Файл: Г.В. Алексеевская Использование графиков при решении задач, уравнений, неравенств и систем.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 03.06.2024

Просмотров: 64

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

16

бивается на четыре области: верхняя: а>х–4; а>2–х; в

 

а

 

 

 

 

 

этой области уравнение: а–2+х–х+а+4=9;

2а=7;

 

 

 

 

а=7/2, нижняя: а<х–4; а<2–х здесь имеем уравнение:

 

 

 

 

2–а–х+х–а–4=9; -2а=11; а=-11/2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Чтобы найти, как меняется при этом х, найдем

 

 

 

 

точки пересечения диагоналей квадрата с а=7/2, т.е.

 

 

 

 

х

х1=7/2+4; х2=2–7/2=-3/2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ: а=-11/2; а=7/2; -3/2≤х≤15/2; -11/2<a<7/2;

 

 

 

 

 

 

 

 

х=-3/2, х=15/2.

 

 

Рис. 38

33. В зависимости от значений параметра a определить число корней уравнения:

х2+4х-2 х-а +2-а=0.

На плоскости (х; а) строим прямую х-а=0, которая разобьет плоскость на две области. В I области уравнение принимает вид: а1=-(х+1)2-1 – парабола с вершиной (-1, -1). Во второй области уравнение принимает вид: а2=1/3(х2+6х+2)=1/3(х+3)2-7/3-парабола с вершиной в (-3, -7/3). Точки пересечения парабол лежат на прямой а=х, т.е. х=-1, -2.

Ответ:

если а (-∞; -7/3) (-2; +∞) два корня, если a = 73 и a = −2 три корня,

если a ( 73 ;−2 ) четыре корня,

если а<-7/3; а>-2 уравнение имеет два корня, если а=-7/3; а=-2 – три корня,

если –7/3<a<-2 – четыре корня.

34. При каких значениях p площадь фигуры:2х+у + х–у+3≤р будет равна 24?

Очевидно, р≥0. Построение линии:

 

2x + y

 

+

 

x − y + 3

 

= p аналогично №5: ли-

 

 

 

 

нии

y = −2x ; y = x + 3 (рис. 39), плоскость

ХОУ

 

 

разбивают

 

на

четыре

области:

 

y > x + 3 ;

y > −2x верхняя, в этой области

запишем

уравнение 2х+у–х+у–3=р; х+2у–

3=р; нижняя y < x + 3 ;

y < −2x , уравнение

в

этой

области:

-2х+у+х–у+3=р;

− x −2 y +3 = p . Эти

прямые параллельны.

Левая область

задается неравенствами

 

y < x + 3 ;

y < −2x ,

уравнение

в этой

а

II

а=х

 

 

I

а2

 

х

 

а1

 

Рис. 39

 

 

17

области имеет вид: 2x + y + x − y + 3 = p ; 3x + 3 = p ;

у

x = 3p −1, эти линии параллельны оси ОУ. Таким обра-

зом, полученная фигура параллелограмм. Площадь параллелограмма находится как произведение основания на вы-

соту. Высота – это расстояние между прямыми x =

p

−1,

 

х

 

3

 

 

 

 

х=-р/3–1, симметрично расположенными относительно

Рис. 40

прямой х=-1, т.е. расстояние между ними 2р/3.

 

Чтобы найти длину основания, найдем точки пересечения прямой х=р/3–1 с

прямыми у=х+3; к=-2х, т.е. у1=р/3–1+3=р/3+2; у2=-2р/3+2. Расстояние между этими точками d = у1–у2 =р/3+2+2/3р–2=р. Тогда из условия, площадь фигуры равна 24, 2/3р2=24; р2 = (24× 3)/2=36, с учетом, что р≥0.

Ответ: р=6.

35. Решить неравенство log(а2+ х2) / 2 х ≥ 1. Область допустимых значений х>0. Рассмотрим два случая:

a2

+ x2

<1;

 

 

 

 

2

 

 

a )

 

 

 

 

a2 + x2

x ≤

 

 

 

;

2

 

 

 

 

Выделяя полный квадрат по х получим:

a2

+ x2

>1;

 

 

 

 

2

 

 

б)

 

 

 

 

a2 + x2

x ≥

 

 

 

.

2

 

 

 

 

 

2

+ a

2

< 2;

 

2

+ a

2

> 2;

x

 

 

x

 

 

a )

 

 

2

 

б)

 

 

2

 

 

 

 

+ a ≥1;

 

 

 

+ a ≤1.

( x −1 )

( x −1 )

Построим эти множества на плоскости ХОА с учетом того, что х>0 соответственно (рис. 41, а) и (рис. 41, б).

у

 

у

 

 

а=const

 

a=const

х1

х

х2

х3 х

Рис. 41, а

Рис. 41, б

18

Чтобы найти область изменения х для различных а, положим а=const и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

найдем x

= − 1 −a2 +1, x =

 

2 −a2

, x = 1 −a2

+1.

