥ х2 –
решим неравенство графически: у1=2 х ; у2=х2 (рис.
36). График функции у1 лежит выше графика функции у2
36). График функции у1 лежит выше графика функции у2			у2
на участке –2≤х≤2. Возведем обе части уравнения в			у2
на участке –2≤х≤2. Возведем обе части уравнения в
квадрат, будем иметь: 2 х -х2=а2. Решаем его графиче-
квадрат, будем иметь: 2 х -х2=а2. Решаем его графиче-
ски: у1=2 х ; у2=х2+а2 (рис. 37). График функции у2 –				х
ски: у1=2 х ; у2=х2+а2 (рис. 37). График функции у2 –				х
парабола, смещенная на а2 вверх. Если парабола касает-	Рис. 36
ся графика у1, то уравнение имеет два решения, что то-	Рис. 36
ся графика у1, то уравнение имеет два решения, что то-
ждественно задаче: при каких значениях а уравнение
имеет единственное решение: 2х=х2+а2;х2–2х+а2=0.		у1
Приравняем дискриминант Д к нулю: 1–а2=0; а=±1, с		у1

учетом условия (а≥0) а=1.

Ответ: а=0–уравнение имеет три решения; 0<a<1–

четыре решения; а=1–два решения.		х


32. Для любых значений а решить уравнение:	Рис. 37

2–а-х + х–а-4 =9.

Построим график в плоскости АОХ аналогично построению в №5 (ось ОУ заменим осью ОА), получим смещенный квадрат с диагоналями а=2–х; а=х–4, которые являются осями симметрии, (рис. 38). Этими прямыми плоскость АОХ раз-

Смотрите также файлы

В.М. Волков Эконометрика. методические указания, задания и пример выполнения контрольной работы для студентов экономических специальностей.pdf

В.М. Волков Эконометрика. Методические указания и пример выполнения контрольной работы для студентов заочной формы обучения экономических специальностей 060500,060400.pdf

В.М. Волков Математика. Программа, контрольные работы №9, 10 и методические указания для студентов-заочников инженерно-технических специальностей 2 курса.2003.pdf

В.М. Волков Математика. Программа, контрольные работы №9, 10 и методические указания для студентов-заочников инженерно-технических специальностей 2 курса.2000.pdf

В.М. Волков Математика. Программа, контрольные работы №7, 8 и методические указания для студентов-заочников инженерно-технических специальностей 2 курса.pdf

Файл: Г.В. Алексеевская Использование графиков при решении задач, уравнений, неравенств и систем.pdf

Смотрите также файлы

Информация

Списки файлов

Дополнительно