Файл: ОТУ 2016-10-06 Лекция 6. Устойчивость линейных САУ. Критерии устойчивости.pdf
ВУЗ: Новосибирский государственный технический университет
Категория: Лекция
Дисциплина: Основы теории управления
Добавлен: 15.02.2019
Просмотров: 1391
Скачиваний: 6
Необходимое условие устойчивости
( )
1
1
1
0
n
n
n
n
A p
a p
a
p
a p
a
…
−
−
=
+
+ +
+
Характеристический
полином
:
( )
(
)(
)
(
)
1
1
n
n
n
A p
a
p
p
p
λ
λ
λ
...
−
=
−
−
−
Если
все
корни
вещественные
и
отрицательные
,
то
( )
(
)(
)
(
)
1
1
n
n
n
A p
a
p
p
p
α
α
α
...
,
−
=
+
+
+
i
i
α
λ
.
= −
где
Раскрывая
скобки
,
получим
характеристический
полином
с
положительными
коэффициентами
.
Необходимое условие устойчивости
Для
устойчивой
системы
необходимо
,
чтобы
все
коэффициенты
характеристического
полинома
были
положительными
.
1
1
1
0
0
n
n
n
n
a p
a
p
a p
a
−
−
+
+ +
+
=
…
0
0
,
,..,
i
a
i
n
>
=
При
наличии
хотя
бы
одного
отрицательного
коэффициента
система
будет
неустойчивой
.
Положительность
коэффициентов
не
является
достаточным
условием
устойчивости
!
Критерии устойчивости
1.
Алгебраические
•
Критерий
Гурвица
•
Критерий
Рауса
2.
Частотные
•
Критерий
Михайлова
•
Критерий
Найквиста
•
D-
разбиение
(
Ю
.
И
.
Неймарк
)
Критерий устойчивости А. Гурвица
1
1
1
0
0
n
n
n
n
a p
a
p
a p
a
−
−
+
+ +
+
=
…
1
3
5
2
4
1
3
1
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
n
n
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
−
−
−
−
−
−
−
∆ =
Составим
определитель
Гурвица
по
следующим
правилам
:
1.
Главная
диагональ
содержит
коэффициенты
a
n-1
, a
n-2
,..., a
0
.
2.
Над
главной
диагональю
–
коэффициенты
,
индекс
которых
уменьшается
на
1.
3.
Под
главной
диагональю
–
коэффициенты
,
индекс
которых
увеличивается
на
1.
Критерий устойчивости А. Гурвица
Для
устойчивости
линейной
системы
необходимо
и
достаточно
,
чтобы
были
положительными
n
главных
определителей
матрицы
Гурвица
.
1
3
5
2
4
1
3
1
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
n
n
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
−
−
−
−
−
−
−
∆ =