 

 

1

 

 

2

 

 

 

3

 

 

 

 

Ответ:

1< a <2,

 

0 < x <

2 − a2

;

a <1, 0 < x <1 −

1 −a2

или

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

у

 

 

2 − a2 < x <1 +

1 − a2 , a≥2 решений нет.

 

 

 

 

 

36. При каких значениях a уравнение 32х3+ах+1=0 имеет три действительных корня?

Введем обозначение: у1=32х3+1; у2=-ах. График функции у1 представлен на рис. 42, а.

Очевидно, что прямая у2=-ах проходит через точку (0, 0), в первой и третьей четверти, т.е.

–а>0, (а<0).

Рассмотрим случай, когда прямая у2 касается кубической параболы в первой четверти, т.е. имеем две точки пересечения, тогда: 32х3+ах+1=32(х-х1)2(х–х2). Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х:

32(х3–2х2х1+2хх1х2+хх12–х12х2–х2х2)=32х3+ах+1

у

х

Рис. 42, а.

−2x1 − x2 =0;

x2 = 2x1;

32( 2x x

+ x 2 ) = a;

32x

2 × x =1;

 

1 2

1

 

1

1

 

 

=1;

 

=

3 1 / 64 =1 / 4; x2 = −1 / 2.

−32x12 x2

x1

a = 32 ( −2 1 / 4 1 / 2 +1 / 16 ) = −8 + 2 = −6 .

Поскольку (-а) = tgα, где α - угол наклона прямой у2 к оси ОХ.

 

 

 

Ответ: -∞<a<-6.

 

 

 

 

 

 

у

Предлагаем второй способ решения этого

 

 

 

примера.

 

 

 

 

 

 

 

1

 

С учетом того, что коэффициент при х3: 32>0,

 

 

 

изобразим

схематично,

кубическую параболу

 

 

 

 

 

 

 

 

у=32х3+ах+1 (рис. 42, б), парабола пересекает ось ОХ

 

 

х

в трех точках, ось ОY в точке (0; 1).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Найдем

критические

точки

функции

у:

Рис. 42, б

у'=96х2+а; 96х2+а=0; x = ±

 

.

Очевидно,

что

 

 

 

−a / 96

 

 

 

a <0 . При x = −−a / 96 y принимает максимальное значение: y( − −a / 96 ) = −31 −a3 / 96 −a −a / 96 +1, т.к. уmax>0, а<0,

 

 

 

 

 

 

19

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

получаем неравенство:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

−a3 / 96 + −a3 / 96 > −1;

2

−a3 / 96 > −1; введем замену: t = −a3 / 96 ;

3

 

9

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t > −3 ;t >

; -а3/96>9/4; a3

< −216 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ: а<-6.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

37. При каких значениях a система

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( x +3 y ) /( x − y ) ≥0;

 

 

имеет хотя бы

 

 

 

 

 

у

 

 

 

 

 

 

y( y −8 ) + x2 ≤( a −4 )( a

 

 

у=-1/3х

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+4 );

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

у=х

одно решение?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

На рис. 43 заштрихованная область соответству-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ет множеству точек первого неравенства, т.к. взяв точ-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ку (1; 0) и

подставив в неравенство, констатируем,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

что оно справедливо, далее области

чередуются. Точ-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 43

ки, удовлетворяющие неравенству – это точки, лежа-

 

 

 

щие внутри окружности:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(у-4)2+х2=а2 с центром в точке (0, 4), радиуса а. Если окружность касается прямой у=-1/3х, то решение существует: у2–8у+16+9у2=а2; 10у2–8у+16–а2=0. Дискриминант

Д приравняем к нулю: Д=16–10×16+10а2=0; 10a2 =9 16; a =

9 16

=6

2 .

 

10

 

5

Ответ: а≥6√2/5.

38. Найти значение а, при которых уравнения

log1/4х2+log1/4 (х+3)=а и log1/4х+log1/10 (х+3)=а/2 равно-

сильны. Найдем область допустимых значений: первого уравнения х>-3, второго х>0, перепишем урав-

нение в тождественной форме: log1/4 х2 (х+3) = а, т.е. (1/4)а=х2(х+3).

Учитывая область допустимых значений, построим график (рис. 44) у1=х2(х+3)–это кубическая парабола, пересекающая ось ОХ в точках (0, -3).

Найдем экстремумы у1: х(2х+6+х)=0; х=0; x = −2 ; у1 (-2)=4. Поскольку у2 – прямая, то эти уравнения равносильны, если прямая лежит выше

у=4, т.е. (1/4)а>4; 4−a > 4 .

Ответ: a < −1.

у

х

Рис. 44

Смотрите также файлы